函数最值与经济

1、 函数最值及其求法函数最值及其求法 函数最值在经济中的应用函数最值在经济中的应用第六节第六节 函数函数最值最值在经济中的应用在经济中的应用 在许多经济理论与实际实际应用中在许多经济理论与实际实际应用中, 常常遇到这样一类问常常遇到这样一类问题题: : 在一定条件下在一定条件下, 怎样使怎样使: “产品成本最低产品成本最低”,“产品产品用料最用料最省省”,“效率最高效率最高”等问题等问题. .这类问题在数学上有时可归纳为这类问题在数学上有时可归纳为求某一函数的最大值和最小值问题求某一函数的最大值和最小值问题. . 函数函数(x)的最值与极值是两个不同的概念的最值与极值是两个不同的概念, 最值是对

2、整个定最值是对整个定义域而言的义域而言的, 是整体性的是整体性的; 极值是局部极值是局部.最值不仅可以在最值不仅可以在a, b的内点取得的内点取得, 也可以在也可以在a, b的端点取得的端点取得; 极极值只可能在值只可能在(a, b)的内点取得的内点取得, 不能在端点取得不能在端点取得.一、函数的最值及其求法一、函数的最值及其求法oxyoxybaoxyabab 由于由于闭区间上连续函数一定有最大与最小值闭区间上连续函数一定有最大与最小值, , 于是于是, , 其其最值最值点可在极值点以及区间两个端点中寻找点可在极值点以及区间两个端点中寻找. . 自此自此, 求闭区间求闭区间 a, , b 上上

3、的连续函数的连续函数 f(x) 的最值时的最值时, 只需分别计算只需分别计算f(x)在开在开区区间间(a, b)内的内的驻点驻点、导数不存在的点以及端点、导数不存在的点以及端点a和和b处的处的函数值函数值, 然后加以比较然后加以比较. 注注2 在闭区间在闭区间a, b内内, 一个连续函数可能有若干个极小值或一个连续函数可能有若干个极小值或极大值极大值, ,却最多只有一个最大值却最多只有一个最大值M与最小值与最小值m, 而且而且最大值一定最大值一定在极大值点或端点取得在极大值点或端点取得, 最小值一定在极小值点或端点取得最小值一定在极小值点或端点取得.注注1 在开区间在开区间(a, b)内，极值

4、不一定是最值内，极值不一定是最值, 但最值一定是极值但最值一定是极值. 其中最大者就是函数其中最大者就是函数(x)在在a , b上的最大值上的最大值, 最小者就是函最小者就是函数数 (x)在在a , b上的最小值上的最小值. 于是于是, 求闭区间求闭区间a, b上连续函数上连续函数 (x) 最值的一般步骤是最值的一般步骤是: (1) 求出函数求出函数(x)在区间在区间(a , b)内所有可能的极值点内所有可能的极值点(驻点和驻点和一阶导数不存在的点一阶导数不存在的点). 设为设为 x1, x2 , ,xn;(2) 求出相应的函数值求出相应的函数值12( ), (), (), , (), ( )

5、nf af xf xf xf b (3) 比较比较(2)中所有函数值的大小中所有函数值的大小, 其最大者为函数其最大者为函数(x)在闭在闭区间区间a , b上的最大值上的最大值, 最小者为函数最小者为函数 (x)在闭区间在闭区间a , b上上的最小值的最小值. 例例1解解)1)(2(6)( xxxf.4 , 314123223上的最大值与最小值上的最大值与最小值的在的在求函数求函数 xxxy得得解方程解方程, 0)( xf. 1, 221 xx计算计算 )3(f;23 )2(f;34 )1(f;7;142 )4(f，最大值最大值142)4( f比较得比较得. 7)1( f最小值最小值解解(1)

6、 f (x)的定义域为的定义域为(,1, 8,1(,1 而而(2)1()12 1fxx 34x ( )1 8 1f xxx求求函函数数在在闭闭区区间间，上上的的最最大大值值和和最最小小值值. .(5) 比较大小得比较大小得, 在在8,1 上的最大值为上的最大值为(4) 分别计算函数值分别计算函数值35( ),( 8)5,(1)144fff 35( ) 44f 最小值为最小值为 f (8) = 5 解之得驻点为解之得驻点为(3)( )0,fx 令令解解 (1) (x)在在0, 3上连续上连续, 且其导数为且其导数为3241( )32xfxxx (2) 函数函数 (x)的驻点为的驻点为 x = 1

7、, 不可导点为不可导点为 x = 2和和 x = 0.(3) 计算这三个点与端点的函数值得计算这三个点与端点的函数值得3(3)9f (4) 比较这些函数值的大小比较这些函数值的大小, 有有min(x) = (0) = (2) = 0 (0) = 0, (1) = 1, (2) = 0,39,max (x) = (3) =例例2 求函数求函数223( )(2 )f xxx在在0, 3上的最大值和最小值上的最大值和最小值. . 注注 若若(x)在在a , b上为严格单调上为严格单调连续连续函数函数, 则其最值只能则其最值只能在端点上达到在端点上达到. 结论结论1 若若(x)在某闭区间在某闭区间a

8、, b上连续上连续, 在开区间在开区间(a , b)内可内可导导, , 点点x0是是(x)在在(a , b)内的唯一驻点内的唯一驻点, ,且且x0为为(x)的极大值点的极大值点(或极小值点或极小值点), 则则 x0必为必为(x)在闭区间在闭区间a , b上的最大值点上的最大值点(或或最小值点最小值点).在解决实际问题时有如下结论：在解决实际问题时有如下结论：解决实际问题的解决实际问题的步骤步骤:建立目标函数及其取值区间建立目标函数及其取值区间求目标函数的最值求目标函数的最值. . 例例3 设圆柱形有盖茶杯容积设圆柱形有盖茶杯容积V为常数为常数, , 求表面积为最小时求表面积为最小时, ,底半径

9、底半径 r 与高与高 h 之比之比.解解 设表面积为设表面积为S，则目标函数为则目标函数为222Srrh 22,VVr hhr 由由得得22 ( )2 (0)VS rrrr 目目标标函函数数22( )40 , VSrrr 又又由由= =3 2Vr 得得驻驻点点 32Vr 故故是可能的极值点且唯一是可能的极值点且唯一. .hr而而3 S( ) 2Vrr 故故在在34 S( )4,Vrr 3()02VS 点取得极小值也是最小值点取得极小值也是最小值. . 232 ,( )2VhrV 由由 12rh 解解得得即半径与高的比为即半径与高的比为 1/2 时茶杯表面积最小时茶杯表面积最小. . 求乘积为常

10、数求乘积为常数a 0, 而其和为最小的两个正数而其和为最小的两个正数. .解解 设两个正数为设两个正数为x , y (x 0, y 0), 其和为其和为 s = x + y ayx 则由则由x y = a 得得 1 0 ,xx x 而而故函数故函数s(x)可能的极值点只有一个可能的极值点只有一个xa 从而目标函数为从而目标函数为( ) (0)as xxxx 2( )10 , as xx 由由得得12,xaxa , ( )0.xas x 时时( ) , .s xxa ya 在在取取得得极极小小值值( ) .s xxa 即即在在取取得得最最小小值值 , ( )0 xas x 当当 时时，而而 在本

11、小节的讨论之前在本小节的讨论之前, 先对下面所涉及的经济函数作如下先对下面所涉及的经济函数作如下的假定的假定: 设函数设函数 y = (x) 是定义在区间是定义在区间 I 上的函数上的函数, 且满足：且满足： (1) 函数函数 y = (x) 在区间在区间 I 上可导上可导; (2) 如果函数如果函数 y = (x) 在区间在区间 I 上有最大上有最大(小小)值值, 则最大则最大(小小)值点位于区间值点位于区间I 的内部的内部.最大值和最小值问题最大值和最小值问题. .下面举例说明函数最值在经济上的应用下面举例说明函数最值在经济上的应用. . 在经济管理中在经济管理中, 需要寻求企业的最小生产

12、成本或制定获得需要寻求企业的最小生产成本或制定获得利润最大的一系列价格策略等利润最大的一系列价格策略等. .这些问题都可归结为求函数的这些问题都可归结为求函数的二、函数最值在经济中的应用二、函数最值在经济中的应用:经济常识经济常识1. ,; ( )( ).QpQQ ppp Q优化生产中需求量=销售量=产量 常用优化生产中需求量=销售量=产量 常用一般是价格 的函数或一般是价格 的函数或2. ,()RpQp 收入为销售价格收入为销售价格自变量自变量3. .C 成本可变 固定成本可变 固定4. .LRC利润利润1. 最大利润最大利润 设总成本函数为设总成本函数为C(Q), 总收益函数为总收益函数为

13、R(Q), 其中其中 Q 为销量为销量, 则在假设产量和销量一致的情况下则在假设产量和销量一致的情况下, 总利润函数为总利润函数为L =L (Q) R(Q) C(Q) 假设产量为假设产量为 Q0 时时, 利润达到最大利润达到最大, 则由极值的必要条件和则由极值的必要条件和极值的第二充分条件极值的第二充分条件, L(Q0) 必定满足必定满足:000( )()()0Q QL QR QC Q 000( )()()0Q QL QR QC Q 可见可见, 当产量水平当产量水平 Q = = Q0 使得边际收益等于边际成本时使得边际收益等于边际成本时, 可获得最大利润可获得最大利润. .经济分析中经济分析中

14、, 常用常用MR表示边际收益表示边际收益, MC表示边际成本表示边际成本.即当即当 MR = MC 时时, 可获得最大利润可获得最大利润. 这是因为这是因为, 假设二者不等假设二者不等, 当当MR MC时时, 则在产量则在产量Q = Q0的基础上再多生产一个单位产品的基础上再多生产一个单位产品, 所增加的收益大于所增加所增加的收益大于所增加的成本的成本, 因而利润有所增加因而利润有所增加. 若若MR 0 即即 t 满足限制满足限制0 t 1时时, 需求是富于弹性的需求是富于弹性的, 降价可使总收降价可使总收益增加益增加;而当而当E d1时时, 需求是缺乏弹性的需求是缺乏弹性的, 提价可使总收益

15、增加提价可使总收益增加. 因此因此, 当总收益达到最大时当总收益达到最大时, 需求价格弹性一定为单位弹性需求价格弹性一定为单位弹性.3. 平均成本最小平均成本最小设设企业的总成本函数为企业的总成本函数为C = C(Q) 若企业以平均成本最小为目标函数来决策产量水平若企业以平均成本最小为目标函数来决策产量水平, 这就这就是求平均成本函数的最小值问题是求平均成本函数的最小值问题. .平均平均成本函数为成本函数为( )C QCQ 假设在产量假设在产量 Q = = Q0 时时, , 平均成本达到最小平均成本达到最小, 则由极值存在则由极值存在的的必要条件的的必要条件, 有有02( )( )1( )(

16、)0Q QdCQC QC QC QC QdQQQQ 其中其中, AC 表示平均成本表示平均成本.0 QQMCAC当当时时, , 即当即当平均成本达到最小平均成本达到最小 , MC = AC .从而从而, MC = AC 是取得最小平均成本的必要条件是取得最小平均成本的必要条件.例例8 某工厂生产产量为某工厂生产产量为 Q (件件)时时, 生产成本函数生产成本函数(元元)为为2()9000400.001C QQQ 求该厂生产多少件产品时求该厂生产多少件产品时, 平均成本达到最小平均成本达到最小? 并求出其并求出其最小平均成本和相应的边际成本最小平均成本和相应的边际成本. .29000 ( )0.

17、001CQQ 31800 ( )0CQQ ( )9000 ( )400.001C QC QQQQ ( )0 3000,CQQ 令令得得3000(0,)Q 故故是是且驻点唯一且驻点唯一. .唯一的极小值点唯一的极小值点. . 平平均均成成本本函函数数是是解解3000Q 若若件件时时, , (3000)46(/)C 元元 件件平均成本达到最小平均成本达到最小, 且最小平均成本为且最小平均成本为()400.002C QQ 3000Q 故故而边际成本函数为而边际成本函数为时时, 相应的边际成本为相应的边际成本为(3000)46(/)C 元元 件件显然有平均成本显然有平均成本(用用AC表示表示)最小时最

18、小时, MC = AC4. 最优决策时间最优决策时间 由于资金有时间价值由于资金有时间价值, 因而在分析投资问题时因而在分析投资问题时, 必须把发生必须把发生在不同时间的资金流转化成在同一个时间点的等价资金流在不同时间的资金流转化成在同一个时间点的等价资金流. .在在经济分析中经济分析中, 一般的做法是将投资成本与投资收益先转化成投一般的做法是将投资成本与投资收益先转化成投资成本的现值与投资收益的现值资成本的现值与投资收益的现值(经济学中称为贴现经济学中称为贴现), 然后再然后再做投资决策分析做投资决策分析. .0(1)mttrAAm 设设A0 为初始本金为初始本金(称现值称现值), r为年利

19、率为年利率, 按连续复利计算按连续复利计算, t 年末的本利和记作年末的本利和记作At (称总收入称总收入). . 则当年结算则当年结算m次时次时, 就有就有 0rttAA e 从而有连续复利公式从而有连续复利公式 欲求欲求 的现在值的现在值 的问题称为贴现的问题称为贴现(率率)问题问题. . 则一年则一年tA0AtA与此相反与此相反, 经济学中把已知未来值为经济学中把已知未来值为 , 贴现率也为贴现率也为 r. .结算结算m次次, t 年末的贴现净额为年末的贴现净额为0(1)mttrAAm 按连续复利计算按连续复利计算, 得得 t 年末的贴现净额为年末的贴现净额为0lim(1)mtrtttm

20、rAAAem (也称为贴现公式也称为贴现公式)tRKe 例例9 某酒厂有一批新酿的好酒某酒厂有一批新酿的好酒, 如果现在如果现在(假定假定t = 0)就出就出售售, 总收入为总收入为 (元元). 如果窖藏起来待日按陈酒价格出售如果窖藏起来待日按陈酒价格出售K(假设不计储藏费假设不计储藏费), 那么那么 t 年末年末 的收入就是时间函数的收入就是时间函数解解 设这批酒窖藏设这批酒窖藏 t 年整年整, 售出总收入的现值为售出总收入的现值为 P,( ) (0)rttrtPP tR eKet 则按照贴现公式得则按照贴现公式得 假设资金的贴现率为假设资金的贴现率为 r, 并以连续复利计息并以连续复利计息

21、, 为使总收入为使总收入的现值最大的现值最大, 应在何年出售此酒应在何年出售此酒? 并求并求 r0.1时的时的 t 的值的值.1( )()02trtP tKert 021 4tr 两端求导两端求导, 得得得唯一不可导点得唯一不可导点02311( )()24trtt tPtKertt 而而 003004trtKet 14()rPKe 元元此时收入的最大现值为此时收入的最大现值为 21 4r(整年整年)时时, 是最佳销售时间是最佳销售时间,时时, 函数函数P(t)在该点达到最大值在该点达到最大值, 即储藏年限为即储藏年限为021 4tr 故故当当 r = 0.1时时, t = 25, 即此酒商应将

22、此酒窖藏即此酒商应将此酒窖藏 25 年年. .可见可见, 利率利率(贴现率贴现率)越高窖藏期越短越高窖藏期越短. .5. 最优批量和批数最优批量和批数 当一个商场进一批货物时当一个商场进一批货物时, 除支付购买这批货物的成本外除支付购买这批货物的成本外, 还需一笔采购费还需一笔采购费. 在货物没有出售完毕前在货物没有出售完毕前, 还需将部分货物库还需将部分货物库存起来存起来, 这需一笔库存费这需一笔库存费. 最优批量问题是最优批量问题是：如何决策每批的如何决策每批的进货数量进货数量, 即批量即批量. 以使采购费与库存费之和达到最小以使采购费与库存费之和达到最小. 例例10 某厂年需某种零件某厂

23、年需某种零件 8000个个, 现分期分批外购现分期分批外购, 然后然后均匀投入使用均匀投入使用(此时平均库存量为批量的一半此时平均库存量为批量的一半). . 若每次定货若每次定货的手续费为的手续费为40元元, 每个零件的库存费为每个零件的库存费为4元元. .试求最经济的定试求最经济的定货批量和进货批数货批量和进货批数. . 解解 设每年的库存费和定货的手续费为设每年的库存费和定货的手续费为C, 进货的批数为进货的批数为8000 1( )4402CC xxx 1600040 xx8000 x个个, 且且x, 则批量为则批量为232000 ( )0,Cxx 而而 因而当进货的批数为因而当进货的批数

24、为 20 批批, 即定货批量为即定货批量为 400 个时个时, 每每年的库存费和定货的手续费最少年的库存费和定货的手续费最少最经济最经济. .故驻点为极小值点故驻点为极小值点. .216000( )400,C xx 得得唯唯一一驻点驻点 x = 20 企业在正常生产的经营活动中企业在正常生产的经营活动中, 库存是必要的库存是必要的, 但库存太但库存太多使资金积压、商品陈旧变质造成浪费多使资金积压、商品陈旧变质造成浪费. . 因此确定最适当的因此确定最适当的库存量是很重要的库存量是很重要的. .6. 最佳存款利息最佳存款利息 例例11 某家银行某家银行, 准备新设某种定期存款业务准备新设某种定期存款业务. . 假设存款量假设存款量与利率成正比与