测量误差的基本知识教学文案

1、测量误差的基本知识5.1.2、 测量误差的分类测量误差的分类P91测量误差按其性质可分为测量误差按其性质可分为 粗差粗差 系统误差系统误差 偶然误差偶然误差1 1系统误差系统误差l系统误差：系统误差：在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列观测，若观测，若误差的大小和符号保持不变，或按照一定的规律变误差的大小和符号保持不变，或按照一定的规律变化化，这种误差称为这种误差称为 。 l系统误差产生的原因系统误差产生的原因 ： 仪器工具上的某些缺陷；观测者的仪器工具上的某些缺陷；观测者的某些习惯的影响；外界环境的影响。某些习惯的影响；外界环境的影响。l系统误

2、差的特点：系统误差的特点： 具有累积性具有累积性系统误差系统误差消减方法消减方法 v1、在观测方法和观测程序上采取一定的措施、在观测方法和观测程序上采取一定的措施; 例：例：前后视距相等前后视距相等水准测量中水准测量中i角误差对角误差对h的影响、的影响、 球气差对球气差对h的影响及调焦所产生的影响。的影响及调焦所产生的影响。 盘左盘右取均值盘左盘右取均值经纬仪的经纬仪的CC不垂直于不垂直于HH；HH不垂不垂 直于直于VV；度盘偏心差、竖盘指标差对测角的影响。；度盘偏心差、竖盘指标差对测角的影响。 水准测量往返观测取均值水准测量往返观测取均值仪器和尺垫下沉对仪器和尺垫下沉对h的影响。的影响。v2

3、、找出产生的原因和规律，对测量结果加改正数。、找出产生的原因和规律，对测量结果加改正数。 例：例：光电测距中的气象、加常数、乘常数与倾斜改正数等。光电测距中的气象、加常数、乘常数与倾斜改正数等。v3、仔细检校仪器。、仔细检校仪器。 例：例：经纬仪的经纬仪的LL不垂直于不垂直于VV对测角的影响对测角的影响2偶然误差偶然误差 l l 偶然误差：偶然误差：在相同的观测条件下，对某一未知量在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列观测，如果进行一系列观测，如果观测误差的大小和符号没有观测误差的大小和符号没有明显的规律性，明显的规律性，即从表面上看，误差的大小和符号即从表面上看，误差的大小和符号均呈现偶

4、然性，均呈现偶然性，这种误差称为这种误差称为 。 l l 产生偶然误差的原因：产生偶然误差的原因： 主要是由于主要是由于仪器或人的感仪器或人的感觉器官能力的限制觉器官能力的限制，如观测者的估读误差、照准误，如观测者的估读误差、照准误差等，以及环境中不能控制的因素差等，以及环境中不能控制的因素(如不断变化着的如不断变化着的温度、风力等外界环境温度、风力等外界环境)所造成。所造成。 3. 粗差或粗差或l测量成果中除了系统误差和偶然误差以外，还可能出现测量成果中除了系统误差和偶然误差以外，还可能出现错误错误（有时也称之为（有时也称之为粗差粗差）。）。v可能由作业人员疏忽大意、失职而引起，如可能由作业

5、人员疏忽大意、失职而引起，如大数读错、大数读错、读数被记录员记错读数被记录员记错、照错了目标照错了目标等；等；v 也可能是仪器自身或受外界干扰发生故障引起；也可能是仪器自身或受外界干扰发生故障引起；v误差理论研究的主要对象误差理论研究的主要对象 错误可以发现并剔除，错误可以发现并剔除， 系统误差能够加以改正，系统误差能够加以改正， 偶然误差是不可避免的偶然误差是不可避免的:它在测量成果中占主它在测量成果中占主 导地位，所以测量误差理论主要是处理偶然导地位，所以测量误差理论主要是处理偶然误差的影响误差的影响。5.1.3偶然误差的特性偶然误差的特性 偶然误差就单个而言具有随机性，但在总体偶然误差就

6、单个而言具有随机性，但在总体上具有一定的统计规律，是服从于正态分布的随上具有一定的统计规律，是服从于正态分布的随机变量。机变量。有界性：有界性：单峰性：单峰性：对称性：对称性：补偿性：补偿性：当观测次数无限增多时，当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零。偶然误差的算术平均值趋近于零。5-2评定精度的指标评定精度的指标v 精度精度是指一组观测值的密集与离散程度是指一组观测值的密集与离散程度，也，也可说是一组观测值的误差的密集与离散程度。可说是一组观测值的误差的密集与离散程度。评定精度的指标评定精度的指标: 中误差、相对误差、极限误差和容许误差中误差、相对误差、极限误差和容许误差一、中

7、误差一、中误差 在测量实践中观测次数不可能无限多在测量实践中观测次数不可能无限多，实际应用中，以，实际应用中，以有限次观测个数有限次观测个数n计算出标准差的估值定义为中误差计算出标准差的估值定义为中误差m，作，作为衡量精度的一种标准：为衡量精度的一种标准：在测量工作中，在测量工作中，普遍采用中误差来评定测量成果的精度。普遍采用中误差来评定测量成果的精度。DD=nmsl有甲、乙两组各自用相同的条件观测了六个三角有甲、乙两组各自用相同的条件观测了六个三角形的内角，得三角形的闭合差（即三角形内角和形的内角，得三角形的闭合差（即三角形内角和的真误差）分别为：的真误差）分别为： 甲：甲：+3、+1、-2

8、、-1、0、-3； 乙：乙：+6、-5、+1、-4、-3、+5。 试分析两组的观测精度。试分析两组的观测精度。【 解解 】用中误差公式计算得：用中误差公式计算得：3 . 465341560 . 26301213222222222222 =DD= =DD=）（乙甲nmnm二、相对误差二、相对误差l 绝对误差绝对误差 :真误差、中误差真误差、中误差l相对误差相对误差: 在某些测量工作中，在某些测量工作中，绝对误差不能完全绝对误差不能完全反映出观测的质量反映出观测的质量。 相对误差相对误差K K 等于误差的绝对值与相应观测值的等于误差的绝对值与相应观测值的比值。比值。常用分子为常用分子为1的分式表示

9、，即：的分式表示，即：T1=观测值误差的绝对值相对误差l相对中误差：相对中误差：当误差的绝对值为中误差当误差的绝对值为中误差m 的绝对值时，的绝对值时，K称为，即称为，即 k=1/m 。l相对较差：相对较差：在距离测量中还常用往返测量结果的在距离测量中还常用往返测量结果的 相对较差相对较差来进行检核。来进行检核。相对较差定义为：相对较差定义为：DDDDDDDD=D=平均平均平均返往1三、极限误差和容许误差三、极限误差和容许误差 1极限误差极限误差 l 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是过一定的限值。这个限值就是极限误差

10、极限误差。 在一组等精度观测值中，在一组等精度观测值中， （s s 中误差）中误差） 绝对值大于绝对值大于s s 的偶然误差，其出现的概率为的偶然误差，其出现的概率为31.7%； 绝对值大于绝对值大于2s s 的偶然误差的偶然误差，其出现的概率为其出现的概率为4.5%； 绝对值大于绝对值大于3s s 的偶然误差，出现的概率仅为的偶然误差，出现的概率仅为0.3%。 l 在测量工作中，要求对观测误差有一定的限值。在测量工作中，要求对观测误差有一定的限值。 大于大于3m的误差出现的机会只有的误差出现的机会只有3，在有限的观测次，在有限的观测次数中，实际上不大可能出现。数中，实际上不大可能出现。所以，

11、所以，可取可取3s s 作为偶作为偶然误差的极限值，称然误差的极限值，称极限误差极限误差。s3=D极2 2容许误差容许误差 l 在实际工作中，测量规范要求观测中不容许存在在实际工作中，测量规范要求观测中不容许存在较大的误差，可较大的误差，可由极限误差来确定测量误差的容许由极限误差来确定测量误差的容许值，值，称为称为容许误差容许误差，即：，即： l 当要求严格时，也可取两倍的中误差作为容许误当要求严格时，也可取两倍的中误差作为容许误差，即差，即 如果观测值中出现了如果观测值中出现了大于所规定的容许误差的偶然大于所规定的容许误差的偶然误差误差，则，则认为该观测值不可靠，应舍去不用或重测认为该观测值

12、不可靠，应舍去不用或重测。 m3=D容m2=D容一、一、算术平均值算术平均值(最或然值最或然值x )nLxnLXlinn;=算术平均值：真值：5-3算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差二、评定精度二、评定精度（一）观测值的中误差（一）观测值的中误差1 1由真误差来计算由真误差来计算当观测量的真值已知时当观测量的真值已知时, ,可根据中误差估值的定义即由观测值可根据中误差估值的定义即由观测值的真误差来计算其中误差。的真误差来计算其中误差。nm DD=2 2由由最或然值误差最或然值误差v v来计算来计算 在实际工作中，观测量的真值除少数情况外一般是不易求在实际工作中，观测量的真值除少数情况外一

13、般是不易求得的。得的。因此在多数情况下，我们只能因此在多数情况下，我们只能按观测值的最或然值来求观测值按观测值的最或然值来求观测值的中误差。的中误差。 1=nvvm（二）最或然值的中误差（二）最或然值的中误差l一组等精度观测值为一组等精度观测值为L1、L2、Ln，其中误差均，其中误差均相同，设为相同，设为m，l最或然值最或然值x（算术平均值算术平均值 ）的中误差）的中误差M为：为： 14)-(5 nmM =15)-(5 ) 1(=nnvvM例：例：对某角等精度观测对某角等精度观测6次，其观测值见试求观测值次，其观测值见试求观测值的最或然值、观测值的中误差以及最或然值的中误的最或然值、观测值的中

14、误差以及最或然值的中误差。差。解解：观测值的最或然值观测值的最或然值: x=753215.5 观测值的中误差观测值的中误差:98. 1165 .171=nvvm8 . 0698. 1=nmM最或然值的中误差最或然值的中误差:L1=753213L2=753218L3=753215L4=753217L5=753216L6=753214观测次数观测次数n算术平均值的算术平均值的中误差中误差M20.71m40.50m60.41m100.32m200.22m 观测次数与算术平均值中误差的关系观测次数与算术平均值中误差的关系 nmM =5-35-3误差传播定律误差传播定律误差传播定律：误差传播定律： 说明

15、观测值中误差与其函数中误差之间说明观测值中误差与其函数中误差之间关系的定律关系的定律 。一、误差传播定律一、误差传播定律ixf设设Z是独立观测量是独立观测量x1，x2，xn的函数，即的函数，即式中：式中：x1，x2，xn为直接观测量，它们相应的为直接观测量，它们相应的观观测值的中误差分别为测值的中误差分别为m1，m 2，mn，则则观测值的观测值的函数函数Z的中误差的中误差为为:式中式中 为函数为函数Z分别对各变量分别对各变量xi的偏导数，并将观的偏导数，并将观测值（测值（xi= =Li）代入偏导数后的值，故均为常数。）代入偏导数后的值，故均为常数。)(21nxxxfZ，=(5-18)22222

16、22121nnzmxfmxfmxfm=求任意函数中误差的方法和步骤如下：求任意函数中误差的方法和步骤如下：l列出独立观测量的函数式列出独立观测量的函数式：l求出真误差关系式。求出真误差关系式。对函数式进行全微分对函数式进行全微分，得，得l求出中误差关系式求出中误差关系式。只要把真误差换成中误差的。只要把真误差换成中误差的平方，系数也平方，即可直接写出中误差关系式：平方，系数也平方，即可直接写出中误差关系式：)(21nxxxfZ，=nndxxfdxxfdxxfdZ=221122222221212nnzmxfmxfmxfm=表表5-2 5-2 常用函数的中误差公式常用函数的中误差公式kxz =nx

17、xxz=21nnxkxkxkz=2211xzkmm=22221nzmmmm=nmmm=21nmmz=2222222121nnzmkmkmkm=函函 数数 式式函函 数数 的的 中中 误误 差差倍数函数倍数函数和差函数和差函数 线性函数线性函数若若水准测量中，已知后视读数水准测量中，已知后视读数a = =1.734 m，前视读前视读数数b= =0.476 m，中误差分别为，中误差分别为ma= =0.002 m，mb= =0.003 m，试求两点的高差及其中误差。试求两点的高差及其中误差。解解：函数关系式为函数关系式为h=a- -b，属和差函数，得，属和差函数，得mmmmmmbahbah004.00036.0003.0002.0258.1476.0734.12222=两点的高差结果可写为两点的高差结果可写为1.258 m0.004 m。在斜坡上丈量距离，其斜距为在斜坡上丈量距离，其斜距为L= =247.50 m，中误，中误差差mL= =0.05 m，并测得倾斜角，并测得倾斜角= =1034，其中，其中误差误差m= =3，求水平距离，求水平距离D及其中误差及其中误差mDcosLD =mD303.2433410cos50.247=864 3 .453410sin50.2473410sin830 9 . 03410cos=LDLD解解: : 1