2-12刚体运动学和定轴转动ppt课件

1、第二章第二章 刚体和流体力学刚体和流体力学谁滚得快些？一、刚体的平动和转动一、刚体的平动和转动平动：用质心运动讨论平动：用质心运动讨论刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。AA A BB B 刚体刚体:在外力作用下形状和大小保持不变的物体在外力作用下形状和大小保持不变的物体.各质点间的相对位置永不发生变化的质点系。各质点间的相对位置永不发生变化的质点系。转动：对点、对轴转动：对点、对轴定轴转动：各质元均作圆周定轴转动：各质元均作圆周运动，其圆心都在一条固定运动，其圆心都在一条固定不动的直线转轴上。不动的直线转轴上。O转轴转轴Ot 时辰时辰t

2、+t 时辰时辰对定点O刚体的一般运动刚体的一般运动既平动又转动：质心的平动加绕质心的转动既平动又转动：质心的平动加绕质心的转动ocv.转动平面转动平面转轴转轴参考参考方向方向PX各质元的线速度、加速度一般不同，各质元的线速度、加速度一般不同，但角量角位移、角速度、角加速度都相同但角量角位移、角速度、角加速度都相同描述刚体整体的运动用角量最方便。描述刚体整体的运动用角量最方便。二、定轴转动的角量描述二、定轴转动的角量描述QP XX角速度方向规定为沿轴方向，角速度方向规定为沿轴方向，指向用右手螺旋法则确定。指向用右手螺旋法则确定。rv vr加速转动加速转动 方向一致方向一致减速转动减速转动 方向相

3、反方向相反dtd 22dtddtd dtd 比较：比较：221 mvEk 一一 、刚体的转动动能、刚体的转动动能222ki2121E iiiirmvm 221 JEk 刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半。与角速度平方乘积的一半。2222221)(21)21( JrmrmEiiiiik 刚体对给定轴的转动惯量刚体对给定轴的转动惯量(moment of inertia) iiirmJ)(2 对于质量元连续分布的刚体，其转动惯量可写成对于质量元连续分布的刚体，其转动惯量可写成其中其中r是质量元到转轴的距离。是质量元到转轴的距离。

4、二、转动惯量二、转动惯量刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。*刚体的质量刚体的质量*质量的分布质量的分布*转轴的位置转轴的位置与转动惯量有关的因素：与转动惯量有关的因素：对于离散型分布的刚体，其转动惯量为对于离散型分布的刚体，其转动惯量为 iiirmJ)(2 dmrrmJVniiin212limMimrdldmdsdmdVdm质量为线分布质量为线分布质量为面分布质量为面分布质量为体分布质量为体分布其中其中 、 、 分别为质量的线密度、面密度和体密度。分别为质量的线密度

5、、面密度和体密度。留留意意只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量 dmrJ21、求质量为、求质量为m、半径为、半径为R的均匀圆环的转动惯量。的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。轴与圆环平面垂直并通过圆心。解：细圆环解：细圆环dldmRdlLCdlRdmRJ222222mRRRdlRL又解又解:222mRdmRdmRJ J J是可加的，所以若为薄圆筒不计厚度结果相同。是可加的，所以若为薄圆筒不计厚度结果相同。例例2 求质量为求质量为m、半径为、半径为R、厚为、厚为l

6、 的均匀圆盘的转的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：取半径为解：取半径为r宽为宽为dr的薄圆环的薄圆环,dVdm drlrdmrdJ322 lRdrlrdJJR403212 可见，转动惯量与可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是转动惯量也是mR2/2。2221mRJlRm lrdr 2ZOrdr3. 求一质量为求一质量为m的均匀实心球对其一条直径的均匀实心球对其一条直径 为轴的为轴的 转动惯量。转动惯量。解：解： 一球绕一球绕Z轴旋转，轴旋转，离离 球心球心Z高处切一厚为高处切一厚为dz的薄圆盘。

7、其半径为的薄圆盘。其半径为22ZRrdZZRdZrdV)(222dZZRdVdm)(22dZZRdmrdJ2222)(2121其体积：其体积：其质量：其质量：其转动惯量：其转动惯量：YXZORrdZZdmrdJ2212552158mRR334RmdJJRRdZZR222)(21dZZR222)(21YXZORrdZZ4、求长为、求长为L、质量为、质量为m的均匀细棒对图中不的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。同轴的转动惯量。ABLXABL/2L/2CX解：取如图坐标解：取如图坐标122222/mLdxxJLLC 3202/mLdxxJLA xdxdm=dx dmrJ2平行轴定理平行轴定理前例中前例

8、中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量，表示相对通过质心的轴的转动惯量， JA表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距距L/2。可见：。可见：222231411212mLmLmLLmJJCA 推广上述结论，若有任一轴与过质推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行，相距为心的轴平行，相距为d，刚体对其转，刚体对其转动惯量为动惯量为J，则有：，则有： JJCmd2。这个结论称为平行轴定理。这个结论称为平行轴定理。MCAd 右图所示刚体对经过棒端右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？如何计算？(棒长为棒长为L、

9、球半、球半径为径为R）2131LmJLL 252RmJoo 2002002)(RLmJdmJJL 2225231)(RLmRmLmJooL LmOmFrMz Z2frPO转动平面转动平面1fF sinrFMz 作用在刚体上的轴的力矩作用在刚体上的轴的力矩三、转动定律三、转动定律iiiiamfF iiiiiiamfF sinsin 2sinsiniiiiiiiirmrfrF iiiiiiiiiiirmrfrF)(sinsin2M合合外外力力矩矩0 i ifiFi im Zir 将切向分量式两边同乘以将切向分量式两边同乘以 ,变换得变换得irJ JM iiirmJ)(2 JM 转动定律转动定律刚体

10、定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 刚体绕定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩刚体绕定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。m反映质点的平动惯性反映质点的平动惯性, J反映刚体的转动惯性反映刚体的转动惯性. JM 与与地位相当地位相当amF JM JM 是把质点力学的规律应用到组成刚体的是把质点力学的规律应用到组成刚体的 质点系。质点系。 质点质点质点系质点系刚体刚体研究对象：刚体研究对象：刚体理想模型理想模型运动模式：刚体绕定轴的转动运动模式：刚体绕定轴的转动研究方法：研究方法：JMmaFz小结：小结：平动、转

11、动的类比：平动、转动的类比：;JJMmmvvF转动惯量mrJd2重点提示：要注意重点提示：要注意 M,I ,是对于同一根轴的力矩、是对于同一根轴的力矩、转动惯量和角速度。转动惯量和角速度。转动定律应用举例转动定律应用举例 解题步骤解题步骤: 1. 认刚体认刚体; 2. 定转轴定转轴,找运动找运动; 3. 分析力和力矩分析力和力矩; 4. 定转向定转向,列方程。列方程。 特别注意特别注意: 1. 明确转动轴位置。明确转动轴位置。2. 选定转动的正方向选定转动的正方向, 注意力矩、角速度、角加速注意力矩、角速度、角加速 度的正负。度的正负。 3. 同一方程式中所有量都必须相对同一转轴。同一方程式中

12、所有量都必须相对同一转轴。二类问题二类问题:第一类第一类: 由角量运动由角量运动,求力矩。求力矩。(微分法微分法)第二类第二类: 由力矩及初始条件由力矩及初始条件,求刚体运动。求刚体运动。(积分法积分法)例例1 一个质量为一个质量为M、半径为、半径为R的定的定滑轮当作均匀圆盘上面绕有细滑轮当作均匀圆盘上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为一端挂一质量为m的物体而下垂。的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体忽略轴处摩擦，求物体m由静止下由静止下落高度落高度h时的速度和此时滑轮的角时的速度和此时滑轮的角速度。速度。mgMmmghRRv 241 242Mmm

13、ghahv gMmma2 解解方方程程得得：mg解：解： RamaTmgm :对对221 MRJJTRMM：对对 例例2、一个飞轮的质量为、一个飞轮的质量为69kg，半径为，半径为0.25m,正在以每正在以每分分1000转的转速转动。现在要制动飞轮，要求在转的转速转动。现在要制动飞轮，要求在5.0秒秒内使它均匀减速而最后停下来。摩擦系数为内使它均匀减速而最后停下来。摩擦系数为0.2。求闸。求闸瓦对轮子的压力瓦对轮子的压力N为多大？为多大？F0解：飞轮制动时有角加速度解：飞轮制动时有角加速度t0 20rad/s920s5 0 rad/s7104r1000.min/ t外力矩是摩擦阻力矩，角加速度

14、为负值。外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。 2mRJNRRfMr 2mRNR mRN 0Nfr 知：知：M0M1= aJ |t=0=0求：求：（t）=？解：解：1以刚体为研究对象；以刚体为研究对象；2分析受力矩分析受力矩3建立轴的正方向；建立轴的正方向；4列方程：列方程：JMM10M+M0M1J例例3 3 一静止刚体受到一等于一静止刚体受到一等于 （N.m)N.m)的不变力矩的作的不变力矩的作用用, ,同时又引起一阻力矩同时又引起一阻力矩 ， 的大小与刚体转动的角的大小与刚体转动的角速度成正比速度成正比, ,即即 (Nm),( (Nm),( 为常数为常数) )。又已知刚体。又已知刚体对转轴的

15、转动惯量为对转轴的转动惯量为J,J,试求刚体角速度变化的规律。试求刚体角速度变化的规律。aM 11M1M0MaM+M0M1=a解：解：4列方程：列方程：JMM10JMM10JaM0JaMdtd0JdtaMd0tJdtaMd000JtMaMa)(ln100JateMaM00)1 (10JateMa分离变量：分离变量：例例4、一根长为、一根长为l、质量为、质量为m的均匀细直棒，其一端的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时角时的角加速度和角速度。的角加

16、速度和角速度。解：棒下摆为加速过程，外解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对力矩为重力对O的力矩。的力矩。 棒棒上取质元上取质元dm,当棒处在下摆当棒处在下摆角时，该质量元的重力对角时，该质量元的重力对轴的元力矩为轴的元力矩为 Ogdmdmldl dlglgdmldM coscos 重力对整个棒的合力矩为重力对整个棒的合力矩为 coscosmgLgL2122 LgmLmgLJM2331212 coscos LdlgldMM0 cos Ogdmdmldl dlglgdmldM coscos 代入转动定律，可得代入转动定律，可得 ddJdtdddJdtdJJM 21 cosmglM代入 dJdmgL

17、 cos21 0021dJdmgL cos22121 JmgL sinLgJmgL sinsin3 dJMd 231mLJ 四、四、 力矩的功力矩的功 MdrdFdsFrdFdW 式中式中 cosFF rFM 21 MdW力矩做功是力做功的角量表达式力矩做功是力做功的角量表达式.FrPOdrd Z力矩的瞬时功率力矩的瞬时功率 MdtdWp 五、刚体定轴转动的动能定理五、刚体定轴转动的动能定理 ddJdtdddJJdtdJM 2121 dJdM21222121 JJ 合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。转动动能的增量。刚体定轴转动的动能定理

18、刚体定轴转动的动能定理21222121 JJW 六六 、包括刚体的系统的场中机械能守恒定律、包括刚体的系统的场中机械能守恒定律 iiiiphmgghmE刚体的重力势能等于其重力与质心高度之积刚体的重力势能等于其重力与质心高度之积. 刚体的重力势能是组成它的各个质元的重力刚体的重力势能是组成它的各个质元的重力势能之和势能之和.mhmmgEiip CpmghE mymhiic CChim POihh若在刚体转动过程中若在刚体转动过程中,只有重力做功只有重力做功,其他非保守内其他非保守内力不做功力不做功,则刚体在重力场中机械能守恒则刚体在重力场中机械能守恒.常常量量 CmghJE221 机械能守恒定律机械能守恒定律例例5 设一细杆的质量为设一细杆的质量为m，长为，长为L，一端支以枢轴而能，一端支以枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。求：当杆过铅直自由旋转，设此杆自水平静止释放。求：当杆过铅直位置时的角速度。位置时的角速度。知：知：m，L求：求：，1以杆为研究对象以杆为研究对象 受力：受力：mg，N不产生不产生对轴的力矩）对轴的力矩）建立建立OXYZ