2.4随即变量的相互独立性与条件分布ppt课件

1、返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月3日星期二12.4 随机变量的独立性与条件分布随机变量的独立性与条件分布 将事件独立性推广到将事件独立性推广到 r.v.设r.v. (X,Y )的联合概率函数为则称 r.v. X 和Y 相互独立 两个 r.v. 的相互独立性定义, 2 , 1,),(jipyYxXPijjijiijppp对一切 i , j=1,2,如果联合概率函数恰为两个边缘概率函数的乘积,即返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月3日星期二2例：例： 设设X,Y的联合分布列为的联合分布列为解解: 为判断为判断X与与Y是否相互独立，只需看边缘分布列是否相互独立，只需看边缘分布

2、列是否等于联合分布列的乘积是否等于联合分布列的乘积.为此先求出边缘分布列为此先求出边缘分布列因为PX=0PY=1PX=0,Y=1,所以X与Y不独立.返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月3日星期二3 例：已知随机变量 X 和Y 相互独立，且分布律为XY111691 81301201 求，。 解：由于随机变量 X 和Y 相互独立， 可知1,010P XYP XP Y即11111996918 得29返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月3日星期二4 例：已知随机变量 X 和Y 相互独立，且分布律为XY111691 81301201 求，。类似地，2,020P XYP XP Y即11

3、11118186918 得19续解。续解。返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月3日星期二5(,),1,2,ijijP Xx Yypi j设二维离散型 r.v. ( X ,Y )的分布对任意一个固定的则称(,)()ijijiiP Xx YypP Xxp为在为在 X = xi 的条件下的条件下, Y 的条件分布律的条件分布律, 2 , 1j()jiPY y X x记 作二维离散 r.v.的条件分布律 ,1,2,i i返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月3日星期二6则称(,)()ijijjjP Xx YypPYyp为在 Y = yj 的条件下X 的条件分布律, 2 , 1i()i

4、jP Xx Yy记作类似乘法公式)()(),(ijijixXyYPxXPyYxXP)()(jijyYxXPyYP或, 2 , 1,ji对任意一个固定的,1,2,j j返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月3日星期二7例例1 1 设随机向量设随机向量(X,Y)(X,Y)的联合概率函数为的联合概率函数为XY123jp 1 2 31/ 41/121/181/81/121/181/81/61/187/18 19/72 25/72ip1/ 21/31/6试求（1已知事件 发生时X的条件概率函数；1Y （2已知事件 发生时Y的条件概率函数；2X 返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月3日星

5、期二8解解 按条件概率函数的定义，得到按条件概率函数的定义，得到（1所求的X的条件概率函数为1X Y rP1 2 3111914pp211314pp311214pp（2所求的Y的条件概率函数为2Y X rP1 2 321214pp22214pp23212pp返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月3日星期二9例：一射手进行射击，击中目标的概率为例：一射手进行射击，击中目标的概率为p,射击到击射击到击中目标两次为止中目标两次为止.以以X表示首次击中目标时的射击次表示首次击中目标时的射击次数，数，Y表示射击的总次数，试求表示射击的总次数，试求X,Y的联合分布律与的联合分布律与条件分布律条件分

6、布律. 解：解： 由题意，由题意，Y=n表示前表示前n-1次恰有一次击中目标，次恰有一次击中目标，且第且第n次击中目标次击中目标.各次射击是独立的，因此对各次射击是独立的，因此对mn, P(X=m,Y=n)=p2qn-2, q=1-p. n=2,3,；m=1,2,n-1 P(X=m)= ( m=1,2,)1),(mnnYmXPqqpqpqpmmnnmnn1121221221mpq=返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月3日星期二10 解：解： 由题意，由题意，Y=n表示前表示前n-1次恰有一次击中目标，次恰有一次击中目标，且第且第n次击中目标次击中目标.各次射击是独立的，因此对各次射击

7、是独立的，因此对mn, P(X=m,Y=n)=p2qn-2, q=1-p. n=2,3,；m=1,2,n-1 P(X=m)= ( m=1,2,)P(Y=n)= (n=2,3,)P(X=m|Y=n)= ,m=1,2, n-1;1),(mnnYmXPqqpqpqpmmnnmnn1121221221mpq=221122) 1(nnmnqpnqp11) 1(2222nqpnqpnn返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月3日星期二11 解：解： 由题意，由题意，Y=n表示前表示前n-1次恰有一次击中目标，次恰有一次击中目标，且第且第n次击中目标次击中目标.各次射击是独立的，因此对各次射击是独立的，因此对mn, P(X=m,Y=n)=p2qn-2, q=1-p. n=2,3,；m=1,2,n-1 P(X=m)= ( m=1,2,)P(Y=n)= , (n=2,3,)P(Y=n|X=m)= , (n=m+1,