模糊数学(模糊关系合成)

1、吉林大学计算机科学与技术学院1模糊数学 7孙舒杨孙舒杨吉林大学计算机科学与技术学院2内容回顾内容回顾n普通关系普通关系模糊关系模糊关系n有限论域上，布尔矩阵有限论域上，布尔矩阵模糊矩阵模糊矩阵n模糊关系（模糊矩阵）的运算模糊关系（模糊矩阵）的运算吉林大学计算机科学与技术学院33-5 模糊关系的合成模糊关系的合成吉林大学计算机科学与技术学院4经典关系的合成经典关系的合成nX表示人群表示人群n兄弟关系兄弟关系Q：XX，父子关系父子关系R：XX，叔侄关系，叔侄关系S：XXn问：问：Q,R,S这三个关系之间存在着什么这三个关系之间存在着什么关系？关系？ QRSXXX 吉林大学计算机科学与技术学院5叔侄

2、关系叔侄关系nx,z存在叔侄关系存在叔侄关系（x是是z的叔叔或伯的叔叔或伯伯）伯）？n存在一个存在一个y，y是是x的兄弟，且的兄弟，且y是是z父父亲亲nxSz存在存在yX,使使xQy且且yRzn称叔侄关系称叔侄关系S是兄弟关系是兄弟关系Q和父子关和父子关系系R的的合成合成，记为，记为S=QR吉林大学计算机科学与技术学院6关系合成的定义关系合成的定义n设设QP(UP(UV),RP(VV),RP(VW), W), SP(USP(UW)W)n若若(u,w)S(u,w)S存在存在v vV,V,使使(u,v)Q(u,v)Q且且(v,w)R(v,w)R，则称关系，则称关系S S是是由关系由关系Q Q与关系

3、与关系R R合成合成的，记作的，记作S=QR吉林大学计算机科学与技术学院7合成关系的表示合成关系的表示n关系关系Q和关系和关系R的合成可以表示为的合成可以表示为( , )|,( , ),( , )Q Ru wv u vQ v wR( , )( ( , )( , )v VQ R u wQ u vR v w 用特征函数来表示，则有吉林大学计算机科学与技术学院8经典关系合成经典关系合成模糊关系合成模糊关系合成n设设QF(UF(UV),RF(VV),RF(VW),W),所谓所谓Q Q对对R R的合成，就是从的合成，就是从U U到到W W的一个模糊关系，的一个模糊关系，记作记作QR，其隶属函数为，其隶属

4、函数为( , )( ( , )( , )v VQ R u wQ u vR v w 吉林大学计算机科学与技术学院9R2=？n若若RF(UU),记记R2 = RRnRn = Rn-1R吉林大学计算机科学与技术学院10模糊关系的合成模糊关系的合成例例1n设设R R1 1为为X XY Y上的模糊关系上的模糊关系, ,其隶属函数满其隶属函数满足足 设设R R2 2为为Y YZ Z上的模糊关系上的模糊关系, ,其隶属函数满足其隶属函数满足试求试求R R1 1、 R R2 2的合成。的合成。2()1( , )k x yR x ye2()2( , )k y zRy ze吉林大学计算机科学与技术学院11例例1的

5、答案的答案n把把y当作变量，把当作变量，把x和和z都当作常量都当作常量22()()12( , )()k x yk y zy YRR x zee 吉林大学计算机科学与技术学院12例例1的答案的答案2222* 2* 2*2*()()12()()()22()()2()k x yk y zx zx zk xkk x yyxyyzyzxzxyyzyyyRReeeee y Y问题变成了确定曲线交点的横坐标当时，吉林大学计算机科学与技术学院13模糊关系的合成模糊关系的合成例例2n设设R为模糊关系为模糊关系“x远大于远大于y”，其隶属，其隶属函数如下，则合成关系函数如下，则合成关系RR应该为应该为“x远远大于

6、远远大于y”，试问其隶属函数是什么？，试问其隶属函数是什么？120,( , )1001,()xyR x yxyxy（）吉林大学计算机科学与技术学院14例例2答案答案吉林大学计算机科学与技术学院15例例2答案答案n同例同例1一样，首先把一样，首先把y作为变量，作为变量，x和和z均当作常量，画出对应的曲线均当作常量，画出对应的曲线吉林大学计算机科学与技术学院16例例2答案答案n求出交点的横坐标求出交点的横坐标z*n求得交点的纵坐标，即为合成关系求得交点的纵坐标，即为合成关系RR的隶属函数的隶属函数吉林大学计算机科学与技术学院17模糊关系合成的矩阵表示模糊关系合成的矩阵表示n对于有限论域上的模糊关系

7、，可表对于有限论域上的模糊关系，可表示称模糊矩阵示称模糊矩阵n模糊关系的合成模糊关系的合成模糊矩阵的合成模糊矩阵的合成吉林大学计算机科学与技术学院18模糊矩阵合成模糊矩阵合成0.5 0.30.8 0.5, ,0.4 0.80.3 0.7RSR S求1112212211122122111221220.50.30.40.8( ,)( ,)(,)(,)0.80.50.30.7( ,)( ,)(,)(,)?( ,)( ,)(,)(,)Ru vu vu vu vSv wv wv wv wR Su wu wuwuw吉林大学计算机科学与技术学院1911111111111221,)( ,)( ( , )( ,

8、)( ( ,)( ,)( ( ,)(,)(0.50.8)(0.30.3)0.5v Vu wR S u wR u vS v wR u vS v wR u vS v w 以(为例0.5 0.30.8 0.5, 0.4 0.80.3 0.7RS吉林大学计算机科学与技术学院20模糊矩阵的乘积模糊矩阵的乘积1()(),()()()()(),1,., 1,.,ikm lkjl nijm nlijikkjkQqF UVRrF VWQRQ RSsF UWsqrimjn 设则 对 的合成为，其中吉林大学计算机科学与技术学院21模糊矩阵乘积模糊矩阵乘积vs.经典矩阵乘积经典矩阵乘积n实数相乘实数相乘“” 实数取小

9、实数取小“”n实数相加实数相加“+ +” 实数取大实数取大“”吉林大学计算机科学与技术学院22课题作业：计算课题作业：计算RS吉林大学计算机科学与技术学院23模糊关系合成的性质模糊关系合成的性质1,2(1)结合律结合律 (QR)S=Q(RS)(2) 0-1律律 0R=R0=0IR=RI=R吉林大学计算机科学与技术学院24模糊关系合成的性质模糊关系合成的性质3,4(3) QRR QSRS QRR QmRm(4) 分配律（对分配律（对分配）分配）(QR)S=(QS)(RS)S(QR) =(SQ)(SR)吉林大学计算机科学与技术学院25请计算请计算0.1 0.30.2 0.10.5 0.1,0.2

10、0.10.3 0.20.3 0.2),()()ABCABC A CB C求(吉林大学计算机科学与技术学院26模糊关系合成的性质模糊关系合成的性质合成运算的交运算的分配律不成立！合成运算的交运算的分配律不成立！注意注意吉林大学计算机科学与技术学院27模糊关系合成的性质模糊关系合成的性质5,6(5) (QR) = Q R推论推论 (Rn) = (R)n(6) (QR) T= QT RT推论推论 (Rn) T= (RT)n吉林大学计算机科学与技术学院28课后作业课后作业吉林大学计算机科学与技术学院293-7 模糊等价关系及聚类图模糊等价关系及聚类图吉林大学计算机科学与技术学院30模糊关系的三个概念模

11、糊关系的三个概念n自反性自反性n对称性对称性n传递性传递性吉林大学计算机科学与技术学院31自反性自反性n若模糊关系若模糊关系R满足满足R(u,u)=1或或IR，则称则称R具有自反性具有自反性n模糊自反矩阵模糊自反矩阵nrii = 1n例如：例如：1 0.41 00.1 10 1AI吉林大学计算机科学与技术学院32自反矩阵的定理自反矩阵的定理定理定理. 设模糊矩阵设模糊矩阵 A Mnn是自反矩阵，是自反矩阵，则有则有I AA2 A3 An-1 An证明证明:23222;.AA AA IAAAAAIA吉林大学计算机科学与技术学院33对称性对称性n若模糊关系若模糊关系R满足满足R(u,v)=R(v,

12、u)，则，则称称R具有对称性具有对称性n模糊对称矩阵模糊对称矩阵nrij = rjin例如：例如：1 0.9 0.50.9 1 0.40.5 0.4 1A吉林大学计算机科学与技术学院34传递性传递性n若模糊关系若模糊关系R满足满足RRR，则称，则称R具具有传递性有传递性n模糊传递矩阵模糊传递矩阵1()nijikkjkrrr 吉林大学计算机科学与技术学院35模糊传递矩阵模糊传递矩阵例例20.1 0.2 0.3 0 0.1 0.2 ,? 0 0 0.1AA20.1 0.1 0.2 0 0.1 0.1 0 0 0.1AA吉林大学计算机科学与技术学院36模糊传递矩阵的定理模糊传递矩阵的定理定理定理.

13、设模糊矩阵设模糊矩阵 Q Mnn是传递是传递矩阵，则有矩阵，则有Q Q2 Q3 Qn-1 Qn 证明证明:3224323;.QQQQ QQQQQQQQ吉林大学计算机科学与技术学院37模糊等价关系模糊等价关系定义定义. 模糊关系模糊关系RF(UU) ) , 满足满足（1）自反性：）自反性：R (u,u)=1;（2）对称性：）对称性：R(u,v)=R(v,u);（3）传递性：）传递性：R2 R则称则称R为为模糊等价关系模糊等价关系吉林大学计算机科学与技术学院38模糊等价矩阵模糊等价矩阵n若论域若论域U是有限论域，则是有限论域，则U上的模糊上的模糊等价关系等价关系R可表示为模糊等价矩阵可表示为模糊等价矩阵n模糊等价矩阵模糊等价矩阵n自反性自反性 rii = 1n对称性对称性 rij = rji