青理工高数同济第七章教案

1、§3齐次方程齐次方程如果一阶微分方程dyf(x,y)中的函数f(x,y)可写成工的函数dxx即f(x,y)(y)则称这方程为齐次方程x下列方程哪些是齐次方程？(1)xyyJy2x20是齐次方程丫血1、dxxdxxxJix2yJiy2不是齐次方程J一y2dx1x222(xy)dxxydy0是齐次方程yyyydxxydxyx(4) (2xy4)dx(xy1)dy0不是齐次方程孚2xy4dxxy1(5) (2xsh#3ych)dx3xchdy0是齐次方程xxx业2xshf3ych于业22，dx3xchdx3xxx齐次方程的解法在齐次方程Ty(y)中令u丫即yux有uxdu(u)dxxxdx

2、分离变量得dx(u)ux两端积分得导dx(u)ux求出积分后再用-代替u便得所给齐次方程的通解x例1解方程yx2-dyxydydxdxdyy2(厶2解原方程可写成-y丫2dxxyx2_y1x因此原方程是齐次方程令u则yux-yux-xdxdx2于是原方程变为uxduu即xduudxu1dxu1分离变量得(1t)du尔ux两边积分得uIn|u|Cln|x|或写成In|xu|uC以y代上式中的u便得所给方程的通解In|y|yCxxy2z22C(xC)练习:P3141(3)作业:P3141(2)2(2)§7.4线性微分方程一、线性方程线性方程方程学P(x)yQ(x)叫做一阶线性微分方程dx

3、如果Q(x)0则方程称为齐次线性方程否则方程称为非齐次线性方程方程dyP(x)y0叫做对应于非齐次线性方程dyP(x)yQ(x)的齐次线性方程dxdx下列方程各是什么类型方程？(1)(x2)dyydy丄y0是齐次线性方程dx'dxx273x25x5y0y3x25x是非齐次线性方程(3)yycosxesinx是非齐次线性方程矽i0xy不是线性方程dx32(5)(y1)2史x30dy°或dx不是线性方程dxdx(y1)2dyx3齐次线性方程的解法齐次线性方程业P(x)y0是变量可分离方程分离变量后得dx业P(x)dxy两边积分得ln|y|P(x)dxCi或yCeP(x)dx(Ce

4、Ci)这就是齐次线性方程的通解(积分中不再加任意常数)例1求方程(x2)dyy的通解dx解这是齐次线性方程分离变量得dydXcyx2两边积分得ln|y|ln|x2|InC方程的通解为yC(x2)非齐次线性方程的解法将齐次线性方程通解中的常数换成x的未知函数u(x)把P(x)dxyu(x)e设想成非齐次线性方程的通解代入非齐次线性方程求得P(x)dxP(x)dxP(x)dxu(x)eu(x)eP(x)P(x)u(x)eQ(x)化简得u(x)Q(x)eP(x)dxu(x)Q(x)eP(x)dxdxC于是非齐次线性方程的通解为P(x)dxP(x)dxyeQ(x)edxC或yCeP(x)dxeP(x)

5、dxQ(x)eP(x)dxdx非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和11/265例2求方程dy2y(x1)2的通解dxx1解法1这是一个非齐次线性方程先求对应的齐次线性方程dy2yo的通解dxx1分离变量得dy2dxyx1两边积分得Iny2ln(x1)InC齐次线性方程的通解为yC(x1)2代入所给非齐次线性方程得用常数变易法把C换成u即令yu(x1)225u(x1)22u(x1)u(x1)2(x1)2x11u(x1)23两边积分得u3(X1)2C再把上式代入yu(x1)2中即得所求方程的通解为因为22y(x1)2卵解法2这里P(x)P(x)dx31)2C

6、2)dxP(x)dxe2ln(x1)5Q(x)(x1)22ln(x1)(x俨31)2512Q(x)eP(x)dxdx(x1)2(x1)2dx(x1)2dx2(x3所以通解为yeP(x)dxQ(x)eP(x)dxdxC(x1)22(x1)2C3例3解方程字dxxy解若把所给方程变形为dxdy但这里用变量代换来解所即为一阶线性方程则按一阶线性方程的解法可求得通解给方程令xyu则原方程化为du11即dudxudxu分离变量得dudxu1两端积分得uln|u1|xIn|C|以uxy代入上式得yln|xy1|In|C|或xCe7y1练习：P3201(2)2(3)7(1)作业：P3201(1)2(2)&#

7、167;5可降阶的高阶微分方程一、y(n)f(X)型的微分方程解法积分n次y(n1)f(x)dxGy(n2)f(x)dxGdxC2例1求微分方程ye“cosx的通解解对所给方程接连积分三次得y1e2xsinxC1ye2xcosxCixC2y”e2xsinx”Cix2C2XC382这就是所给方程的通解或ye2xsinx2C|21y4e2xcosx2C1xC2y1e2xsinxC1x2C2xC38这就是所给方程的通解二、yf(xy)型的微分方程解法设yp则方程化为pf(xp)设pf(xp)的通解为p(xCi)贝Udy(x,C1)dx原方程的通解为y(x,C1)dxC2例2求微分方程(1x2)y2x

8、y满足初始条件y|xo1y|xo3的特解解所给方程是yf(xy)型的设yp代入方程并分离变量后dpp2x1x2dx两边积分得In|p|ln(1x2)C即pyC1(1x2)(C1Ce)由条件y|x03得C13所以y3(1x2)两边再积分得yx33xC2又由条件y|x01得C21于是所求的特解为yx33x1例3设有一均匀、柔软的绳索绳索在平衡状态时是怎样的曲线？两端固定绳索仅受重力的作用而下垂试冋该、yf(yy)型的微分方程解法设yp有dpdpdypdpdxdydxdy原方程化为p学f(y,p)dy设方程pdyf(y，P)的通解为yp(yco则原方程的通解为dyxC2(yG)2例4求微分yyy20

9、的通解解设yp则y代入方程得yppp20dydy在y0、p0时约去p并分离变量得pypy两边积分得In|p|In|y|Inc即pCy或yCy(Cc)再分离变量并两边积分便得原方程的通解为In|y|CxInci或yCieCx(Cici)例5求微分yyy20的通解解设yp则原方程化为ypp20dy当y0、p0时有也丄p0dyy于是pey'C1y即yCiy0从而原方程的通解为yC2eCdxC2eCix例6一个离地面很高的物体受地球引力的作用由静止开始落向地面求它落到地面时的速度和所需的时间（不计空气阻力）练习：1（2）（5）2（2）作业：1（4）（5）§6高阶线性微分方程一、线性微

10、分方程二阶线性微分方程二阶线性微分方程的一般形式为yP(x)yQ(x)yf(x)若方程右端f(x)0时方程称为齐次的否则称为非齐次的二、线性微分方程的解的结构先讨论二阶齐次线性方程yP(x)yQ(x)y0即d-yP(x)-dyQ(x)y0dx2dx定理1如果函数yi(x)与y2(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的两个解那么yCiyi(x)C2y2(x)也是方程的解其中Ci、C2是任意常数齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理证明CiyiC2y2CiyiC2y2CiyiC2y2CiyiC2y2因为yi与y2是方程yP(x)yQ(x)y0所以有yiP(x)yiQ(x)yi0及y2P(x)y

11、2Q(x)y20从而CiyiC2y2P(x)CiyiC2y2Q(x)CiyiC2y2CiyiP(x)yiQ(x)yiC2y2P(x)y2Q(x)y2000这就证明了yCiyi(x)C2y2(x)也是方程yP(x)yQ(x)y0的解函数的线性相关与线性无关设yi(x)y2(x)yn(x)为定义在区间I上的n个函数如果存在n个不全为零的常数kik2kn使得当xI时有恒等式kiyi(x)k2y2(x)knyn(x)0成立那么称这n个函数在区间I上线性相关否则称为线性无关判别两个函数线性相关性的方法对于两个函数它们线性相关与否只要看它们的比是否为常数如果比为常数那么它们就线性相关否则就线性无关例如1c

12、os2xsin2x在整个数轴上是线性相关的函数1xx在任何区间(a,b)内是线性无关的定理2如果如果函数yi(x)与y2(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的两个线性无关的解那么yCiyi(x)C2y2(x)(Ci、C2是任意常数)是方程的通解例1验证yicosx与y2sinx是方程yy0的线性无关解并写出其通解解因为yiyicosxcosx0y2y2sinxsinx0所以yicosx与y2sinx都是方程的解因为对于任意两个常数ki、k2要使kicosxk2sinx0只有kik20所以cosx与sinx在(，)内是线性无关的因此yicosx与y2sinx是方程yy0的线性无关解方程的通解为y

13、CicosxC2Sinx例2验证yix与y2ex是方程(xi)yxyy0的线性无关解并写出其通解解因为(xi)yixyiyi0xx0(xi)y2xy2y2(xi)gxexex0所以yix与y2ex都是方程的解I2/26因为比值ex/x不恒为常数所以yix与y2ex在(,)内是线性无关的因此yix与y2ex是方程(x1)yxyy0的线性无关解方程的通解为yCixC2ex推论如果yi(x)y2(x)yn(x)是方程y(n)ai(x)y(n1)ani(x)yan(x)y0的n个线性无关的解那么此方程的通解为yCiyi(x)C2y2(x)Cnyn(x)其中CiC2Cn为任意常数二阶非齐次线性方程解的结

14、构我们把方程yP(x)yQ(x)y0叫做与非齐次方程yP(x)yQ(x)yf(x)对应的齐次方程定理3设y*(x)是二阶非齐次线性方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一个特解丫(x)是对应的齐次方程的通解那么yY(x)y*(x)是二阶非齐次线性微分方程的通解证明提示丫(x)y*(x)P(x)Y(x)y*(x)Q(x)Y(x)y*(x)YP(x)YQ(x)Yy*P(x)y*Q(x)y*0f(x)f(x)例如丫CicosxC2sinx是齐次方程yy0的通解y*x22是yyx2的一个特解因此yCicosxC2sinxx22是方程yyx2的通解定理4设非齐次线性微分方程yP(x)yQ(x)yf(x)的

15、右端f(x)几个函数之和如yP(x)yQ(x)yfi(x)f2(x)而yi*(x)与y2*(x)分别是方程yP(x)yQ(x)yfi(x)与yP(x)yQ(x)yf2(x)的特解那么yi*(x)y2*(x)就是原方程的特解证明提示yiy2*P(x)yi*y2*Q(x)yi*y2*yi*P(x)yi*Q(x)yi*y2*P(x)y2*Q(x)y2*fi(x)f2(X)练习：P337ii15/26§7.7二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程方程ypyqy0称为二阶常系数齐次线性微分方程其中p、q均为常数如果yi、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解那么yCiy

16、iC2y2就是它的通解我们看看能否适当选取r使yerx满足二阶常系数齐次线性微分方程为此将yerx代入方程ypyqy0得(r2prq)erx0由此可见只要r满足代数方程r2prq0函数yerx就是微分方程的解特征方程方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程特征方程的两个根ri、r2可用公式特征方程的根与通解的关系(1)特征方程有两个不相等的实根ri、r2时函数yieriX、yer2x是方程的两个线性无关的解这是因为函数yierix、y2er2X是方程的解又比%e(rir2)x不是常数y2er2X因此方程的通解为yCierixC2er2x(2)特征方程有两个相等的实根rir2时函数y1

17、er严、讨2xer1x是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解这是因为Y1er1x是方程的解(xeriX)p(xeriX)q(xeriX)(2r1x)er1xp(1xGe"qxer1x尹(2口p)xer1x(pr1q)0所以y2xer1x也是方程的解且里y1xerxx不是常数因此方程的通解为yGeC2xe1x(3)特征方程有一对共轭复根r1,2i时两个线性无关的复数形式的解函数yexcos函数ye(、ye(i)x是微分方程的x、yexsinx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解函数yie(i)x和y2e(i)x都是方程的解而由欧拉公式得y1e(i)xex(cosisinx)y

18、2e(i)xex(cosisinx)y1y22excosxvecos1xa®y2)y1y22iexsinxexsinx才(yiy2)故excosx、y2exsinx也是方程解可以验证y1excosx、y2exsinx是方程的线性无关解21/26因此方程的通解为yex(CicosxC2sinx)求二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy0的通解的步骤为第一步写出微分方程的特征方程r2prq0第二步求出特征方程的两个根ri、r2第三步根据特征方程的两个根的不同情况写出微分方程的通解例1求微分方程y2y3y0的通解解所给微分方程的特征方程为r22r30即(r1)(r3)0其根ri1r23是两个

19、不相等的实根因此所求通解为yCiexC2e3x例2求方程y2yy0满足初始条件y|xo4、y|x02的特解解所给方程的特征方程为r22r10即(r1)20其根r1r21是两个相等的实根因此所给微分方程的通解为y(C1C2x)ex将条件y|x04代入通解得C14从而y(4C2x)ex将上式对x求导得y(C24C2x)ex再把条件yko2代入上式得C22于是所求特解为x(42x)ex例3求微分方程y2y5y0的通解解所给方程的特征方程为r22r50特征方程的根为r112ir212i日疋-对共轭复根因此所求通解为yex(C1Cos2xC2sin2x)n阶常系数齐次线性微分方程方程y(n)p1y(n1

20、p2y(n2)pn1ypny0称为n阶常系数齐次线性微分方程其中P1p2pn1pn都是常数二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程L(r)rnpirn1p2rn2pnirpn0称为微分方程L(D)y0的特征方程特征方程的根与通解中项的对应单实根r对应于一项Cerx一对单复根ri2i对应于两项ex(CicosxC2sinx)k重实根r对应于k项erx(CiC2xCkxk1)一对k重复根ri2i对应于2k项ex(CiC2XCkxk1)cosx(DiD2XDkxk1)sinx例4求方程y2y5y0的通解解这里的特

21、征方程为r42r35r20即r2(r22r5)0它的根是r1r20和r3412i因此所给微分方程的通解为yCiC2xex（C3cos2xC4sin2x）例5求方程y4y0的通解其中0解这里的特征方程为r440它的根为气2迈（1i）r3,4厉（1i）因此所给微分方程的通解为xXye韶（Cicos晅xC2sin迈x）e屛（C3COS厉xC4SS逅x）练习：P3461（2）（5）（3）（7）（9）作业：P3461（1）（4）2（1）（2）（6）§.8二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程方程ypyqyf(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程其中p、q是常数二阶常系数非齐次

22、线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解y丫(x)与非齐次方程本身的一个特解yy*(x)之和y丫(x)y*(x)当f(x)为两种特殊形式时方程的特解的求法一、f(x)Pm(x)ex型当f(x)Pm(x)ex时可以猜想方程的特解也应具有这种形式因此设特解形式为y*Q(x)ex将其代入方程得等式Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)(1)如果不是特征方程r2prq0的根则2pq0要使上式成立Q(x)应设为m次多项式Qm(x)boxmblxm1bmlxbm通过比较等式两边同次项系数可确定boblbm并得所求特解y*Qm(x)ex如果是特征方程r2prq0的单根贝U2pq0但2p0要使等

23、式Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)成立Q(x)应设为m1次多项式Q(x)xQm(x)Qm(x)boxmbixm1bmixbm通过比较等式两边同次项系数可确定bobibm并得所求特解y*xQm(x)ex(3)如果是特征方程r2prq0的二重根贝U2pq02p0要使等式Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)成立Q(x)应设为m2次多项式Q(x)x2Qm(x)Qm(x)boxmbixm1bmixbm通过比较等式两边同次项系数可确定bobibm并得所求特解y*x2Qm(x)ex综上所述我们有如下结论如果f(x)Pm(x)ex则二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqyf(

24、x)有形如y*xkQm(x)ex的特解其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、i或2例i求微分方程y2y3y3xi的一个特解解这是二阶常系数非齐次线性微分方程且函数f(x)是Pm(x)ex型(其中Pm(x)3xi0)与所给方程对应的齐次方程为y2y3y0它的特征方程为r22r30由于这里0不是特征方程的根所以应设特解为y*boxbi3b032bo3bi13bo32bo3bi1把它代入所给方程得3b0x2b03bi3xi比较两端x同次幕的系数得由此求得b0ibi3于是求得所给方程的一个特解为y*xi例2求微分方程y5y6yx

25、e2x的通解解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程且f(x)是Pm(x)ex型(其中Pm(x)x2)与所给方程对应的齐次方程为y5y6y0它的特征方程为r25r60特征方程有两个实根ri2r23于是所给方程对应的齐次方程的通解为YCie2xC2e3x由于2是特征方程的单根所以应设方程的特解为y*x(b0xbi)ex把它代入所给方程得2b0X2b0bix比较两端x同次幕的系数得2i/2627/262bo12bobi02bo12b0b10由此求得bo1bi1于是求得所给方程的一个特解为2y*x(；x1)e2x从而所给方程的通解为yC1e2xC2e3x；(x22x)0二、f(x)exR(x)cosxFn(x)sinx型方程ypyqyexPi(x)cosxPn(x)sinx的特解形式：如果f(x)exPl(x)cosxPn(x)sinx则二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqyf(x)的特解可设为y*xkexRm(x)cosx