七年级下册数学整式的乘除与因式分解知识点+习题

1、整式的乘除与因式分解1、单项式的概念： 由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项 式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。2a2bc的系数为,次数为 ,单独的一个非零数的次数是 。2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的 次数。2a 2ab x 1 ,项有,二次项为 , 一次项为，常数项为,各 项次数分别为 ,系数分别为 ,叫_次_项式。3、整式：单项式和多项式统称整式。注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。4、多项式按字母的升（降）哥排列：3223x 2x y

2、xy 2y 1按x的升哥排列： 按y的升哥排列：按x的降哥排列： 按y的降哥排列：5、同底数哥的乘法法则：amgan am n （m,n都是正整数）同底数哥相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。例 1.若 2a 264 ,则 a=;若 27 3n （ 3）8,则 n=.例 2.若 52x1 125,则（x 2）2009 x 的值为。例 3 .设 4x=8y-1,且 9y=27x-1，则 x-y 等于。6、哥的乘方法则：（am）namn（m,n都是正整数）哥的乘方，底数不变，指数相乘。如： （35）2 310哥的乘方法则可以逆用：即amn （am）n （an）m如：46（42）

3、3（43）27、积的乘方法则：（ab）n anbn （n是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。3 2 、5（2x y z）=8、同底数哥的除法法则：am an am n（ a 0,m,n都是正整数，且 m n）同底数塞相除，底数不变，指数相减。如：（ab）4 （ab） （ab）3 a3b39、零指数和负指数；a0 1 ,即任何不等于零的数的零次方等于1。n 1 a p 一1（a 0, p是正整数），即一个不等于零的数的p次万等于这个数的 p次万的倒数。pa如：21 3（2）10、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指

4、数作为积的一个因式。注意：积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。相同字母相乘，运用同底数塞的乘法法则。只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。如：2x2y3z?3xy11、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即 m(a b c) ma mb mc(m,a,b,c都是单项式)注意：积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。如：2x(2

5、x 3y) 3y(x y)=12、多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。如：(3a 2b)(a 3b)13、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数哥分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。如：7a2b4m 49a 2b =14、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。即：(am bm cm) m am m bm m cm m a b c例 1. (a 1b)(2a+-b)(3a2+ b2);例 2. (ab) (a+b

6、)2+( a2 2ab + b2)- 2ab.6312例 3.已知 x2+x 1 = 0,求 x3+2x2 + 3 的值.2. 2 .-15、平万差公式：(a b)(a b) a b注意平万差公式展开只有两项如：(x y z)(x y z)=、一 .、22_216、完全平方公式：(a b) a 2ab b222_2_22a b (a b) 2ab (a b) 2ab (a b) (a b) 4ab222222a b) (a b) (a b)( a b) (a b) (a b)完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。派17、三项式的完全平方公式：(a b c)2 a2 b2 c2

7、 2ab 2ac 2bc例1.利用平方差公式计算:200720072 2008 2006例2.广场内有一块边长为 2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长 3米,则改造后的长方形草坪的面积是多少191.99，例 3. (1) x 2,求 x ) 的值。(2) (x y) 16, (x y)=4,求 xy 的值。xx18、因式分解：常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法A.提公因式法：式子中有公因式时，先提公因式。例1.把2ax 10ay 5by bx分解因式.分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按 x的降哥排列，然后从两组分别提出公因

8、式2a与b,这时另一个因式正好都是x 5y ,这样可以继续提取公因式.解：2ax 10ay 5by bx说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法.本题也可以将 一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试.例 2.把 ab(c2 d2) (a2 b2)cd 分解因式.分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式.解：ab(c2 d2) (a2 b2)cd =说明：由例2、例1可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后， 为了提公因式，又运用了分配律.由此可以看出运算律在因式分解中所起的作

9、用。B.公式法：根据平方差和完全平方公式分解因式9x2 25y22 一 一C.配方法：分解因式x 6x 16说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差 公式分解.当然，本题还有其它方法，请大家试验.D.十字相乘法:(1). x2 (p q)x pq型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1)二次项系数是1; (2)常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和.22X (p q)x pq x px qx pq x(x p) q(x p) (x p)(x q)因此，x2 (p q)x pq (x p)(x q)运用这

10、个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.例1.把下列各式因式分解：22 .一 一一(1) x 7x 6(2) x 13x 36说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同.例2.把下列各式因式分解：22(1) x 5x 24(2) x 2x 15说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号 相同.例3.把下列各式因式分解：22, 2、22(2) x xy 6y(2) (x x) 8(x x) 12分析：(1)把x2 xy 6y2看成x的二次三项式，这时常数项是6y2, 一次项系数是

11、y,把6 y2分解成3y与2y的积，而3y ( 2y) y,正好是一次项系数. 22_ (2)由换兀思想，只要把xx整体看作一个字母 a,可不必写出，只当作分解二次三项式 a 8a 12 .(3) 一般二次三项式 ax2 bx c型的因式分解大家知道， (axc1)(a2xC2)aa2x2(a£2a2C1 )x C1C2 .2反过来，就得到：a1a2x(a1c2a2c1)x c1c2(a1x c1)(a2xc2)我们发现，二次项系数a分解成a1a2,常数项c分解成C1C2,把a1, a2,c1,c2写成a1c1,这里按斜线交叉相a? C2乘，再相加，就得到 ac2 a2Ci,如果它正

12、好等于 ax2 bx c的一次项系数 b ,那么ax2 bx c就可以分解成十字相乘法(ax G)(azx cz),其中ai,G位于上一行， a2,a位于下一行.这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做例4.把下列各式因式分解:一 2-(1) 12x 5x 2-22(2) 5x 6xy 8 y说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法 “凑"，看是否符合一次项系数，否则用加法“凑”，先凑”绝对值，然后调整，添加正、负号.提高练习1. (2x24x10xy) +() =x 1 y.222 .若 x + y=8, x2y2=4,则 x2 + y2=.3 .代数式4x2+3mx+9是完全平方式，则m=. 20132 20141.53-.2 i 一 一.225. 若 a 2 b 2b 1 0 ,则 a b ab =。6. (a + 1) (a+1) (a2+1) = 。7. 一个正方形的边长增加 4cm ,面积就增加56cm2 ,原来正方形的边长为 。340168. (3+1) ( 32 + 1) (34+1 )(32008+1 ) = 。29. (1) (：+3y