最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论

1、抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念：抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数，如函数的定义域，解析递推式，特定点的函数值，特定的运算性质等，它是高中函数部分的难点，也是大学高等数学函数部分的一个衔接点，由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于f(x)定义域内的每一个x，都存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x)恒成立,则称函数f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，贝ykT(ke乙k丰0)也是f(

2、x)的周期，所有周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期。分段函数的周期：设y=f(x)是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:y=f(x),xe|a,bT=b-a。把y=f(x)沿x轴平移KT=K(b-a)个单位即按向量a=(kT,0)平移，即得y=f(x)在其他周期的图像:y=f(x-kT),xeIkT+a,kT+b!of(x)二f(x)xe|a,b!f(x-kT)xekT+a,kT+bl2、奇偶函数：设y=f(x),xela,b或xelb,-ala,b 若f(-x)=-f(x),则称y=f(x)为奇函数； 若f(-x)=f(x)则称y=f(x)为偶函数。分段函数的奇偶性3、函数的对称性：(

3、1) 中心对称即点对称： 点A(x,y)与B(2a一x,2b一y)关于点(a,b)对称； 点A(a一x,b一y)与B(a+x,b+y)关于(a,b)对称； 函数y=f(x)与2b-y=f(2a-x)关于点(a,b)成中心对称； 函数b-y=f(a-x)与b+y=f(a+x)关于点(a,b)成中心对称; 函数F(x,y)=0与F(2a-x,2b-y)=0关于点(a,b)成中心对称。(2)轴对称：对称轴方程为：Ax+By+C=0。点A(x,y)切(x/,y/)=B(x-2A(Ax十By虫),y-2B(Ax十B十C)关于直线Ax+By+C=0成轴对称； 函数y=f(x)与y-2推论1、f(a+x)+

4、f(a-x)=2boy=f(x)的图象关于点(a,b)对称推论2、f(x)+f(2a-x)=2boy=f(x)的图象关于点(a,b)对称推论3、f(-x)+f(2a+x)=2boy=f(x)的图象关于点(a,b)对称(二)两个函数的图象对称性(相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)偶函数y=f(x)与y=f(-x)图象关于Y轴对称奇函数y=f(x)与y=-f(-x)图象关于原点对称函数函数y=f(x)与y=-f(x)图象关于X轴对称B(Ax+By+C)=f(x-2A(Ax+By+C)关于直线A2+B2JA2+B2Ax+By+C=0成轴对称。 F(x,y)=0与F(x-2A(Ax+B

5、y+C),y-2B(Ax+By+C)=0关于直线A2+B2A2+B2Ax+By+C=0成轴对称。二、函数对称性的几个重要结论(一)函数y=f(x)图象本身的对称性(自身对称)若f(x+a)=±f(x+b)，则f(x)具有周期性；若f(a+x)=±f(b-x)，则f(x)具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”1、f(a+x)=f(b-x)oy=f(x)图象关于直线x=(a土x)+(b-x)=凹对称22推论1：f(a+x)=f(a-x)oy=f(x)的图象关于直线x=a对称推论2、f(x)=f(2a-x)oy=f(x)的图象关于直线x=a对称推论3、f(-x)=f(2a

6、+x)oy=f(x)的图象关于直线x=a对称2、f(a+x)+f(b-x)=2coy=f(x)的图象关于点(仝乞,c)对称4、互为反函数y=f(x)与函数y二f-1(x)图象关于直线y二x对称ba5.函数y=f(a+x)与y=f(bx)图象关于直线x=-对称推论1:函数y=f(a+x)与y=f(ax)图象关于直线x二0对称推论2:函数y=f(x)与y=f(2ax)图象关于直线x=a对称推论3:函数y=f(x)与y=f(2a+x)图象关于直线x=-a对称(三)抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质1若函数y=f(x)关于直线x=a轴对称，则以下三个式子成立且等价：(1) f(a+x)=

7、f(ax)(2) f(2ax)=f(x)(3) f(2a+x)=f(x)性质2若函数y=f(x)关于点(a,0)中心对称，则以下三个式子成立且等价：(1) f(a+x)=f(ax)(2) f(2ax)=f(x)(3) f(2a+x)=f(x)易知，y=f(x)为偶(或奇)函数分别为性质1(或2)当a=0时的特例。2、复合函数的奇偶性定义1、若对于定义域内的任一变量X,均有fg(x)=fg(x),则复数函数y=fg(x)为偶函数。定义2、若对于定义域内的任一变量x,均有fg(x)=fg(x),则复合函数y=fg(x)为奇函数。说明：(1) 复数函数fg(x)为偶函数，则fg(x)=fg(x)而不

8、是fg(x)=fg(x),复合函数y=fg(x)为奇函数，则fg(x)=fg(x)而不是fg(x)=fg(x)。(2) 两个特例：y=f(x+a)为偶函数，则f(x+a)=f(x+a)；y=f(x+a)为奇函数，则f(x+a)=f(a+x)(3) y=f(x+a)为偶(或奇)函数，等价于单层函数y=f(x)关于直线x=a轴对称(或关于点(a,0)中心对称)3、复合函数的对称性性质3复合函数y=f(a+x)与y=f(bx)关于直线x=(ba)/2轴对称性质4、复合函数y=f(a+x)与y=f(bx)关于点(ba)/2,0)中心对称推论1、复合函数y=f(a+x)与y=f(ax)关于y轴轴对称推论

9、2、复合函数y=f(a+x)与y=f(ax)关于原点中心对称4、函数的周期性若a是非零常数，若对于函数y=f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。 f(x+a)=f(xa) f(x+a)=f(x) f(x+a)=l/f(x) f(x+a)=l/f(x)5、函数的对称性与周期性性质5若函数y=f(x)同时关于直线x=a与x=b轴对称，贝V函数f(x)必为周期函数，且T=2|ab|性质6、若函数y=f(x)同时关于点(a，0)与点(b，0)中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T=2|ab|性质7、若函数y=f(x)既关于点(a，

10、0)中心对称，又关于直线x=b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T=4|ab|6、函数对称性的应用(1)若y=f(x)关于点(h,k)对称，则x+x/二2h,y+y/二2k，即f(x)+f(x/)二f(x)+f(2h-x)二2kf(x)+f(x)HFf(x)+f(2h一x)+f(2h一x)HFf(2h一x)=2nk12nnn-11(2)例题1、f(x)二-关于点O对称：f(x)+f(1-x)二1;ax+寸a224x一1f(x)=一2x+1关于(0,1)对称：f(x)+f(-x)=22x+1f(x)=(aeR,x丰0)关于(丄丄)对称：f(x)+f(丄)=1xa+122x2、奇函数的图像关于

11、原点(0,0)对称：f(x)+f(-x)=0。3、若f(x)=f(2ax)或/(a-x)=f(a+x),贝Uy=f(x)的图像关于直线x=a对称。设f(x)=0有n个不同的实数根，则x+x+x=x+(2ax)+x+(2ax)+x+(2ax)=na.12n1122nn22(当n=2k+1时，必有x=2ax,nx=a)111（四）常用函数的对称性三、函数周期性的几个重要结论1、f(x土T)=f(x)(T丰0)oy=f(x)的周期为T，kT(keZ)也是函数的周期2、f(x+a)=f(x+b)oy=f(x)的周期为T=b-a3、f(x+a)=一f(x)oy=f(x)的周期为T=la4、oy=f(x)

12、的周期为T=2a5、f(x+a)_1f(x)oy=f(x)的周期为T=2a6、=1-f(x)1+f(x)=f(x)的周期为T=3a7、y=f(x)的周期为T=2a8、f(x+a)=1+f(x)oy1-f(x)=f(x)的周期为T=4a9、f(x+2a)=f(x+a)f(x)oy=f(x)的周期为T=6a10、若p>0,f(px)=f(px一y),则T=-p.11、y=f(x)有两条对称轴x=a和x=b(b>a)oy=f(x)周期T=2(b一a)推论：偶函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)oy=f(x)周期T二2a12、y=f(x)有两个对称中心(a,0)和(b,0)(b&

13、gt;a)oy二f(x)周期T=2(b-a)推论：奇函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)oy=f(x)周期T二4a13、y=f(x)有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0)(b>a)of(x)的T=4(b-a)四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用下面通过实例说明其应用类型。1. 求函数值例1.(1996年高考题)设f(x)是(一8,+8)上的奇函数，f(2+X)=-f(x),当00X<1时，f(x)=x,则f(7.5)等于(-0.5)(A) 0.5;(B

14、) -0.5;(C) 1.5;(D) 1.5.例2.(1989年北京市中学生数学竞赛题)已知f(x)是定义在实数集上的函数，且f(x+2)1-f(x)=1+f(x),f(1)二2+打,求f(1989)的值.f(1989)二込-2。2、比较函数值大小例3.若f(x)(xeR)是以2为周期的偶函数，当xet),1时，f(x)二x盂,试比较f(!|)、f罟)、f(罟)的大小.解：f(x)(xeR)是以2为周期的偶函数，又Tf(x)二x盂在b,l上是增函数，且c116141宀1、“16、“14101“98、“104、173、求函数解析式0<<<<1f()<f()<f

15、()，即f(<f()<f().1719151719151719154.(1989年高考题)设f(x)是定义在区间(-卩+)上且以2为周期的函数，对keZ，用I表示区间(2k-1,2k+1),已知当xeI时，f(x)二x2.求f(x)在I上的解k0k析式.解：设xe(2k1,2k+1),/.2k1<x<2k+11<x2k<1/xeI时，有f(x)=x2,.由一1<x一2k<1得f(x一2k)=(x一2k)20f(x)是以2为周期的函数，af(x2k)二f(x),.f(x)二(x2k)2.例5设f(x)是定义在(-®+Q上以2为周期的周期函

16、数，且f(x)是偶函数，在区间b,3上，f(x)=2(x3)2+4.求xe11,2时，f(x)的解析式.解：当xeL3,2，即一xeb,3，f(x)二f(x)二2(x3)2+4二2(x+3)2+4又f(x)是以2为周期的周期函数，于是当xe1,2，即一3<x4<2时,有f(x)=f(x-4)nf(x)=-2l(x一4)+3】+4=-2(x一1)2+4(1<x<2).f(x)=-2(x-1)2+4(1<x<2).4、判断函数奇偶性例6.已知f(x)的周期为4,且等式f(2+x)=f(2-x)对任意xeR均成立,判断函数f(x)的奇偶性.解：由f(x)的周期为4

17、,得f(x)=f(4+x)，由f(2+x)=f(2-x)得f(-x)=f(4+x),f(-x)=f(x),故f(x)为偶函数.5、确定函数图象与x轴交点的个数例7.设函数f(x)对任意实数x满足f(2+x)=f(2-x)，f(7+x)=f(7-x)且/(0)=0,判断函数f(x)图象在区间I一30,30上与x轴至少有多少个交点.解：由题设知函数f(x)图象关于直线x=2和x=7对称，又由函数的性质得f(x)是以10为周期的函数.在一个周期区间b,io)上，f(0)=0,f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0)=0且/(x)不能恒为零，故f(x)图象与x轴至少有2个交点.而区间1一30,3

18、0)有6个周期，故在闭区间1一30,30上f(x)图象与x轴至少有13个交占八、6、在数列中的应用例8在数列t中，a=打,a=二(n>2)，求数列的通项公式，并计算n1n1an-1a+a+a+a1591997分析：此题的思路与例2思路类似.1+tga1tga1+a解：令a=tga,则a=1121一a11+aa=231-a2兀1+tg°47)兀I-tg(才7)兀=tg(2X4P)/.an-1兀=tg(n1)x+a,于是a1+a=n1an-1兀=tg(n-1)4+Q不难用归纳法证明数列的通项为：an/兀兀、=tg(n一+a)，且以4为周期.44于是有1,5，9-1997是以4为公差

19、的等差数列，a=a=a=a，由1997=1+(n一1)x4得总项数为500项，1591997a+a+a+a=500xa=500、：3.159199717、在二项式中的应用例9.今天是星期三，试求今天后的第9292天是星期几？分析：转化为二项式的展开式后，利用一周为七天这个循环数来进行计算即可解：/9292=(91+1)92=C09192+C19191+C90912+C91-91+1929292929292=(7X13+1)92=C0(7X13)92+C1(7X13)91+C90(7X13)2929292+C91(7x13)+192因为展开式中前92项中均有7这个因子，最后一项为1,即为余数，故

20、9292天为星期四.8、复数中的应用例10.(上海市1994年高考题)设z=-2+耳i(i是虚数单位)，则满足等式zn=z,22且大于1的正整数n中最小的是()(A)3；(B)4；(C)6；(D)7.1v'3.分析：运用z=-2+亍i方幕的周期性求值即可.解：/Zn=Z,Z(Zn-1-1)=0二Zn-1=1，Z3=1,.n1必须是3的倍数，即n-1=3k(keN),n=3k+1(keN).k=1时,n最小,(n)=4.故选择(B)min9、解“立几”题例ll.ABCDABCD是单位长方体，黑白二蚁都从点A出发，沿棱向前爬行，每走1111一条棱称为“走完一段”。白蚁爬行的路线是AATAD

21、T,黑蚁爬行的路线是111ABTBBT.它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段所在直线与第i段所在直线必1须是异面直线(其中ieN).设黑白二蚁走完第1990段后，各停止在正方体的某个顶点处,这时黑白蚁的距离是()(A)1；(B)迈；(C)3；(D)0.解：依条件列出白蚁的路线AATADTDCTCCTCBT111111BATAAT,立即可以发现白蚁走完六段后又回到了A点可验证知：黑白二蚁走1完六段后必回到起点，可以判断每六段是一个周期.1990=6x331+4，因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置，不难计算出在走完四段后黑蚁在D点，白蚁在C点，故所求距离是心2.例题与应用例1：f(x

22、)是R上的奇函数f(x)=f(x+4)，x£0,2时f(x)=x,求f(2007)的值例2：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)1f(x)=1+f(x),f(1)=2，求f(2009)的值。故f(2009)=f(251X8+1)=f(1)=2例3：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)=f(4-x)，且当xeL2,0时，f(x)=2x+1，则当xek6时求f(x)的解析式f(999+x)=f(999x)，1例4：已知f(x)是定义在仆的函数，且满足f(x+999)=-帀试判断函数f(x)的奇偶性.例5：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)=f(4-x),且当x

23、2,0时，f(x)是减函数，求证当xebj时f(x)为增函数例6：f(x)满足f(x)=-f(6-x)，f(x)=f(2-x)，若f(a)=-f(2000)，aW5,9且f(x)在5,9上单调求a的值.例7：已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)=f(4x),f(7+x)=f(7x),f(0)=0,求在区间1000,1000上f(x)=0至少有几个根？解：依题意f(x)关于x=2,x=7对称，类比命题2(2)可知f(x)的一个周期是10故f(x+10)=f(x)f(10)=f(0)=0又f(4)=f(0)=0即在区间(0,10上，方程f(x)=0至少两个根又f(x)是周期为10的函数，每个周期上至少有两个根，c2000因此方程f(x)=0在区间1000,1000上至少有1+210-=401个根.例1、函数y=f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y=