一轮复习配套讲义：第1篇第2讲命题及其关系、充分条件与必要条

1、第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件最新考纲1.理解命题的概念.2 , 了解“若p,则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3 .理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.诊断基础知识由浅入深夯基固本知识梳理1 .四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.2 .充分条件、必要条件与充要条件的概念若p? q,则p是q的充分 条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p? q且卢pp是q的必要/、充分条件pq 且 q? pp是q的充要条件p?

2、qp是q的既/、充分也不必要条件p台q且qp辨析感悟1 .对四种命题的认识(2012湖南卷改编)命题“ 04，则tan a= 1”的否命 是“若a=；,则tan / 1 . (X)若原命题“若p,则q”为真，则在这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中真命题的个数为1或2.(X)命题“若x2 3x+ 2>0,则x>2或x< 1”的逆否命题是“若1<x<2,则x2 3x+ 2& 0" . (V)2 .对充分条件、必要条件的理解(4)给定两个命题p, q.若p是q的充分不必要条件，则 p是1虢q的必要不充分条件.(，)(5) ”(2x1)x=0”的充分不

3、必要条件是“ x=0” .(，)，,.一 “1”(6)在 ABC中，A=60 是 cos A= 5的充分不必要条件.(X) ，一一.一.， ， X, (2013浙江卷改编)已知函数f(x) = Acos(co叶帆A>0,>0, xCR),则“ f(x)是奇函数”是“小=5 的充分必要条件.(X)感悟提升1 . 一个区别 否命题与命题的否定是两个不同的概念.否命题同时否定原命题的条件和结论，命题的 否定仅仅否定原命题的结论(条件不变)，如(1).2 .三个防范 一是分清命题中的条件和结论，并搞清楚其中的关键词，如与“="，“>”与“0”，“且”与“或”，“是”与“不是

4、”，“都不是”与“至少一个是"，“都是”与“不都是”等互为否定，如(3);二是弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B? A,且0B,如(5);而“A是B的充分不必 要条件”则是指A? B且B 与 A,如(6)、；三是注意题中的大前提，如(6).突破高频考点以例求法举一反三考点一命题及其相互关系【例1】已知：命题“若函数f(x) = exmx在(0,+00)上是增函数，则m& 1”，则下列结论正确的是().A .否命题是“若函数f(x)=ex mx在(0, +00)上是减函数，则m>1"，是真命题B.逆命题是“若m<1,则函数f(x)=ex mx在

5、(0, +oo)上是增函数”，是假命题C.逆否命题是“若 m>1,则函数f(x) = exmx在(0, +oo)上是减函数”，是真命题D.逆否命题是“若m>1,则函数f(x) = ex mx在(0, +oo)上不是增函数”，是真命题解析 由f(x) = exmx在(0,+00)上是增函数，则F (x) = exm>0包成立，丁 m0 1.；命题“若函数f(x) = exmx在(0, +8)上是增函数，则m01”是真命题，所以其逆否命题 ”若m>1,则函数f(x) = ex mx在(0, +00)上不是增函数”是真命题.答案D规律方法(1)在判断四种命题的关系时，首先要分

6、清命题的条件与结论，当确定了原命题时，要能根据 四种命题的关系写出其他三种命题.(2)当一个命题有大前提时，若要写出其他三种命题，大前提需保持不变.(3)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出反例.根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易 进行时，可转化为判断其等价命题的真假.【训练1】(2013长春二模)命题“若a2+b2=0,则a=0且b=0”的逆否命题是().A.若 a2 + b2w0,则 aw0 且 bw0B.若 a2 + b2w0,则 aw0或 bw0C.若 a=0且 b = 0,则 a2+b2w0D.若

7、aw0 或 bw0,则 a2+b2w0解析“若a2+b2=0,则a = 0且b = 0”的逆否命题是“若aw0或bw 0,则a2+b2w0”，故选D.答案D考点二 充分条件、必要条件的判断【例2】(1)(2013安徽卷)“a00”是“函数f(x)=|(ax1)x|在区间(0,十)内单调递增”的().A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2013 济南,g拟)如果 a=(1, k), b=(k,4),那么 “a/b” 是 “k= 2” 的().A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析(1)f(x) = |(a

8、x 1)x|在(0, +°0)内单调递增等价于f(x) = 0在区间(0, +°0)内无实根 即a=0或1<a0,也就是a< 0,故“a00”是“函数f(x) = |(ax 1)x|在(0,十)内单调递增”的充要条件，故选C. (2)因为a/b,所以1X4k2 = 0,即4=k2,所以k=坦所以“a/ b”是“k= 2”的必要不充分条件.答案(1)C (2)B规律方法 判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能 否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原

9、命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题学生用书第5页【训练2】(2013北京卷)“后冗”是“曲线v= sin(2x+ 过坐标原点”的().A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 由sind=0可得小=kTtk Z)，此为曲线y=sin(2x+ 过坐标原点的充要条件，故“()=/是“曲线y=sin（2x+ 过坐标原点”的充分不必要条件.答案A考点三充分条件、必要条件的探求【例 3】（1）若集合 A=xX2 x 2<0, B=x2<x<a,则 “AH Bw?” 的充要条件是（）.A. a>2 B, a&l

10、t;-2 C. a>1 D. a>-1(2)函数 f(x)=<1og2x,*a,x> 0, x<0有且只有一个零点的充分不必要条件是（).1A . a00 或 a>1 B. 0<a<21 彳C./<a< 1D. a<0审题路线 （1）An BW? A与B有交集.先求函数f（x）有且只有一个零点的充要条件 M?由选项推出M成立的充分条件？结合选项可得结论解析(1)A=x1<x< 2B = x|2<x<a,如图所小:. AABw?, .a>1.-5-IL*-2 -1 41 0 12(2)因为 f(x)=

11、4lOg2 x, x>0,、2x a, x<0有且只有一个零点的充要条件为a00或a>1.由选项可知，使“a00或>1”成立的充分条件为选项D.答案(1)C (2)D规律方法 有关探求充要条件的选择题，破题关键是：首先，判断是选项“推”题干，还是题干“推 选项；其次，利用以小推大的技巧，即可得结论.【训练3】“直线x- y- k= 0与圆（x1）2+y2 = 2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是 ().A. -1<k<3 B, -1<k<3C. 0< k<3 D. k< 1 或 k>3解析 “直线x y k =

12、0与圆（x1）2+y2=2有两个不同交点”等价于'（也 解得kC1,3）.四个选项中只有（0,3）是（一1,3）的真子集，故充分不必要条件可以是 0<k<3.答案CI课堂小结I1.当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个（或几个）作为大前提.2数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理 都是真的3命题的充要关系的判断方法定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假.等价法：利用A? B与 B? B A, B? A与 A? B B, A?

13、B与 B? B A的等价关系，对于条件或 结论是否定式的命题，一般运用等价法(3)利用集合间的包含关系判断：若 A? B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A= B,则A是 B 的充要条件培养解题能力教你解超提升能力思想方法1等价转化思想在充要条件关系中的应用【典例】已知p： 1-x-r1 <2, q： x2-2x+ 1-m2<0(m>0),且 p是1虢q的必要而不充分条件，求 3实数m的取值范围.解法一由 q： x2 2x+ 1 - m2<0,得 1 m<x< 1 + m,.拗 q： A= x|x>1 + m或 x< 1 m, m>

14、0,由 p： 1-、1 " 3解得20x&10,.拗 p： B= x|x>10 或 x< 2.；虢p是1虢q的必要而不充分条件.，m>0,，m>0, A B, .,.<1 m< 2,或1 m0 - 2,h + m>10,h + m>10,即 m>9 或 m>9. m>9.故实数m的取值范围是9, +oo).法二.：虢p是1虢q的必要而不充分条件， 丁. p是q的充分而不必要条件，由 q： x22x+ 1 - m2< 0,得 1 m<x< 1 + m,. q： Q = x|1 m< x&l

15、t; 1+ m,由 p： 1、1 <2, 3解得20x&10,. p： P = x|-2<x< 10.: p是q的充分而不必要条件，fm>0,fm>0,.PQ,1 1-m<-2, 或1 m02,1+m> 10,7 + m>10,即 m>9 或 m>9. m>9.故实数m的取值范围是9, +oo).反思感悟本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简 单、熟悉的问题来解决.一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包 含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键.【

16、自主体验】1. （2013山东卷）给定两个命题p, q.若,虢p是q的必要而不充分条件，则p是1虢4的（）.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析 由q? B p且 声 q可得p? B q且 户p,所以p是 q的充分而不必要条件.答案A2,已知命题p： x2+2x 3>0;命题q： x>a,且 q的一个充分不必要条件是 p,则a的取值范围 是（）.A. 1, +oo） B. （OO, 1C. 1, +00） D. （ oo, 3解析 由x2 + 2x 3>0,得x< 3或x>1,由 q的一个充分不必要条件是 B p,

17、可知 p是 q的充 分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.故a>1.答案A课时题组训练阶梯训舔练出高分对应学生用书P221基础巩固题组（建议用时：40分钟）一、选择题1 . （2012重庆卷）命题“若p,则q”的逆命题是（）.A.若 q,则 p B.若 p,则 qC.若 q,则 p D.若 p,则 q解析 根据原命题与逆命题的关系可得：“若p,则q”的逆命题是“若q,则p"，故选A.答案A2 .已知a, b, cC R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2>3”的否命题是（）.A.若 a+b+cw3,则 a2+b2+c2<3B.若 a+b+c=3,则 a

18、2+b2+c2<3C.若 a+b+cw3,则 a2+b2+c2>3D.若 a2 + b2+c2>3,则 a+b+c=3解析 同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题.答案A3 . （2014浙江部分重点中学3月调研）设aCR,则“ a= 2”是“直线y= 2乂+2与丫= x1垂直”的（）.A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析 若直线v= 2乂+2与丫= 4x- 1垂直，则有一axa：1,即a2=4,所以a=场所以“a = 2”是 “直线y= -ax+ 2与丫=幸乂 1垂直”的充分不必要条件，选 A.答案A4 .命题“若x

19、, y都是偶数，则x+ y也是偶数”的逆否命题是（）.A.若x+y是偶数，则x与y不都是偶数B.若x+y是偶数，则x与y都不是偶数C.若x+ y不是偶数，则x与y不都是偶数D.若x+y不是偶数，则x与y都不是偶数解析 由于“x, y都是偶数”的否定表达是“x, y不都是偶数”，"x+ y是偶数”的否定表达是“x+ y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x+ y不是偶数，则x, y不都是偶数”，故选C.答案C 15. （2014台州三校联考）不等式x x>0成立的一个充分不必要条件是（）.A . 1<x<0或 x> 1 B. x< 1 或 0<x&

20、lt;1C. x> - 1D . x> 1解析 画出直线y=x与双曲线v=1的图象（图略），两图象的交点为（1,1）, （1, 1）,依图知x->0 xx时，一1<x<0 或 x>1,显然 x> 1? x- 1>0; 1 x 1>户x>1. xx答案D二、填空题6. （2013盐城调研）“m<4”是“一元二次方程x2 + x+ m=0有实数解”的条件.解析 x2 + x+ m=0有实数解等价于 A= 1 4m>0,即m04.答案充分不必要7. （2014扬州模拟）下列四个说法：一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；

21、命题“设a, bCR,若a+bw6,则aw3或bw3”是一个假命题； .11.,X>2”是“1<1”的充分不必要条件； X 2一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真.其中说法不正确的序号是.解析 逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故错误；此命题的逆否命题为“设a, bR,若a=3且b = 3,则a+ b= 6"，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，错误； ：<2,则: 2 = 22”<0,解得x<0或x>2,所以X>2”是“1<2”的充分不必要条件，故正确；否命题和逆命题2 2XX 2是互为逆否命题，真假性相同，故正确.答

22、案8 .已知a, b, c都是实数，则在命题“若a>b,则ac2>bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四 个命题中，真命题的个数是 .解析 当c2=0时，原命题不正确，故其逆否命题也不正确；逆命题为“若ac2>bc2,则a>b"，逆命题正确，则否命题也正确.答案2三、解答题9 .判断命题“若a>0,则x2+x a=0有实根”的逆否命题的真假.解 原命题：若a>0,则x2 + x a=0有实根.逆否命题：若x2 + x-a=0无实根，则a<0.判断如下：.x2 + x a = 0 无实根，. A 1 + 4a< 0, . a<

23、0. 4 “若x2 + x-a = 0无实根，则a<0”为真命题.10.已知p： x2-8x- 20<0, q： x2-2x+1 -a2<0(a>0).若p是q的充分不必要条件，求实数 a的取值 范围.解 p： x2-8x-20< 0? -2<x< 10,q： x2 2x+ 1 - a2< 0? 1 a<x< 1 + a. p? q,产P, x|2<x< 10厚 x|1 a<x< 1 + a.，1 a 0 2,故有1 + a>10,且两个等号不同时成立，解得 a>9.a>0,因此，所求实数a的取值范围是9, +00).能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1.命题“若f(x)是奇函数，则f( x)是奇函数”的否命题是().A.若f(x)是偶函