幂函数概念(用)

1、 2.3幂函数幂函数 高中数学高中数学必修必修 人教版人教版A(1) (1) 如果张红购买了每千克如果张红购买了每千克1 1元的蔬菜元的蔬菜x x千克千克, ,那么她需那么她需要支付要支付y y元元, ,这里这里y y是是x x的的函数函数; ;(2) (2) 如果正方形的边长为如果正方形的边长为a,a,那么正方形的面积那么正方形的面积 , ,这里这里S S是是a a的函数的函数; ;(3)(3)如果一个正方形场地的面积为如果一个正方形场地的面积为S,S,那么这个正方形的那么这个正方形的 边长边长 这里这里S S是是a a的函数的函数; ;(4)(4)如果人如果人tsts内骑车行进了内骑车行进

2、了1km,1km,那么他骑车的平均速度那么他骑车的平均速度 这里这里v v是是t t的函数的函数. .2aS ,21sa ,/1skmtvxy 2xy 21xy 1 xy 若将自变量用若将自变量用x x来表示来表示, ,函数值用函数值用y y来表来表示示, ,则其函数关系式为则其函数关系式为: :axy 几点说明几点说明: :是是常常量量. .其其中中x x是是自自变变量量, ,叫叫做做幂幂函函数数, ,x x函函数数y y一一般般地地, ,并并且且后后面面没没为为常常数数项项. . 前前面面的的系系数数为为1 1, ,中中x xx x1 1、y y与与的的值值有有关关. .2 2、定定义义域

3、域没没有有固固定定，式式 子子名名 称称 a a x x y y指数指数函数函数: y=a: y=ax x 幂函数幂函数: y= x: y= xa a 底数底数指数指数指数指数底数底数幂值幂值幂值幂值幂函数幂函数函数函数幂函数与指数幂函数与指数判断下列函数是否为幂函数判断下列函数是否为幂函数. .(1) y=x4 21)2(xy (3) y= -x2 21)4(xy (5) y=2x2 (6) y=x3+2 x x -3-3 -2-2 -1-10 01 12 23 3-3-3-2-2-1-10 01 12 23 39 94 41 10 01 14 49 9-27-27-8-8-1-10 01

4、18 82727 0 01 1-1-1 1 1yx2yx3yx12yx1yx23131212131 1, ,2 21 11 1, ,2 2, ,3 3, ,x xy y,作出下列函数的图象作出下列函数的图象: :yx2yx3yx12yx(1,1)(2,4)(-2,4)(-1,1)(-1,-1)1 xy定义域值域奇偶性单调性公共点yx2yx3yx12yx1yx0 x 0 x 0y0y RR奇函数增函数(0,0),(1,1)0y(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)R R奇函数奇函数 增函数增函数 (0,0),(1,1)非奇非偶非奇非偶增函数增函数(0,0),(1,1)奇函数(1,1)R偶函

5、数偶函数增函数增函数减减函数函数9一般幂函数的性质一般幂函数的性质: :. .所有的幂函数在所有的幂函数在(0,+)(0,+)都有定义都有定义, ,并且函数并且函数图象都通过点图象都通过点(1,1(1,1);幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式中中的不同而各异的不同而各异. . .如果如果0,0,则幂函数的图则幂函数的图象过点象过点(1,1),(1,1),并在并在(0,+)(0,+)上为减函数上为减函数; ; 00,0,则幂函数的图则幂函数的图象过点象过点(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)并在并在(0,+)(0,+)上为增函数上为增函数;

6、;1100114.4.当当为奇数时为奇数时, ,幂函数为奇函数幂函数为奇函数, , 当当为偶数时为偶数时, ,幂函数为偶函数幂函数为偶函数. .10例例2. 2. 利用单调性判断下列各值的大小。利用单调性判断下列各值的大小。（1）5.20.8 与与 5.30.8 （2）0.20.3 与与 0.30.3 (3)解解: :(1)(1)y= xy= x0.80.8在在(0,+)(0,+)内是增函数内是增函数, , 5.25.3 5.25.3 5.2 5.20.80.8 5.3 5.30.8 0.8 (2)y=x(2)y=x0.30.3在在(0,+)(0,+)内是增函数内是增函数0.20.3 0.20

7、.20.3 0.20.30.3 0.3 0.30.30.3(3)y=x(3)y=x-2/5-2/5在在(0,+)(0,+)内是减函数内是减函数2.52.7 2.52.52.72.7-2/5-2/55 52 2- -5 52 2与2.7与2.72.52.511练习练习11）0.51.30.51.525.125.092）3）141.79141.814）223(2)a23212练习练习2: 2: 如图所示，曲线是幂函数如图所示，曲线是幂函数 y = xy = xk k 在第一在第一象限内的图象，已知象限内的图象，已知 k k分别取分别取 四个值，则相应图象依次为四个值，则相应图象依次为:_:_ 11

8、,1, 22 一般地，幂函数的图一般地，幂函数的图象在直线象在直线x=1x=1的右侧，大的右侧，大指数在上，小指数在下，指数在上，小指数在下，在在Y Y轴与直线轴与直线x =1x =1之间正之间正好相反。好相反。 C4C2C3C1113上是增函数.上是增函数.在0,在0,x xx)x)例2.证明幂函数f(例2.证明幂函数f(则则, ,X X且且X X , , 0 0, ,X X, ,任任取取X X证证明明: :2 21 12 21 1xxxxxxxxxxff2121212121)()()()(xxxx21210 0, ,x xx x0 0, ,x x所所以以x x , , 0 0, ,x x, ,