流体力学(刘鹤年)-全集教学文稿

1、流体力学(刘鹤年)-全集一、 课程的性质、目的与任务 流体力学是环境工程专业一门必修的专业基础课。通过本课程的学习，使学生理解流体力学的基本概念和基本理论，学会流体力学计算基本方法，掌握水力实验的基本操作技能，为学习后续专业课程和专业技术工作打下基础。 二、 与其它课程的联系 学习本课程应具备高等数学、大学物理、理论力学的基础；后续课程为水处理工程、大气污染控制工程、固体废物处置等。 三、课程的特点 1精讲与泛讲相结合，对于一些重点、难点问题，如恒定流的能量方程、动量方程及其应用要精讲，并配合习题课、例题、提问等形式使学生深入理解并熟练掌握；而对于一些非重、难点问题，如小桥孔径的水力计算、堰流

2、，在交代清楚基本公式的基础上，让学生进行小结自学。 2对基本理论的掌握与常见工程流体力学计算能力的要求并重。 第一章 绪论 本章导读 1.1流体力学及其任务 1.2作用在流体上的力 1.3流体的主要物理性质 1.4牛顿流体和非牛顿流体 本章小节本 章 导 读 本章主要阐述了流体力学的概念与发展简史；流体力学的概述与应用；流体力学课程的性质、目的、基本要求；流体力学的研究方法及流体的主要物理性质。流体的连续介质模型是流体力学的基础，在此假设的基础上引出了理想流体与实际流体、可压缩流体与不可压缩流体、牛顿流体与非牛顿流体概念。 1.1 流体力学及其任务研究对象：流体 定义：所谓流体就是液体和气体的

3、合称。 基本特征是具有流动性。 所谓流动性是指流体的微小切力作用下，连续变 形的特性。只要切力存在，流动就持续进行。 流动性是区别流体和固体的力学特征。2、连续介质模型1.问题的引出 微观：流体是由大量做无规则运动的分子组成的，分子之间存在空隙，在时间和空间上不连续，致使流体的物理量随时间、空间的变化而变化。 宏观：一般工程中，所研究液体的空间尺度要比分子距离大得多，即考虑宏观特性，在流动空间和时间上所采用的一切特征尺度和特征时间都比分子距离和分子碰撞时间大得多。2.流体的连续介质假设 a 定义：不考虑分子间的间隙，把流体视为由无数连续分布的流体微团组成的连续介质。 b 液体微团必须具备的两个

4、条件：必须包含足够多的分子；体积必须很小。.采用流体连续介质假设的优点 a避免了流体分子运动的复杂性，只需研究流体的宏观运动。 b可以利用教学工具来研究流体的平衡与运动规律。理论研究方法、实验研究方法、数值研究方法相互配合，互为补充1.理论研究方法力学模型物理基本定律求解数学方程分析和揭示本质和规律 理论方法中，引用的主要定律有： （1）质量守恒定律： （2）动量守恒定律： （3）牛顿运动第二定律： （4）机械能转化与守恒定律：动能+压能+位能+能量损失=Const2.实验研究方法相似理论模型实验装置 主要形式：原型观测、系统实验、模型试验3.数值研究方法计算机数值方法是现代分析手段中发展最快

5、的方法之一3、流体力学的研究方法1.2 作用在流体上的力作用在流体上的力表面力质量力定义：表面力：外界对所研究流体表面的作用力，直接作用在外表 面，与表面积大小成正比。质量力：作用在所取流体体积内每一质点上的力，其大小与质 量成正比例，称为质量力。表面力质量力质量力1.2 作用在流体上的力1.2 作用在流体上的力应力应力 ：表面力在隔离体表面某一点的大小（集度）用应：表面力在隔离体表面某一点的大小（集度）用应力来表示。力来表示。 FFPPTTA AAAV V法向应力pA周围流体作用的表面力切向应力表面力具有传递性(例如某深度的压强随表面压强增大而增大)APpAATAAFAlim0APpAAli

6、m0ATAlim0 为为 上的平均压应力上的平均压应力为为 上的平均剪应力应力上的平均剪应力应力 法向应力：法向应力： 切向应力：切向应力： 为为A点的剪应力点的剪应力应力：应力：为为A点压应力，即点压应力，即A点的压强点的压强应力的单位是帕斯卡（应力的单位是帕斯卡（pa），），1pa=1N/FFPPTTA AAAV V法向应力pA周围流体作用的表面力切向应力二、质量力 质量力中最常见的有重力，惯性力，离心力（非惯性学）。质量力的大小由单位质量力来表示质量力的大小由单位质量力来表示 设均质流体的质量为m ，所受的质量力为 ，则单位质量力BFBFfm 单位为单位为 2m s单位质量力在各坐标轴的

7、分量分别用X,Y,Z来表示ByBxBzFFFX,Y,ZmmmmFmFmFkZjYiXfBzByBx单位质量力的单位：m/s2 ，与加速度单位一致。 若作用在流体上的质量力只有重力，则BxByBzF0, F0, Fmg 单位质量力 X=0 ，Y=0， mgZg .m 负号表示质量力的方向与Z轴方向相反.其中1.3 流体的主要物理性质主要指：主要指：惯性、粘性、压缩、膨胀性惯性、粘性、压缩、膨胀性p 一一 流体的基本特征流体的基本特征 1.物质的三态物质的三态 主要形式有：固体、液体和气体。主要形式有：固体、液体和气体。流体和固体的区别流体和固体的区别: 从力学分析，对外力抵抗能力不同。从力学分析

8、，对外力抵抗能力不同。 a 固体：既能承受压力，也能承受拉力与抵抗拉伸变形。固体：既能承受压力，也能承受拉力与抵抗拉伸变形。 b 流体：只能承受压力，一般不能承受拉力与抵抗拉伸变形。流体：只能承受压力，一般不能承受拉力与抵抗拉伸变形。液体和气体的区别：液体和气体的区别： (1)气体易于压缩；而液体难于压缩；气体易于压缩；而液体难于压缩； (2)液体有一定的体积，存在一个自由液面；气体能充满任意形状的容液体有一定的体积，存在一个自由液面；气体能充满任意形状的容器，无一定的体积，不存在自由液面。器，无一定的体积，不存在自由液面。液体和气体的共同点：液体和气体的共同点： 两者均具有易流动性，即在任何

9、微小切应力作用下都会发生变形或流动。两者均具有易流动性，即在任何微小切应力作用下都会发生变形或流动。 二、惯性惯性是物体保持原有状态的性质，凡改变物体的运动状态，都必须克服惯性是物体保持原有状态的性质，凡改变物体的运动状态，都必须克服惯性的作用。惯性的作用。质量是物质的基本属性之一，是物体惯性大小的量度质量是物质的基本属性之一，是物体惯性大小的量度，质量越大，惯性，质量越大，惯性也越大。单位体积流体的质量称为密度（也越大。单位体积流体的质量称为密度（density），以），以表示，单位：表示，单位：kg/m3。对于均质流体，设其体积为。对于均质流体，设其体积为V，质量，质量m ，则为密度，则为

10、密度对于非均质流体，密度随点而异。若取包含某点在内的体积，其中对于非均质流体，密度随点而异。若取包含某点在内的体积，其中质量，则该点密度需要用极限方式表示质量，则该点密度需要用极限方式表示常见的密度（在一个标准大气压下）：常见的密度（在一个标准大气压下）：44时的水时的水 2020时的空气时的空气3/1000mkg3/2 .1mkg容重（重度）容重（重度）g 三、黏性1.黏性的表象黏性的表象huu+duUzydyx 上平板带动粘附在板上的流层运动，而且能影响到内上平板带动粘附在板上的流层运动，而且能影响到内部各流层运动，表明内部各流层之间，存在着剪切力，即部各流层运动，表明内部各流层之间，存在

11、着剪切力，即内摩擦力，这就是粘性的表象。由此得出，黏性时流体的内摩擦力，这就是粘性的表象。由此得出，黏性时流体的内摩擦特性。内摩擦特性。2.牛顿内摩擦定律a 定义定义: 牛顿内摩擦定律：牛顿内摩擦定律： 流体运动时，相邻流层间所产流体运动时，相邻流层间所产生的切应力与剪切变形的速率成正比。即生的切应力与剪切变形的速率成正比。即 duTAdy以应力表示以应力表示 粘性切应力，是单位面积上的内摩擦力。粘性切应力，是单位面积上的内摩擦力。 说明：说明：1）流体的切应力与剪切变形速率，或角变形率成正比。）流体的切应力与剪切变形速率，或角变形率成正比。 2）流体的切应力与动力粘度）流体的切应力与动力粘度

12、成正比。成正比。 3）对于平衡流体）对于平衡流体dr/dt =0，对于，对于理想流体理想流体=0，所以均，所以均不产生切应力，即不产生切应力，即 =0。dtdrdydub.速度梯度的物理意义由上图可知：由上图可知：duudyh由右图可知由右图可知 速度梯度，剪切应变率（剪切变形速度）速度梯度，剪切应变率（剪切变形速度）(u+du)-udtdudtdr=tan(dr)=dydydudrdydt 剪应变率剪应变率 流体与固体在摩擦规律上完全不同的。流体与固体在摩擦规律上完全不同的。 udt(u+du)dtdudtdyddtdrdyduc 粘度 1）是比例系数，称为动力黏度，单位是比例系数，称为动力

13、黏度，单位“pas”。动力黏度是流体黏性大。动力黏度是流体黏性大小的度量，小的度量，值越大，流体越粘，流动性越差。值越大，流体越粘，流动性越差。2）是运动粘度：由于粘度是运动粘度：由于粘度和密度和密度都是液体的内在属性，在分析粘性流都是液体的内在属性，在分析粘性流体运动规律时，体运动规律时，和和经常以比的形式出现，将其定义为流体的运动粘度经常以比的形式出现，将其定义为流体的运动粘度。，单位：，单位：m2/s 同加速度的单位同加速度的单位说明：说明：1）气体的粘度不受压强影响，液体的粘度受压强影响也很小。）气体的粘度不受压强影响，液体的粘度受压强影响也很小。 2）液体粘度随温度升高而减小，气体的

14、粘度随温度升高而增大。（见）液体粘度随温度升高而减小，气体的粘度随温度升高而增大。（见P7水的粘度和空气的粘度）水的粘度和空气的粘度）微观机制：微观机制：液体吸引力液体吸引力T气体热运动气体热运动T动力粘度运动粘度d 无黏性流体无粘性流体，是指无粘性即=0的液体。无粘性液体实际上是不存在的，它只是一种对物性简化的力学模型。 无粘性流体不考虑粘性，所以对流动的分析大为简无粘性流体不考虑粘性，所以对流动的分析大为简化，从而容易得出理论分析的结果。所得结果，对于某化，从而容易得出理论分析的结果。所得结果，对于某些粘性影响很小的流动，能够较好地符合实际；对粘性些粘性影响很小的流动，能够较好地符合实际；

15、对粘性影响不能忽略的流动，则可通过实验加以修正，从而能影响不能忽略的流动，则可通过实验加以修正，从而能比较容易地解决实际流动问题。比较容易地解决实际流动问题。例1-1. 一底面积为40cm45cm，高1cm的木块，质量为5kg，沿着涂有润滑油的斜面等速向下运动。已知速度v=1m/s，=1mm，求润滑油的动力粘度系数。dydu解：设木块所受的摩擦力为解：设木块所受的摩擦力为T。 木块均匀下滑木块均匀下滑, T - Gsin=0 T=Gsin=59.85/13=18.8N 又有牛顿剪切公式又有牛顿剪切公式=T/(Av)=18.80.001/(0.400.451)=0.105PaS/45.040.0

16、vdyduAT四、可压缩性与热膨胀性可压缩性热膨胀性 四、可压缩性与热膨胀性 1.概念概念（1）可压缩性：流体受压，体积缩小，密度增大，除去外力后能恢复原）可压缩性：流体受压，体积缩小，密度增大，除去外力后能恢复原状的性质。状的性质。 T一定，一定，dp增大，增大，dv减小减小（2）热膨胀性：流体受热，体积膨胀，密度减小，温度下降后能恢复原）热膨胀性：流体受热，体积膨胀，密度减小，温度下降后能恢复原状的性质。状的性质。 P一定，一定，dT增大，增大，dV增大增大 2.液体的可压缩性和热膨胀性液体的可压缩性和热膨胀性液体的压缩系数液体的压缩系数和体积弹性模量和体积弹性模量K液体的压缩系数液体的压

17、缩系数表示为在一定的温度下，压强增加表示为在一定的温度下，压强增加1个单位，体积的个单位，体积的相对缩小率。即为在一定温度下，体积的相对减小值与压强增加值的比值。相对缩小率。即为在一定温度下，体积的相对减小值与压强增加值的比值。若液体的原体积为若液体的原体积为V，压强增加，压强增加dP后，体积变化为后，体积变化为dV，则压缩系数为：，则压缩系数为：dPdVVdPVdV1/ 由于液体受压体积减小，由于液体受压体积减小，dP与与dV异号，以使异号，以使为正值；其值愈大，为正值；其值愈大，愈容易压缩。愈容易压缩。的单位是的单位是“1/Pa”。根据增压前后质量无变化根据增压前后质量无变化0)(VddV

18、Vddm得得 dVdVdPd1体积弹性模量体积弹性模量K是压缩系数的倒数，用是压缩系数的倒数，用K表示，单位是表示，单位是“Pa”ddPdVdPVK1例例 当水的压强增加当水的压强增加1个大气压时，水的密度增大约为多少？个大气压时，水的密度增大约为多少？ 解，一般认为水的压缩系数为定值，约为解，一般认为水的压缩系数为定值，约为510-10 1/Pa。dP=1105。dPd1d/=510-5=1/20000（2）液体热膨胀系数，它表示在一定的压强下，温度增加）液体热膨胀系数，它表示在一定的压强下，温度增加1度，体积的度，体积的相对增加率。相对增加率。若液体的原体积为若液体的原体积为V，温度增加，

19、温度增加dT后，体积增加后，体积增加dV，热膨胀系数为，热膨胀系数为单位为单位为“1/K”或或“1/”dTddTdVVV11在一定压强下，体积的变化速度与温度成正比。在一定压强下，体积的变化速度与温度成正比。从从p9-10表表1-5和表和表1-6可知，水的压缩系数和热膨胀系数都很小。可知，水的压缩系数和热膨胀系数都很小。 例例 活塞加压，缸体内液体的压强为活塞加压，缸体内液体的压强为0.1MPa时，体积为时，体积为1000cm3，压强为压强为10MPa时，体积为时，体积为995 cm3。试求液体的体积弹性模量。试求液体的体积弹性模量。 PaPadVdPVK96631098. 1105109 .

20、 9100 . 11 3.气体的可压缩性和热膨胀性气体具有显著的可压缩性，一般情况下，常用气体（如空气、氮、氧、气体具有显著的可压缩性，一般情况下，常用气体（如空气、氮、氧、CO2等）的密度、压强和温度三者之间符合完全气体状态方程，即等）的密度、压强和温度三者之间符合完全气体状态方程，即理想气体状态方程理想气体状态方程RTP式中：式中：P P 气体的绝对压强（气体的绝对压强（PaPa）；）； 气体的密度（气体的密度（Kg/cmKg/cm3 3）；）； T T 气体的热力学温度（气体的热力学温度（K K）；）； R R 气体常数；在标准状态下，气体常数；在标准状态下，)/(8314RKKgJM，

21、M为气体的分子量，空气的气体常数为气体的分子量，空气的气体常数R=287J/KgK。适用范围：当气体在很高的压强，很低温度下，或接近于液态时，其适用范围：当气体在很高的压强，很低温度下，或接近于液态时，其不再适用。不再适用。 4.流体的分类a 根据流体受压体积缩小的性质，流体可分为：根据流体受压体积缩小的性质，流体可分为： 可压缩流体（可压缩流体（compressible flow）：流体密度随压强变化不能忽略的）：流体密度随压强变化不能忽略的流体流体(Const)。不可压缩流体（不可压缩流体（incompressible flow）：流体密度随压强变化很小，）：流体密度随压强变化很小，流体的

22、密度可视为常数的流体流体的密度可视为常数的流体(=Const)。注：注： (a)严格地说，不存在完全不可压缩的流体。严格地说，不存在完全不可压缩的流体。 (b)一般情况下的液体都可视为不可压缩流体（发生水击时除外）。一般情况下的液体都可视为不可压缩流体（发生水击时除外）。 (c)对于气体，当所受压强变化相对较小时，可视为不可压缩流体。对于气体，当所受压强变化相对较小时，可视为不可压缩流体。 (d)管路中压降较大时，应作为可压缩流体。管路中压降较大时，应作为可压缩流体。b根据流体是否具有粘性，可分为：根据流体是否具有粘性，可分为： 实际流体：指具有粘度的流体，在运动时具有抵抗剪切变形的能力，即存

23、实际流体：指具有粘度的流体，在运动时具有抵抗剪切变形的能力，即存在摩擦力，粘度在摩擦力，粘度0。 理想流体：是指既无粘性（理想流体：是指既无粘性（=0）又完全不可压缩）又完全不可压缩(=Const) 流体，在流体，在运动时也不能抵抗剪切变形。运动时也不能抵抗剪切变形。例例 汽车上路时，轮胎内空气的温度为汽车上路时，轮胎内空气的温度为20，绝对压强为，绝对压强为395KPa，行，行驶后轮胎内空气温度上升到驶后轮胎内空气温度上升到50，试求此时的压强。，试求此时的压强。解：在温度由解：在温度由20增加到增加到50的过程中，轮胎的体积变化很小，的过程中，轮胎的体积变化很小，可以忽略，则此过程中可以忽

24、略，则此过程中也是常数。由理想气体状态方程，也是常数。由理想气体状态方程，RTP，则，则 2211TPTPKPaKPaTTPP44.43529332339521121.4牛顿流体和非牛顿流体p一、牛顿流体（newtonian fluids） 指任一点上的剪应力都同剪切变形速率呈线性函数关系的流体，即遵循牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体（水、大部分轻油、气体等） 。牛顿流体du/dy流变曲线p 二、非牛顿流体二、非牛顿流体不符合牛顿内摩擦定律的流体称为非牛顿流体不符合牛顿内摩擦定律的流体称为非牛顿流体0du/dyo塑性流体，也叫宾汉体 塑性流体塑性流体克服初始应力克服初始应力0 0后，后，才与速

25、度梯度成正比（牙膏、才与速度梯度成正比（牙膏、新拌水泥砂浆、中等浓度的悬浮液等）新拌水泥砂浆、中等浓度的悬浮液等）du/dyo拟塑性流体，也称伪塑体 拟塑性流体拟塑性流体的的增长率增长率随随du/dy的增大而降低（高分的增大而降低（高分子溶液、纸浆、血液等）子溶液、纸浆、血液等）du/dyo膨胀型流体 膨胀型流体膨胀型流体的的增长率增长率随随du/dy的增大而增加（淀粉的增大而增加（淀粉糊、挟沙水流）糊、挟沙水流）0du/dyo膨胀型流体牛顿流体拟塑性流体塑性流体本章小结 1.流体力学的任务是研究流体的宏观机械运动，提出了流体的易流动性概念，即流体在静止时，不能抵抗剪切变形，在任何微小切应力作

26、用下都会发生变形或流动。同时又引入了连续介质模型假设，把流体看成没有空隙的连续介质，则流体中的一切物理量（如速度u和密度）都可看作时空的连续函数，可采用函数理论作为分析工具。 2.流体的压缩性，一般可用体积压缩率和体积模量来描述，通常情况下，压强变化不大时，都可视为不可压缩流体。 3.粘滞性是流体的主要物理性质，它是流动流体抵抗剪切变形的一种性质，不同的流体粘滞性大小用动力粘度或运动粘度v来反映。其中温度是粘度的影响因素：随温度升高，气体粘度上升、液体粘度下降。 4.牛顿内摩擦定律 表明流体的切应力大小与速度梯度或角变形率或剪切变形速率成正比，这是流体区别于固体（固体的切应力与剪切变形大小成正

27、比）的一个重要特性。根据是否遵循牛顿内摩擦定律，可将流体分为牛顿流体和非牛顿流体。 谢谢 谢！谢！第二章第二章 流体静力学流体静力学p2-1 2-1 静止流体的静压强及其特性静止流体的静压强及其特性p2-2 2-2 流体平衡微分方程流体平衡微分方程p2-3 2-3 重力场中流体静压强的分布规律重力场中流体静压强的分布规律p2-42-4流体的相对平衡流体的相对平衡p2-52-5液体作用在平面上的总压力液体作用在平面上的总压力p2-62-6液体作用在曲面上的总压力液体作用在曲面上的总压力流体静力学着重研究流体在外力作用下处于平衡状态的规律及其在工程实际中的应用。这里所指的静止包括绝对静止和相对静止

28、两种。以地球作为惯性参考坐标系，当流体相对于惯性坐标系静止时，称流体处于绝对静止状态；当流体相对于非惯性参考坐标系静止时，称流体处于相对静止状态。流体处于静止或相对静止状态，两者都表现不出黏性作用，即切向应力都等于零。所以，流体静力学中所得的结论，无论对实际流体还是理想流体都是适用的。2-1 静止流体的静压强及其特性一、流体静压强 流体压力：是指流体内部相邻两部分之间相互作用的力或指流体对固体壁面的作用力（或静止流体对其接触面上所作用的压力）。其一般用符号P表示，单位是kN或。p图 2-1 p流体静压强流体静压强在静止流体中任取一点在静止流体中任取一点M M，围绕，围绕M M点取一微小面积点取

29、一微小面积AA，作用在该面积上，作用在该面积上的静水压力为的静水压力为PP，如图，如图2-2-所示，则面积所示，则面积AA上的平均压强为：上的平均压强为：它反映了受压面它反映了受压面AA上流体静压强的平均值。上流体静压强的平均值。APpp点压强 如图2-1所示，将面积A围绕M点无限缩小，当A0时，比值的极限称为M点的静水压强，即APpAlim0p图 2 - 1 二、流体静压强的特性 流体静压强的方向与作用面相垂直，并指向作用面的内法线方向。这一特性可由反证法给予证明： 假设在静止流体中，流体静压强方向不与作用面相垂直，而与作用面的切线方向成角，如图2-2所示。pnptp切向压强静压强法向压强图

30、 2-2 作用于静止流体中同一点的压强的大小各向相等，与作用面的方向无关。 那么静压强那么静压强p可以分解成两个分力即切向压强可以分解成两个分力即切向压强pt和法向压强和法向压强pn。由于切向压强是一个剪切力，由第一章可知，流体具有流动性，受由于切向压强是一个剪切力，由第一章可知，流体具有流动性，受任何微小剪切力作用都将连续变形，也就是说流体要流动，这与我任何微小剪切力作用都将连续变形，也就是说流体要流动，这与我们假设是静止流体相矛盾。流体要保持静止状态，不能有剪切力存们假设是静止流体相矛盾。流体要保持静止状态，不能有剪切力存在，唯一的作用力便是沿作用面内法线方向的压强。在，唯一的作用力便是沿

31、作用面内法线方向的压强。 证明：如图2-3所示，在静止流体中任取一微小四面体，其三个棱边分别平行于X、Y、Z轴，长度分别为dx、dy、dz。三个垂直于X、Y、Z轴的面积分别为dAX、dAY、dAZ，斜面面积为dAN。 因四面体是在静止流体中取出的，它在各种外力作用下处于平衡状态。pypxpzpn作用在ACD面上的流体静压强作用在ABC面上的流体静压强作用在BCD面上的静压强作用在ABD面上的静压强图23 微元四面体受力分析 表面力：（只有各面上的垂直压力即周围液体的静水压力） 质量力： 其质量为dxdydz61nnnZZZZYYYYXXXXdApdPdxdypdApdPdxdzpdApdPdy

32、dzpdApdP212121单位质量力在各方向上的分别为单位质量力在各方向上的分别为X X、Y Y、Z Z，则质量力在各方向上，则质量力在各方向上的分量为的分量为 上述质量力和表面力在各坐标轴上的投影之和应分别等于零。上述质量力和表面力在各坐标轴上的投影之和应分别等于零。即：即：0, 0, 0ZYXFFFdxdydzZdxdydzYdxdydzX61,61,61以X方向为例：因为代入上式得：当四面体无限地缩小到0点时，上述方程中最后一项近于零，取极限得,即: 同理： 由此可见： 061),cos(dxdydzXXndApdApFnnXXXdydzdAXndAxn21),cos(03Xdxppn

33、X0nXppnYppnZpp， nZYXpppp 上式说明，在静止流体中，任一点流体静压强的大小与作用面的方位无关，但流体中不同点上的流体静压强可以不等，因此，流体静压强是空间坐标的标量函数，即：),(ZYXpp dzzpdyypdxxpdp2-2 流体平衡微分方程 一、流体平衡微分方程欧拉平衡方程 如图所示，在平衡流体中取一微如图所示，在平衡流体中取一微元六面体，边长分别为元六面体，边长分别为d dx x，d dy y，d dz z，设中心点的压强为，设中心点的压强为p p( (x,y,zx,y,z)=)=p p，对其进行受力分析：，对其进行受力分析： 根据平衡条件，在根据平衡条件，在y y

34、方向有方向有，即：，即： 流体平衡微分方程（即欧拉平流体平衡微分方程（即欧拉平衡方程）：衡方程）： X X、Y Y、Z Z 单位质量力在单位质量力在x x、y y、z z轴方向的分量轴方向的分量 单位质量流体所受的表面力在单位质量流体所受的表面力在x x、y y、z z轴轴方向上的分量方向上的分量xp1yp1zp12)公式适用条件：理想流体、实际流体；绝对、相对静止；可压缩与不可压缩流体。 压强沿轴向的变化率（压强沿轴向的变化率（ ）等于轴向单位体）等于轴向单位体积上的质量力的分积上的质量力的分量量（XX，YY，ZZ）。）。 1)1)物理意义：物理意义： 处于平衡状态的流体，单位质量流体所受的

35、表面力分量处于平衡状态的流体，单位质量流体所受的表面力分量与与 质量力分量彼此相等。质量力分量彼此相等。说明：说明： 二、平衡微分方程的综合式)(ZdzYdyXdxdzzpdyypdxxpZdzYdyXdxdpdzzWdyyWdxxWdWzWZWYxWX.y.对上式相加移项整理得：对上式相加移项整理得：上式左边为流体静压强上式左边为流体静压强p p的全微分的全微分dpdp，则可表示为：，则可表示为：上式左边是一个全微分，右边也是某一函数的全微分，令势数为上式左边是一个全微分，右边也是某一函数的全微分，令势数为W W（x x，y y，z.z.），则），则W W的全微分为：的全微分为：因而有因而有

36、: :符合上式关系式的函数，称为力的势函数。符合上式关系式的函数，称为力的势函数。具有势函数的力称为有势的力（势是随空间位置而变化的函数，其数值具有势函数的力称为有势的力（势是随空间位置而变化的函数，其数值与势能有关）。与势能有关）。结论：流体只有在有势的质量力作用下才能保持平衡。质量力有势是流结论：流体只有在有势的质量力作用下才能保持平衡。质量力有势是流体静止的必要条件。体静止的必要条件。（2-7）三、等压面1 1、定义：同种连续静止流体中，静压强相等的点组成的面。、定义：同种连续静止流体中，静压强相等的点组成的面。（p pconstconst）由由 p pconst const dpdp0

37、 0 得得 )(ZdzYdyXdxdp0ZdzYdyXdx2 2、方程：、方程：由上式由上式dUdp3. 3. 等压面性质等压面性质 作用在静止流体中任一点的质量力必然垂直于通过该点的等压面。作用在静止流体中任一点的质量力必然垂直于通过该点的等压面。 则由空间解析几何：单位质量力做的功应为则由空间解析几何：单位质量力做的功应为 等压面不能相交等压面不能相交 相交相交 一点有一点有2 2个压强值：错误个压强值：错误 等压面就是等势面。因为等压面就是等势面。因为证明：沿等压面移动无穷小距离证明：沿等压面移动无穷小距离所以，质量力与等压面相垂直。所以，质量力与等压面相垂直。fdzkdyjdxisd0

38、ZdzYdyXdxsdf 绝对静止流体的等压面是水平面绝对静止流体的等压面是水平面X XY Y0 0，Z Zg + g + 性质性质 两种互不相混的静止流体的分界面必为等压面两种互不相混的静止流体的分界面必为等压面证明：在分界面上任取两点证明：在分界面上任取两点A A、B B，两点间势差为，两点间势差为dUdU，压，压差为差为dpdp。因为它们同属于两种流体，设一种为。因为它们同属于两种流体，设一种为1 1，另一种为，另一种为2 2，则，则有有: :dpdp 1 1 dU dU 且且 dpdp 2 2 dUdU因为因为 1 1 2 20 0 所以所以 只有当只有当dpdp、 dUdU均为零时，

39、方程才成立。均为零时，方程才成立。结论：同一种静止相连通的流体的等压面必是水平面（只有重力作用下）结论：同一种静止相连通的流体的等压面必是水平面（只有重力作用下）自由表面、不同流体的交界面都是等压面。自由表面、不同流体的交界面都是等压面。说明：说明： 等压面可能是水平面、斜面、曲面、分界面。等压面可能是水平面、斜面、曲面、分界面。2-3 重力作用下水静力学基本方程)(ZdzYdyXdxdp0, 0ZYXCgzpgdzdp一、重力作用下液体静力学基本方程一、重力作用下液体静力学基本方程p 1. 1.基本方程式的两种表达式基本方程式的两种表达式设重力作用下的静止液体，选直角坐标设重力作用下的静止液

40、体，选直角坐标系系oxyz（图（图2-6），自由液面位置高度为），自由液面位置高度为H，压强为，压强为p0。液体中任一点的压强，由式流体平衡微分方程的液体中任一点的压强，由式流体平衡微分方程的综合式综合式（2-7）重力作用下静止液体质量力：重力作用下静止液体质量力：，代入式（，代入式（2-7）得）得(2-8) 在自由液面上有：在自由液面上有：z=H 时时,p=p0 。代入。代入(2-8)式有式有:gHpC0 (2-9) 或以单位体积的重量g除以式 2-8 得：（2-10）式中：式中：PP静止液体内部某点的压强静止液体内部某点的压强 P P0 0液体表面压强，对于液面通大气的开口容器，视为大气液

41、体表面压强，对于液面通大气的开口容器，视为大气 压强并以压强并以PaPa表示表示 hh该点到液面的距离，称淹没深度该点到液面的距离，称淹没深度 ZZ该点在坐标平面以上的高度该点在坐标平面以上的高度 式（式（2-92-9）（）（2-102-10）以不同的形式表示重力作用下液体静压强的）以不同的形式表示重力作用下液体静压强的分布规律，均称为液体静力学基本方程式。分布规律，均称为液体静力学基本方程式。ghpp0CgpzP0P1P2Z1Z2 2、推论 ghpzHgpp00)(由液体静力学基本方程由液体静力学基本方程 或或 当当 时，时， ( (2-11) )结论：结论：1 1）仅在重力作用下，静止流体

42、中某一点的静水压强随深度按）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强随深度按线性规律增加。线性规律增加。 2 2）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强等于表面压强加）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强等于表面压强加上流体的容重与该点淹没深度的乘积。上流体的容重与该点淹没深度的乘积。3 3）自由表面下深度）自由表面下深度h h相等的各点压强均相等相等的各点压强均相等只有重力作用下的只有重力作用下的同一连续连通的静止流体的等压面是水平面。同一连续连通的静止流体的等压面是水平面。 4 4）推广：已知某点的压强和两点间的深度差，即可求另外一点的压）推广：已知某点的压强和两点间的深度差，

43、即可求另外一点的压强值。强值。 （2-12）00pghphgpp12二.气体压强分布1.按常密度计算gdzdp由液体平衡微分方程的全微分式由液体平衡微分方程的全微分式(2-7)(2-7)，质量力只有重力，质量力只有重力，X=Y=0,Z=-g X=Y=0,Z=-g 得得（2-13） 按密度为常数，积分上式，得按密度为常数，积分上式，得因气体的密度因气体的密度很小，对于一般的仪器设备，高度很小，对于一般的仪器设备，高度Z Z有限，重力对有限，重力对气体压强的影响很小，可以忽略，故可以认为各点的压强相等，即：气体压强的影响很小，可以忽略，故可以认为各点的压强相等，即： P=C P=C （2-142-

44、14） 例如储气罐内各点的压强相等。例如储气罐内各点的压强相等。Cgzp2.大气层压强的分布以大气层为研究对象，研究压强的分布，必须考虑空气的压缩性。以大气层为研究对象，研究压强的分布，必须考虑空气的压缩性。 根据对大气层的实测，从海平面到高程根据对大气层的实测，从海平面到高程11km11km范围内，温度随高范围内，温度随高度上升而降低，约每升高度上升而降低，约每升高1000m1000m，温度下降，温度下降6.5K6.5K，这一层大气称为，这一层大气称为对流层。从对流层。从11-15Km11-15Km，温度几乎不变，恒为，温度几乎不变，恒为216.5K216.5K（-56.5-56.5），这）

45、，这一层为同温层。一层为同温层。 （1）. . 对流层对流层由式（2-13）密度密度随压强和温度变化，由完全气体状态方程求随压强和温度变化，由完全气体状态方程求RTp，代入上式，得，代入上式，得dzRTpgdp （2-15） gdzdp式中温度式中温度T T随高程变化，随高程变化，T=TT=T0 0-z-z，T T0 0为海平面上得热力学温度，为海平面上得热力学温度，=0.0065K/m=0.0065K/m，于是，于是)(0zTRpgdzdp)()(000zTzTdRgpdpzppa得得 RgTzppa)1 (0（2-16）将国际标准大气条件：海平面（平均纬度将国际标准大气条件：海平面（平均纬

46、度4545）上，温度）上，温度T T0 0=288K=288K（1515），），p pa a=1.013=1.01310105 5N/mN/m2 2, ,以及以及R=287J/(KgK)R=287J/(KgK)，=0.0065K/m=0.0065K/m，代入上式，得到对流层标准大气压分布，代入上式，得到对流层标准大气压分布kpazp256. 54430013 .101式中式中z的单位为的单位为“m”，0z11Km（2）同温层同温层的温度同温层的温度 Td=T0-Zd=288-0.006511000=216.5K同温层最低处（同温层最低处（Zd=11000m）的压强，由式（）的压强，由式（2-1

47、6）算得）算得 Pd=22.6Kpa将以上条件代入式（将以上条件代入式（2-15）积分，便可得到同温层标准大气压分布）积分，便可得到同温层标准大气压分布dzRTpgdzRTpgdpddzRTgpdpzzdppda)633411000exp(6 .22zp式中式中z得单位为得单位为m，11000mz25000m。1、静压强的表示方法a.a.绝对压强绝对压强: :（ ）以绝对真空状态下的压强（绝对零压强）为基准计量的压强，用表以绝对真空状态下的压强（绝对零压强）为基准计量的压强，用表示，示， 。 工程大气压：工程大气压： 1P1Pt t98KN/m 98KN/m abspb b相对压强相对压强:

48、:（ ）又称又称“表压强表压强”，是以当地工程大气压，是以当地工程大气压(at) 为基准计量的压强。用为基准计量的压强。用p表表示，示， ，p可可“”可可“ ”，也可为，也可为“0”。 paabspppc c真空：（真空：（ ）当流体中某点的绝对压强小于大气压强时，则该点为真空，其相对压当流体中某点的绝对压强小于大气压强时，则该点为真空，其相对压强必为负值。强必为负值。vpabsavppp三、压强的表示方法和单位真空 绝对压强计示压强绝对压强图2-8 绝对压强、计示压强和真空之间的关系2、压强的计量单位a a用单位面积上的力表示：应力单位为用单位面积上的力表示：应力单位为PaPa，kNkNm

49、m2 2。 1 Pa1 Pa1N1Nm m2 2。b b用液柱高度表示用液柱高度表示:m(:m(液柱液柱) )。c c用工程大气压用工程大气压P Patat的倍数表示。的倍数表示。1 P1 Pat at 98kPa98kPa如如某点压强为某点压强为196kPa196kPa，则可表示为，则可表示为atPkPakPap298196 1at 1at相当于相当于 四、测压原理1、测压管 测压管（pizometric tube）：是以液柱高度为表征测量点压强的连通管。一端与被测点容器壁的孔口相连，另一端直接和大气相通的直管。 适用范围：测压管适用于测量较小的压强，但不适合测真空。 如图右所示，由等压面原

50、理计算：如图右所示，由等压面原理计算：ghpA 如果被测点如果被测点A A的压强很小，为了提高测量精度，增大的压强很小，为了提高测量精度，增大测压管标尺读数，常采用以下两种方法：测压管标尺读数，常采用以下两种方法： （1 1）将测压管倾斜放置如图右，）将测压管倾斜放置如图右，此时标尺读数为此时标尺读数为l，而压强水头为，而压强水头为垂直高度垂直高度h，则，则 （2 2）在测压管内放置轻质而又和被测液体互不混掺的液体，）在测压管内放置轻质而又和被测液体互不混掺的液体，重度重度 ，则有较大的，则有较大的h h。 singlghpA)()(gg2、水银测压计与U形测压计 22011gzpgzpA 适

51、用范围：用于测定管道或容器中适用范围：用于测定管道或容器中某点流体压强，通常被测点压强较大。某点流体压强，通常被测点压强较大。 右图中，右图中，BBBB为等压面为等压面 U型测压计1122gzgzpA3、压差计 112231gzgzgzppBAhz22200123)()()()(zzzzzzggzgpgpwHgwBwA分类：空气压差计：用于测中、低压差；分类：空气压差计：用于测中、低压差； 油压差计：用于测很小的压差；油压差计：用于测很小的压差； 水银压差计：用于测高压差。水银压差计：用于测高压差。 适用范围：测定液体中两点的压强差或测压管水头差。适用范围：测定液体中两点的压强差或测压管水头差

52、。 压差计计算：如图右压差计计算：如图右 若若A A、 B B中流体均为水，中流体均为水，2 2为水银，为水银，则，则 hhgggpzgpzwHgwBBwAA6 .12) 1)()()()(4、金属测压计（压力表） 适用范围：用于测定较大压强适用范围：用于测定较大压强, ,是自来水厂及管路系统是自来水厂及管路系统最常用的测压仪表。最常用的测压仪表。 5 5、真空计（真空表）、真空计（真空表） 适用范围：用于测量真空。适用范围：用于测量真空。 Z 真空表 YZ 压力真空表 五、帕斯卡原理111ppp222ppphpp12如图右所示，设如图右所示，设1 1点压强点压强p p1 1若增减若增减p p

53、1 1 ，则，则2 2点点p p2 2将相应有增减量将相应有增减量p p1 1 。 证明：证明：由水静力学方程由水静力学方程即即但但故故hpppp)()(1122hpp1212pp 这表明，在静止液体中任一点压强的增减，必将引起其他各点压强的等值增减。这就是熟知的帕斯卡原理。它由法国物理学家帕斯卡(B1aile Pascal，1623年一1662年)大约在1647年1654年间提出。此原理已在水压机、水力起重机及液压传动装置等设计中得到广泛应用。例例 如图所示，如图所示，A A1 1，A A2 2分别为水压机的大小活塞。彼此连通的活塞缸分别为水压机的大小活塞。彼此连通的活塞缸中充满液体，若忽略

54、活塞重量及其与活塞缸壁的摩擦影响，当小活中充满液体，若忽略活塞重量及其与活塞缸壁的摩擦影响，当小活塞加力塞加力P P1 1时，求大活塞所产生的力时，求大活塞所产生的力P P2 2。解：由解：由P Pl l得小活塞面积得小活塞面积A A1 1上的静水上的静水压强压强p p1 1P P1 1/A/A1 1，按帕斯卡原理，按帕斯卡原理，p p1 1将等值传递到将等值传递到A A2 2上，则上，则因因可见，利用的斯卡原理，水压机可以小力获得较大的力。可见，利用的斯卡原理，水压机可以小力获得较大的力。12AA 12PP 112212PAAApP 故故六、测压管水头CgpZ 重力作用下静水压强的分布规律，

55、如图右所示。重力作用下静水压强的分布规律，如图右所示。 由重力作用下的静水力学基本方程由重力作用下的静水力学基本方程 或或: : a.a.位置水头位置水头z：任一点在基准面：任一点在基准面0-00-0以上的位置高度，表示单位重量以上的位置高度，表示单位重量流体从某一基准面算起所具有的位置势能，简称位能。流体从某一基准面算起所具有的位置势能，简称位能。 b.b.测压管高度测压管高度p/g：表示单位重量流体从压强为大气压算起所具有：表示单位重量流体从压强为大气压算起所具有的压强势能，简称压能（压强水头）。的压强势能，简称压能（压强水头）。 c.c.测压管水头（测压管水头（z+p / g）：单位重量

56、流体的总势能。）：单位重量流体的总势能。 gpZgpZ 2211 1.各项意义各项意义2.物理意义 仅受重力作用处于静止状态的流体中，任意点对同一基准面的仅受重力作用处于静止状态的流体中，任意点对同一基准面的单位总势能为一常数，即各点测压管水头相等，位头增高，压头减单位总势能为一常数，即各点测压管水头相等，位头增高，压头减小。小。 如图下所示，如图下所示， ，下述两个静力学方程哪个正确？，下述两个静力学方程哪个正确？A.B.例例1 1 设如图设如图2-13所示，所示，hv=2m时，求封闭容器时，求封闭容器A中的真空值。中的真空值。 解：设封闭容器内的绝对压强为解：设封闭容器内的绝对压强为pab

57、s，真空值为，真空值为pv 。 则：则： 根据真空值定义：根据真空值定义： )(vaaabsavghpppppkpaghv6 .1929800vaabsghpp例2：一密封水箱如图所示，若水面上的相对压强p0= -44.5kN/m2，求：（1）h值；（2）求水下0.3m处M点的压强，要求分别用绝对压强、相对压强、真空度、水柱高及大气压表示；（3）M点相对于基准面OO的测压管水头。 00ghp解解 （1 1）求）求h值值列等压面列等压面1-1，pN = pa。以相对压强计算，。以相对压强计算， （2 2）求）求 p pM M 用相对压强表示：用相对压强表示： 08 .95 .44h54. 48

58、. 9/5 .44hMMghpp0PM= -41.56/98= -0.424大气压 （一个大气压=98kN/m2 ） 水柱mgphMM24.48.956.41用绝对压强表示：用绝对压强表示： 用真空度表示：用真空度表示： 真空值真空值 真空度真空度 （3 3）M M点的测压管水头点的测压管水头 2/44.569856.41mkNpppaMMabs个大气压576.09844.56Mp水柱mgphMabsM76. 58 . 944.56个大气压424. 0/56.412mkNpv水柱mgphvv24. 48 . 956.41mgpzMM54. 4)24. 4(3 . 02-4流体的相对平衡前面导出

59、了惯性坐标系中，流体平衡微分方程及其全微分。在工程实践中，还会遇到流体相对于地球运动，而流体与容器之间，以及流体内质点之间，没有相对运动的情况，这种情况称为相对平衡。在质量力中计入惯性力，使流体运动的问题，形式上转化为静力平衡问题，就可直接用平衡微分方程及其全微分式。相对平衡：指各流体质点彼此之间及流体与器皿之间相对平衡：指各流体质点彼此之间及流体与器皿之间无相对运动的相对静止或相对平衡状态。因为质点间无相无相对运动的相对静止或相对平衡状态。因为质点间无相对运动，所以流体内部或流体与边壁之间都不存在切应力。对运动，所以流体内部或流体与边壁之间都不存在切应力。相对平衡流体中，质量力除重力外，还受

60、到惯性力的作用。相对平衡流体中，质量力除重力外，还受到惯性力的作用。一、相对于绕铅垂轴匀速转动的坐标系静止的液体一、相对于绕铅垂轴匀速转动的坐标系静止的液体 盛有液体的圆柱形容器，静止时液体深度为盛有液体的圆柱形容器，静止时液体深度为H，该容器绕铅垂轴以角速度，该容器绕铅垂轴以角速度w旋转。由于液体的粘滞作用，经过一段时间后，整个液体随容器以同样角速度旋转。由于液体的粘滞作用，经过一段时间后，整个液体随容器以同样角速度旋转，液体与容器以及液体内部各层之间无相对运动，液面形成抛物面。旋转，液体与容器以及液体内部各层之间无相对运动，液面形成抛物面。选动坐标系（非惯性坐标系）选动坐标系（非惯性坐标系