例1计算在电偶极子延长线上任一点A的场强

1、例例1.1.计算在电偶极子延长线上任一点计算在电偶极子延长线上任一点A A的场强。的场强。电偶极子：大小相等，符号相反并有一微小间距的电偶极子：大小相等，符号相反并有一微小间距的两个点电荷构成的复合体。其偶极矩为两个点电荷构成的复合体。其偶极矩为0rqpxoE E+ +E E- -qq0r2024rxqEo2024rxqEo220204xrxrx3042xqrEoA3042xPEA22020424rxxrqEEEoAxA解：解：例例2.2.计算电偶极子中垂线上任一点计算电偶极子中垂线上任一点B B的场强。的场强。-qqr0E+E-oyx解：解：coscosEEEB44202ryqEEo42co

2、s2020ryr23202044cos2ryqrEEoBy yr ro o34ypEoB304yqrEoByrr例例3.3.电荷电荷q q均匀地分布在一半径为均匀地分布在一半径为R R的圆环上。计算的圆环上。计算在圆环的轴线上任一给定点在圆环的轴线上任一给定点P P的场强。的场强。解：解：oPxxRr dErerdqEd2041dlRqdldq2由于电荷分布的对称性由于电荷分布的对称性0yEdLxxdEEERoRxRqxdlE2023222)(8dqrxrRqdl2028LdEcos23220)(4Rxqx23220)(4RxqxE讨论：讨论： 若若x xR R 则则204xqE可把带电圆环看

3、成点电荷。可把带电圆环看成点电荷。 若若 x=0, E=0 x=0, E=0环心处电场强度为零。环心处电场强度为零。3.3.由由dE/dxdE/dx=0 =0 可求得电场强度可求得电场强度 极大的位置，故有极大的位置，故有 Rx22轴负向沿为负，则若xEqoPxxRR22R22EoxE例例4.4.均匀带电圆板，半径为均匀带电圆板，半径为R R，电荷面密度为，电荷面密度为 。求轴线上任一点求轴线上任一点P P的电场强度。的电场强度。rdr解：解：利用带电圆环场强公式利用带电圆环场强公式2/3224RxqxEordrdq2232242rxrdrxdEo2220112RxxxdEEoR对带电圆板，当

4、对带电圆板，当 x R xRrR处处SSEdSSdE204rQErerQE204例例8.8.高斯面在在rRrR处处042SrESdE0EORQrPSrEdSE240Q0iSqSdE由高斯定理：由高斯定理：ORrRrR0E讨论：讨论： 均匀带电球壳外任一点场强如同均匀带电球壳外任一点场强如同Q Q集中在球心的点电荷场强，内部集中在球心的点电荷场强，内部场强处处为零。场强处处为零。 球面上（球面上（r=Rr=R）场强不连续，）场强不连续， 204RQE可由叠加原理求出可由叠加原理求出208RQE 均匀带电球体外部场强同球壳均匀带电球体外部场强同球壳033234344RrQrESdES304RQrE

5、内球面上（球面上（r=Rr=R）场强连续）场强连续204RQERr204rQE外球体内部（球体内部（rRrRrR204rQE高斯面Q例例9.9.求无限长均匀带电直线的场强分布。（已知线求无限长均匀带电直线的场强分布。（已知线电荷密度为电荷密度为 ）rh高斯面S侧PnS下nS上nEEP解：解： 无限长均匀带电直线的无限长均匀带电直线的场强具有轴对称性场强具有轴对称性侧下上0下上侧侧SSEdSSdEohrhE2rEo2讨论讨论: : 无限长带电圆筒内部无限长带电圆筒内部 E=0, E=0, 外部外部 rEo20iSqSdErhE2例例10.10.计算无限大均匀带电平面的场强分布。计算无限大均匀带电

6、平面的场强分布。 （电荷密度为（电荷密度为 ）解：解：oSSSdE侧底2SSdE0侧ES底oSES2oE2无限大均匀带电平面两边场强无限大均匀带电平面两边场强对称分布，由高斯定理求解。对称分布，由高斯定理求解。讨论：讨论： 均匀电场；均匀电场； 为负，场强方向垂直指向平面为负，场强方向垂直指向平面S平面之间：平面之间：平面之外：平面之外：02BAEE讨论：（讨论：（3 3）两无限大均匀带异号电荷平面的场强分布两无限大均匀带异号电荷平面的场强分布例例11.11.两同心均匀带电球面，半径分别为两同心均匀带电球面，半径分别为R R1 1和和R R2 2，带电量分别为带电量分别为+q+q1 1和和-q

7、-q2 2，求其电场强度分布。，求其电场强度分布。解解: :r 场强分布球对称，由高斯定理求解场强分布球对称，由高斯定理求解rRrR1 1SSdSESdE0ESSdSESdE0R R1 1R R2 2+q+q1 1-q-q2 2R R1 1rRrRrR2 2SSdSESdE20214rqqE042rE0124qrE02124qqrE0iSqSdE例例12.12.无限长的同轴圆柱与圆筒均匀带电。圆柱的半无限长的同轴圆柱与圆筒均匀带电。圆柱的半径为径为R R1 1，其电荷体密度为，其电荷体密度为 1 1，圆筒的内外半径分别，圆筒的内外半径分别为为R R2 2和和R R3 3（R R1 1R R2

8、2R R3 3）其电荷体密度为）其电荷体密度为 2 2，求空间，求空间任一点的电场强度？任一点的电场强度？R1R3R2 1 2解：解：场强具有轴对称性，由高斯定场强具有轴对称性，由高斯定理解题，取圆柱面为高斯面。理解题，取圆柱面为高斯面。 r rR R1 1SlrESdE2SlrESdE2rRE02112012rE R R1 1r rR R2 2lr0iSqSdE1201lr12101lRSlrESdE2SlrESdE2222231210)(21RRRrE22221210)(21RrRrE R R2 2 r rR R3 3 rR rR3 322221210)(1lRrlRR1R3R2 1 2l

9、r22223121)(lRRlR例例13.13.已知两点电荷电量分别为已知两点电荷电量分别为q q1 1 = = 3.03.0 10 10 -8-8C qC q2 2 = = -3.0 -3.0 1010 -8-8 C C。A A 、B B、C C、D D为电场中四个点，图中为电场中四个点，图中a=8.0cm, r=6.0cma=8.0cm, r=6.0cm。（。（1 1）今将电量）今将电量q q为为2.02.0 1010-9 -9 C C的的点电荷从无限远处移到点电荷从无限远处移到A A点，电场力作功多少？电势点，电场力作功多少？电势能增加多少？能增加多少？ （2 2）将此电荷从）将此电荷从

10、A A点移到点移到B B点，电场力点，电场力作多少功？电势能增加多少？（作多少功？电势能增加多少？（3 3）将此点电荷从）将此点电荷从C C点点移到移到D D，电场力作多少功？电势能增加多少？，电场力作多少功？电势能增加多少？解解(1)222144arqrqVooA)(106 .36JqVEAPA)(106 . 3)(6JEEWPPAA)(106 . 36JEP0PEABCDrrra/2a/2q1q2)()(BAPAPBABVVqEEW04421rqrqVooB解（解（2 2）)(106 . 3)(6JEEWPAPBAB0BPBqVE)(106 . 36JqVEAPA)(106 . 36JEE

11、EPAPBP例例14.14.已知两点电荷电量分别为已知两点电荷电量分别为 q q1 1 = = 3.03.0 10 10 -8-8C C q q2 2 = = -3.0 -3.0 1010 -8-8 C C。 图中图中a=8.0cm, r=6.0cma=8.0cm, r=6.0cm。 （2 2）今将电量今将电量q q为为2.02.0 1010-9 -9 C C的点电的点电荷从荷从A A点移到点移到B B，电场力作多少，电场力作多少功？电势能增加多少？功？电势能增加多少？ABCDrrra/2a/2q1q2222144arqrqVooA例例15.15.已知两点电荷电量分别为已知两点电荷电量分别为q

12、 q1 1 = = 3.03.0 10 10 -8-8C C q q2 2 = = -3.0 -3.0 1010 -8-8 C C。 图中图中a=8.0cm, r=6.0cma=8.0cm, r=6.0cm。 （3 3）今将电量今将电量q q为为2.02.0 1010-9 -9 C C的点电的点电荷从荷从C C点移到点移到D D，电场力作多少，电场力作多少功？电势能增加多少？功？电势能增加多少？ABCDrrra/2a/2q1q2解（解（3 3）)(1800442221VrqraqVooC024240201aqaqVD)(106 . 3)()(6JVVqEEWDCPCPDCD)(106 . 36

13、JEEEPCPDP例例16.16.均匀带电圆环，带电量为均匀带电圆环，带电量为q q，半径为，半径为R R，求轴，求轴线上与环心线上与环心O O相距为相距为x x处点处点P P的电势。的电势。PxrxRO解：解：dlRqdldq2RrqdlrdqdVoo284RrRqdlRrqdVVoLo228282244RxqrqVoo利用方法利用方法 求解。求解。讨论：讨论： X X X=0 X=0RqV04xqV04xRor rdrrxP例例17. 17. 利用上述结果，计算利用上述结果，计算均匀带电均匀带电Q Q圆盘轴线上任一圆盘轴线上任一点的点势。点的点势。 取一半径为取一半径为r r，宽为，宽为d

14、rdr的的小圆环。小圆环。rdrdq22RQRRrxrdrrxdqV0220022024141Rrxrdr02202当当xRxR时，时，xRxRx2222xQxRxRV00202444解：解：224RxqVo)(2220 xRx讨论：讨论：相当一点电荷相当一点电荷该圆环的电荷为该圆环的电荷为224rxdqdVoOR例例18. 18. 半径为半径为R R的均匀带电球壳，带电量为的均匀带电球壳，带电量为Q Q。试求（。试求（1 1）球壳外任意点电势；（球壳外任意点电势；（2 2）球壳内任意点电势；（）球壳内任意点电势；（3 3）球壳上电势；（球壳上电势；（4 4）球壳外两点间电势差。）球壳外两点间

15、电势差。解：解：利用方法利用方法(2)(2)求解求解均匀带电球壳内外场强均匀带电球壳内外场强0内E（1 1）设）设0VP204rdrQrdEVPrP（2 2）204rdrQrdErdEVRPRRP外内204rdrQrdEVRRR外（3 3）rerQE204外rPrrQ04RQ04RQ04orArABrBRQ04rQ04(4)(4)BABAABrdEVVU外)11(44020BArrrrQrdrQBA讨论：讨论：（1 1）球壳外一点的电势，）球壳外一点的电势，相当于电荷集中于球心的相当于电荷集中于球心的点电荷的电势。点电荷的电势。（2 2）球壳内各点电势相等，）球壳内各点电势相等，都等于球壳表面

16、的电势都等于球壳表面的电势 等势体。等势体。orRVrQV04RQV04PrPORrP例例19.19.半径为半径为R R的均匀带电球体，带电量为的均匀带电球体，带电量为q q，求电势，求电势分布。分布。解：解：qRr利用方法利用方法(2)(2)求解求解由高斯定理求球体内、外场强由高斯定理求球体内、外场强ioSqSdRqrEo球内球内314RqrEo球外球外224rqEoqRrRrorCdrrqldEV224r=RRoRBdrrqldEV224oAoBCr球内球内314RqrEo球外球外224rqEorqo4Rqo4例例20. 20. 求两均匀带电同心球面的电势差。设内

17、球面半求两均匀带电同心球面的电势差。设内球面半径径R RA A，带电，带电+q+q；外球面半径；外球面半径R RB B，带电，带电-q-q。解：解：oRARB+q-q内球面上电荷内球面上电荷+q+q在内外球面上的电势在内外球面上的电势AARqV04BBRqV04外球面上电荷外球面上电荷-q-q在内外球面上的电势在内外球面上的电势BARqV04 BBRqV04 内球面电势内球面电势)11(444000BABAAAARRqRqRqVVV 04400 BBBBBRqRqVVV外球面电势外球面电势两球面电势差两球面电势差)11(40BABAABRRqVVU例例21.21. 求无限长均匀带电直线外任一点

18、求无限长均匀带电直线外任一点P P的电势。的电势。( (电荷线密度为电荷线密度为 ) )Prr0A解：解：rEo2 因电荷分布在无限远处，因电荷分布在无限远处，则不能选无限远处为电势零则不能选无限远处为电势零点。可选点。可选A A点为电势零点。点为电势零点。drrldEVoorrorrP2)ln(ln2ln20rrrrooo例例22.22.均匀带电圆环，带电量为均匀带电圆环，带电量为q q，半径为，半径为a a。用电。用电场强度和电势的关系求轴线上任一点场强度和电势的关系求轴线上任一点P P的场强。的场强。解：解：224axqVo已知已知2204axqxxVEEx2322)(4axqxo例例23.23.求电偶极子电场中任意一点求电偶极子电场中任意一点 的电势和电场强度的电势和电场强度.A解解r