电磁场与电磁波 绪论和第1章

1、1Electromagnetic Fields and Electromagnetic Waves电磁场与电磁波崔光亮崔光亮凝聚态物理研究所凝聚态物理研究所2一、课程的性质和任务一、课程的性质和任务 “电磁场与电磁波电磁场与电磁波”是高等学校电子信息类及电气信息是高等学校电子信息类及电气信息类专业本科生必修的一门专业基础课，课程涵盖的内容是类专业本科生必修的一门专业基础课，课程涵盖的内容是合格的电子、电气信息类专业本科学生所应具备的知识结合格的电子、电气信息类专业本科学生所应具备的知识结构的重要组成部分。构的重要组成部分。 本课程将在本课程将在“大学物理（电磁学）大学物理（电磁学）”的基础上，

2、进一步的基础上，进一步研究宏观电磁现象和电磁过程的基本规律及其分析计算方研究宏观电磁现象和电磁过程的基本规律及其分析计算方法。通过课程的学习，掌握基本的宏观电磁理论，具备分法。通过课程的学习，掌握基本的宏观电磁理论，具备分析和解决基本的电磁场工程问题的能力。析和解决基本的电磁场工程问题的能力。 先修课程：大学物理、高等数学、数学物理方法先修课程：大学物理、高等数学、数学物理方法3二、课程的专业地位二、课程的专业地位 1 1、电子信息类专业的一门专业基础必修课、电子信息类专业的一门专业基础必修课 2 2、电子学的理论基础：建立、电子学的理论基础：建立“路路”“”“场场”关系关系 3 3、“电磁波

3、电磁波”-无线信号传输的理论基础无线信号传输的理论基础三、课程的研究对象三、课程的研究对象 1 1、电磁场基本理论与分析方法、电磁场基本理论与分析方法 2 2、电磁波及其传播特性、电磁波及其传播特性 3 3、导波系统与天线理论基础、导波系统与天线理论基础4 四、电磁场理论发展历史四、电磁场理论发展历史最初，人们只能定性观察电现象、磁现象最初，人们只能定性观察电现象、磁现象电磁场理论发展中的重大事件：电磁场理论发展中的重大事件：17851785：库仑定律（电荷相互作用力规律）：库仑定律（电荷相互作用力规律）18201820：电流磁效应（奥斯特）：电流磁效应（奥斯特） 安培力定律（安培）安培力定律

4、（安培）18311831：电磁感应（法拉第）：电磁感应（法拉第） 1864 1864：位移电流假说，麦克斯韦方程组：位移电流假说，麦克斯韦方程组( (麦克斯韦麦克斯韦) )18881888：试验证明电磁波存在（赫兹）：试验证明电磁波存在（赫兹）18951895年，意大利的马可尼发明了第一台电报机，实现年，意大利的马可尼发明了第一台电报机，实现了用电磁波作为媒体传输信息的技术。了用电磁波作为媒体传输信息的技术。5五、电磁场、电磁波与工程应用五、电磁场、电磁波与工程应用 当今世界，电子信息系统，不论是通信、雷达、广播电当今世界，电子信息系统，不论是通信、雷达、广播电视，还是导航、遥感探测，都是通过

5、电磁波传递信息来进视，还是导航、遥感探测，都是通过电磁波传递信息来进行工作的。因此以宏观电磁理论为基础，电磁信息的传输行工作的。因此以宏观电磁理论为基础，电磁信息的传输和转换为核心的电磁场与电磁波工程技术将充分发挥其重和转换为核心的电磁场与电磁波工程技术将充分发挥其重要作用。下面以无线通信系统为例来说明。要作用。下面以无线通信系统为例来说明。6 发射机末级回路产生的高频振荡电流经过馈线送到发射发射机末级回路产生的高频振荡电流经过馈线送到发射天线，通过发射天线将其转换成电磁波辐射出去；到了接收天线，通过发射天线将其转换成电磁波辐射出去；到了接收端，电磁波在接收天线上感生高频振荡电流，再经馈线将高

6、端，电磁波在接收天线上感生高频振荡电流，再经馈线将高频振荡电流送到接收机输入回路，这就完成了信息的传递。频振荡电流送到接收机输入回路，这就完成了信息的传递。在这个过程中，经历了电磁波的传输、发射、传播、接收等在这个过程中，经历了电磁波的传输、发射、传播、接收等过程。过程。 接收机接收天线馈线下行波发射机发射天线馈线导行波 传输导行电磁波（导波理论） 发射和接收天线（天线理论） 传播入射、反射、透射、绕射（电波传播）7中、短波发射天线中、短波发射天线微波接力天线微波接力天线 天线天线8卡塞格伦天线卡塞格伦天线 卡赛格伦天线是从卡赛格伦光学望 远镜发展起来的一种微波天线,它由反射面系统和一个照射器

7、组成， 反射面系统包括一个旋转抛物面 .这种天线是把照射器辐射的 球面波，经副面和主面两次反射后， 最终以平面波沿天线轴辐射出去。 天线的结构较为紧凑，制作比较方便，空间衰耗对馈电器辐射的影响小，所以效率比标准抛物面天线要高。9蜂窝移动电话内置小型微带天线蜂窝移动电话内置小型微带天线 微带天线已在100兆赫至50G赫的宽广频域上获得多方面应用。其主要特点是剖面低、体积小、重量轻、造价低,可与微波集成电路一起集成,且易于制成共形天线等。从电性能上来说，它有便于获得圆极化、容易实现多频段工作等优点。主要缺点是频带窄、辐射效率较低及功率容量有限。10PCMCIA卡式天线 该类型微带天线还被用来集成

8、P C M C I A 卡 、 无 线MODEM和LAN。 PCMCIA卡尺寸形同信用卡，15151 mm11天线在无线网络技术中的应用天线在无线网络技术中的应用无线路由器和无线网卡无线路由器和无线网卡台式机专用的台式机专用的PCI接口无接口无线网卡线网卡 笔记本电脑专用的笔记本电脑专用的PCMCIA接口网卡接口网卡 USB无线网卡无线网卡 12B2 隐形轰炸机隐形轰炸机 i rri反 射 定 律 的 应 用13信 息 载 体 的 应 用 14 随着现代科学技术的发展，电子、电气系统获得越来越广泛随着现代科学技术的发展，电子、电气系统获得越来越广泛的应用。运行中的电子、电气设备大的应用。运行中

9、的电子、电气设备大多伴随着电磁能量的转换，多伴随着电磁能量的转换，使得高密度、宽频谱的电磁信息充满整个人类的生存空间，构使得高密度、宽频谱的电磁信息充满整个人类的生存空间，构成极其复杂的电磁环境，出现了电磁干扰和电磁污染。使电子成极其复杂的电磁环境，出现了电磁干扰和电磁污染。使电子系统受到严峻的挑战，人类生存受到威胁。人们面临的一个新系统受到严峻的挑战，人类生存受到威胁。人们面临的一个新问题就是如何提高电子系统在复杂电磁环境下正常运行的能力，问题就是如何提高电子系统在复杂电磁环境下正常运行的能力，如何改善人类生存环境。如何改善人类生存环境。 在这样的背景下提出了电磁兼容的概念，逐渐形成了一门新

10、在这样的背景下提出了电磁兼容的概念，逐渐形成了一门新学科学科电磁兼容性（电磁兼容性（Electromagnetic Compatibility,Electromagnetic Compatibility,简简写为写为EMCEMC）。电子系统的电磁兼容性的分析、计算、试验都）。电子系统的电磁兼容性的分析、计算、试验都要用到大量的电磁场理论知识，应用到电路的基础知识，甚至要用到大量的电磁场理论知识，应用到电路的基础知识，甚至生物医学知识。可以说，电磁兼容学科是电磁场学科和其他相生物医学知识。可以说，电磁兼容学科是电磁场学科和其他相关学科相结合而形成的新学科。关学科相结合而形成的新学科。 电磁场理论

11、的工程应用电磁兼容电磁兼容 15 生物电磁学也是与电磁场相关联的一门新学科，它研究电生物电磁学也是与电磁场相关联的一门新学科，它研究电磁场与生物系统的相互作用、相互影响的关系，电磁场与电磁场与生物系统的相互作用、相互影响的关系，电磁场与电磁波无疑是其讨论的理论依据。磁波无疑是其讨论的理论依据。 生物电磁学是生物医学工程的一个分支。生物电磁学是生物医学工程的一个分支。电磁场理论的工程应用生物电磁学生物电磁学16六、教学内容六、教学内容矢量分析矢量分析电磁场的基本规律电磁场的基本规律-MAXWELL方程方程静态电磁场分析静态电磁场分析边值问题的解边值问题的解时变电磁场时变电磁场均匀平面波在无界空间

12、中的传播均匀平面波在无界空间中的传播均匀平面波的反射与透射均匀平面波的反射与透射导行电磁波导行电磁波-微波技术微波技术电磁辐射电磁辐射-天线原理天线原理理 论 基 础工程应用专业工具17参考书参考书1819本章内容本章内容1.1 矢量代数矢量代数1.2 常用正交曲线坐标系常用正交曲线坐标系1.3 标量场的梯度标量场的梯度1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度1.5 矢量场的环流和旋度矢量场的环流和旋度1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场1.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理20 在电磁理论中，要研究某些物理量（如电位、电场强度、在电磁理论中，

13、要研究某些物理量（如电位、电场强度、磁场强度等）在空间的分布和变化规律，为此引入了场的磁场强度等）在空间的分布和变化规律，为此引入了场的概念。概念。 一个确定区域中的场被定义为：物理系统中某物理量在一个确定区域中的场被定义为：物理系统中某物理量在该区域的一种分布。如果被描述的物理量是标量，则定义该区域的一种分布。如果被描述的物理量是标量，则定义的场被称为标量场；如果被描述的物理量是矢量，则定义的场被称为标量场；如果被描述的物理量是矢量，则定义的场被称为矢量场。比如，某一区域中各点的温度分布是的场被称为矢量场。比如，某一区域中各点的温度分布是一个标量场，密度分布是一个标量场；而某一区域中各点一个

14、标量场，密度分布是一个标量场；而某一区域中各点流体的流速构成一个矢量场，各点流体的压力分布也构成流体的流速构成一个矢量场，各点流体的压力分布也构成一个矢量场。一个矢量场。场的概念和表示法场的概念和表示法21物理系统的状态可用某个或某些物理量在确定区域中的物理系统的状态可用某个或某些物理量在确定区域中的分布来描述，因此，物理系统的状态可用某个或某些场来分布来描述，因此，物理系统的状态可用某个或某些场来描述。描述。场的一个重要属性是它占有一个空间。研究一个场，首场的一个重要属性是它占有一个空间。研究一个场，首先要明确此场的分布空间，再看场代表一个什么样的物理先要明确此场的分布空间，再看场代表一个什

15、么样的物理量，在此空间中怎样分布。量，在此空间中怎样分布。对于给定的场，任何时刻在所研究空间中的每一点它有对于给定的场，任何时刻在所研究空间中的每一点它有一个定值，这个值叫该点的场量。因此，一个场可用一个一个定值，这个值叫该点的场量。因此，一个场可用一个定义在相同区域中的一个函数来描述。一个标量场可用一定义在相同区域中的一个函数来描述。一个标量场可用一个标量函数来描述；一个矢量场可用一个矢量函数来描述。个标量函数来描述；一个矢量场可用一个矢量函数来描述。描述场的函数被称为场函数。描述场的函数被称为场函数。场的概念和表示法场的概念和表示法22标量场在空间的变化规律由其梯度来描述，而矢量场在标量场

16、在空间的变化规律由其梯度来描述，而矢量场在空间的变化规律则通过场的散度和旋度来描述。空间的变化规律则通过场的散度和旋度来描述。场不仅具有空间属性，还具有时间属性。描述物理系统场不仅具有空间属性，还具有时间属性。描述物理系统状态的物理量不仅按空间分布，一般还随时间变化。因此，状态的物理量不仅按空间分布，一般还随时间变化。因此，场可能是随时间变化的。如果一个物理系统的状态只按空场可能是随时间变化的。如果一个物理系统的状态只按空间分布，不随时间变化，也就是说，物理系统的状态是静间分布，不随时间变化，也就是说，物理系统的状态是静态的，由此定义的场也是静态的，这样的场称为静态场；态的，由此定义的场也是静

17、态的，这样的场称为静态场；如果一个场的场量不仅按空间分布，还随时间变化，这样如果一个场的场量不仅按空间分布，还随时间变化，这样的场分布是动态的，这样的场称为动态场或时变场。的场分布是动态的，这样的场称为动态场或时变场。本章首先介绍标量场和矢量场的概念，然后着重讨论标本章首先介绍标量场和矢量场的概念，然后着重讨论标量场的梯度、矢量场的散度和旋度的概念及其运算规律，量场的梯度、矢量场的散度和旋度的概念及其运算规律，在此基础上介绍亥姆霍兹定律。在此基础上介绍亥姆霍兹定律。 场的概念和表示法场的概念和表示法1.1 矢量代数矢量代数231. 1. 标量和矢量标量和矢量矢量的大小或模矢量的大小或模：AA矢

18、量的单位矢量矢量的单位矢量：标量标量：一个只用大小描述的物理量。一个只用大小描述的物理量。（温度、高度、电（温度、高度、电 压、质量等）压、质量等）AAeA矢量的代数表示矢量的代数表示：AeAeAAA矢量矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。母或带箭头的字母表示。 （力，电、磁场强度）（力，电、磁场强度） 矢量的几何表示矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示一个矢量可用一条有方向的线段来表示 注意注意：矢量书写时，印刷体为场量符号加粗，如：矢量书写时，印刷体为场量符号加粗，如 D。教材。教材 上符号即为

19、印刷体。上符号即为印刷体。 A矢量的几何表示矢量的几何表示常矢量常矢量：大小和方向均不变的矢量。大小和方向均不变的矢量。 24（1）矢量的加减法）矢量的加减法 两矢量的加减在几何上表示是以这两矢两矢量的加减在几何上表示是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线量为邻边的平行四边形的对角线, ,如图所示。如图所示。2. 矢量的代数运算矢量的代数运算 矢量的加法矢量的加法BAAB矢量的减法矢量的减法BAABB矢量的加减符合交换律和结合律矢量的加减符合交换律和结合律结合律结合律交换律交换律矢量的减法：矢量的减法：-ABABABBA()()ABCABC25（2 2）标量乘矢量）标量乘矢量（3）矢量的标积（

20、点积）矢量的标积（点积）矢量的标积符合交换律矢量的标积符合交换律AB矢量矢量 与与 的夹角的夹角AB标量k与矢量A的乘积仍为一个矢量，大小为 ，方向与k的正负有关。特殊情况：特殊情况：k AcosA BAB ABBA1zzyyxxeeeeee0 xzzyyxeeeeeeA B A B 0BA/ A BAB26（4）矢量的矢积（叉积）矢量的矢积（叉积）sinABBABA矢量矢量 与与 的叉积的叉积ABBAABBA若若 ，则，则BA/0BA若若 ，则，则矢量的矢量的叉叉积不符合交换律积不符合交换律那么那么,xyzyzxzxyeee eee eee ABBAsinABeBAn27（5 5）矢量的混合

21、运算）矢量的混合运算CBCACBA)(CBCACBA)()()()(BACACBCBACBABCACBA)()()( 分配律分配律 分配律分配律 标量三重积标量三重积 矢量三重积矢量三重积1.2 1.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系28 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。确定。 在电磁场与波理论中，在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：三种常用的正交曲线坐标系为：直角直角坐坐标系、圆柱坐标系和球面坐标系标系、圆柱坐标系和球面坐标系。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为三条

22、正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系正交曲线坐标系；三条正交曲线称为；三条正交曲线称为坐标轴坐标轴；描述坐标轴的量称；描述坐标轴的量称为为坐标变量坐标变量。1、直角坐标系、直角坐标系29坐标变量坐标变量, ,x y z坐标单位矢量坐标单位矢量zyxeee,点点P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐标系直角坐标系 xezeye, ,x y z 它们分别沿它们分别沿 x, y, z 增加的方向，增加的方向，相互正交，而且遵循右手法则。它相互正交，而且遵循右手法则。它们的方向不随点位置的变化而变化，

23、们的方向不随点位置的变化而变化，这是直角坐标系的一个重要的特征这是直角坐标系的一个重要的特征。30zzyyxxeAeAeAAcoscoscosAAAAAAzyx)coscoscos(zyxeeeAAcoscoscoszyxAeeee矢量用坐标分量表示矢量用坐标分量表示zAxAAyAzxy31zzyyxxeAeAeAA对于两个矢量对于两个矢量xxyyzzBB eB eB exxyyzzA BA BA BA B A与B的点积：A与B的加减法：()()()xxxyyyzzzABeABeABeAB()()()xyzzyyzxxzzxyyxA Be A BA BeA BA Be A BA BA与B的叉积

24、：xyzxyzxyzeeeA BAAABBB写成行列式形式为32xyzre xe ye z位置矢量位置矢量微分形式微分形式drdddxyze xe ye z体积元体积元dd d dVx y z面元矢量面元矢量dd dd dxxyzxSe r re y zdd dd dzzxyzSe r re x ydd dd dyyxzySe r re x z x yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元直角坐标系的长度元、面积元、体积元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd2、圆柱坐标系、圆柱坐标系33, ,z 坐标变量坐标变量0,02 ,z 变化范围分别是：变化范围分别是：

25、圆柱坐标系与直角坐标系之间的变换圆柱坐标系与直角坐标系之间的变换关系为：关系为：22,arctan( / ),xyy x zz或或cos ,sin ,xyzz2、圆柱面坐标系、圆柱面坐标系34zeee,坐标单位矢量坐标单位矢量注意：圆柱坐标系中的坐标单位矢量注意：圆柱坐标系中的坐标单位矢量 都不是常矢量，因为它们的方都不是常矢量，因为它们的方向是随空间坐标变化的。向是随空间坐标变化的。 ee和,zzzeee eee eee ,ze e e 分别是分别是z、 和增加的方向，且增加的方向，且遵循右手螺旋法则，即遵循右手螺旋法则，即2、圆柱面坐标系、圆柱面坐标系35 oxy单位圆单位圆 直角坐标系与

26、柱坐标系之间直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系 xeyeee坐标变换坐标变换圆柱坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系cossinsincosxyxyzzeeeeeeee 或cossinsincosxyzzeeeeeeee 2、圆柱面坐标系、圆柱面坐标系36任一矢量 可以表示为：zzAe Ae Ae AAzAAA、 、分别是A在zeee、 、方向上的投影。zzAA eA eA e 对于两个矢量对于两个矢量zzBB eB eB e zzA BA BA BA B A与B的点积：A与B的加减法：()()()zzzABeABeABeAB()()()zzzzzA BeA BA B

27、e A BA Be A BA BA与B的叉积：zzzeeeA BAAABBB写成行列式形式为,2、圆柱面坐标系、圆柱面坐标系37dd dd ddd dd ddd dd dzzzzzSellezSellezSe lle zree z位置矢量位置矢量drdddzeee z 微分元微分元dd d dVz 体积元体积元面元矢量面元矢量383、球面坐标系、球面坐标系球面坐标系球面坐标系r, , 坐标变量坐标变量0,0,02r变化范围分别是：变化范围分别是：圆柱坐标系与直角坐标系之间的变换圆柱坐标系与直角坐标系之间的变换关系为：关系为：222222,arctan( / ),arccos( /)rxyzy

28、xzxyz或或sin cos ,sin sin ,cosxryrzr393、球面坐标系、球面坐标系球面坐标系球面坐标系,re e e 坐标单位矢量坐标单位矢量,rrreee eee eee 分别是分别是r、 和增加的方向，且增加的方向，且遵循右手螺旋法则，即遵循右手螺旋法则，即,re e e 它们的方向随点位置的变化而变化它们的方向随点位置的变化而变化。403、球面坐标系、球面坐标系球面坐标系球面坐标系球面坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系sincossinsincoscoscoscossinsinsincosrxyzxyzxyeeeeeeeeeee 球坐标系中的坐标单位矢量都不是常矢量，且

29、sincos0sincos,rrrreeeeeeeeeeee 3、球面坐标系、球面坐标系41任一矢量 可以表示为：rrAe Ae Ae AArAAA、 、分别是A在reee、 、方向上的投影。rrAA eA eA e对于两个矢量对于两个矢量rrBB eB eB errA BA BA BA B A与B的点积：A与B的加减法：()()()rrrABe ABeABeAB()()()rrrrrABeA BA BeA BA BeA BA BA与B的叉积：rrreeeA BAAABBB写成行列式形式为,423、球面坐标系、球面坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元位置矢量位置矢

30、量drddsin dre re re r 微分元微分元2dsin d d dVrr 体积元体积元2dd dsin d drrrSe lle r dd dsin d drzSelle rrdd dd drSelle r r面元矢量面元矢量rre r4、坐标单位矢量之间的关系、坐标单位矢量之间的关系43xeyezeeezecossin0cossin0001直角坐标直角坐标与与圆柱坐标系圆柱坐标系eezereeesin0cossincos0001圆柱坐标圆柱坐标与与球坐标系球坐标系zereeecossincossinsincos0直角坐标直角坐标与与球坐标系球坐标系xeyesinsinsincosc

31、ossinoz单位圆单位圆 柱坐标系与球坐标系之间柱坐标系与球坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系 oxy单位圆单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系 xeyeeezeeree44xyz2m5m2/3/6图1、 柱坐标系中的面积计算例1 在圆柱坐标系中，求圆柱面的部分侧面面积 ，如图1.2.7所示。 其中2m5zm26345解：在圆柱面侧面上的面积元为解：在圆柱面侧面上的面积元为 dSd dz 因此，部分侧面面积为因此，部分侧面面积为52 /320/625Sd dzm 46例2. 在球坐标系中，写出半径为a的球面上环带 的表面积表

32、达式。再进一步求出 ， 时的表面积。0图2. 球坐标系中面积计算472sinrdSrd d 解：球面上的微分面元为解：球面上的微分面元为 于是于是 2220sin2(coscos)Sad da 再将 ， 代入上式可得整个球面的面积为024Sa1.3 标量场的梯度标量场的梯度48q 如果物理量是标量，称该场为如果物理量是标量，称该场为标量场标量场。 例如：温度场、电位场、高度场等。例如：温度场、电位场、高度场等。q 如果物理量是矢量，称该场为如果物理量是矢量，称该场为矢量场矢量场。 例如：流速场、重力场、电场、磁场等。例如：流速场、重力场、电场、磁场等。q 如果场与时间无关，称为如果场与时间无关

33、，称为静态场静态场，反之为，反之为时变场时变场。时变标量场和矢量场可分别表示为：时变标量场和矢量场可分别表示为： ( , , , )u x y z t 、( , , , )F x y z t 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个该区域上定义了一个场场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：标量场和矢量场标量场和矢量场( , , )u x y z 、( , , )F x y z静态标量场和矢量场可分别表示为：静态标量场和矢量场可分别表示为：49501.1. 标量场的等值面标

34、量场的等值面标量场的等值线标量场的等值线( (面面) )等值面等值面: : 标量场取得同一数值的点在空标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。间形成的曲面。( , , )u x y zC等值面方程等值面方程：常数常数C 取一系列不同的值，就得到一系列取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。标量场的等值面互不相交。 等值面的特点等值面的特点：意义意义: : 形象直观地描述了物理量在空间形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。的分布状态。512. 方向导

35、数方向导数意义意义：方向性导数表示场沿某方向的空间变化率：方向性导数表示场沿某方向的空间变化率。M0lMl方向导数的概念方向导数的概念 的方向余弦。的方向余弦。 l式中式中： coscoscos、 等势面只是描述了场的分布情况，为了研究场中任一点的邻等势面只是描述了场的分布情况，为了研究场中任一点的邻域内沿各个方向的变化规律域内沿各个方向的变化规律 ，引入了方向导数和梯度的概念。，引入了方向导数和梯度的概念。直角坐标系可写为：直角坐标系可写为：00000coscoscos|limlim|MllMu Mu Muullluuuulxyz 概念概念： 计算公式计算公式522. 方向导数方向导数l0u

36、l u(M)沿沿 方向增加；方向增加； 0ul u(M)沿沿 方向减小；方向减小； 0ul u(M)沿沿 方向无变化。方向无变化。 ll特点特点：方向性导数既与点：方向性导数既与点M0有关，也与有关，也与 方向有关方向有关。l53例：温度场例：温度场甲甲：（每米的温度变化为）：（每米的温度变化为） （0 -30 ）/100 m=-3/10 /m乙：（每米的温度变化为）乙：（每米的温度变化为） （0 -30 ）/200 m=-3/20 /m丙：（每米的温度变化为）丙：（每米的温度变化为） （0 -30 ）/80 m=-3/8 /m同一个温度场中，其等温面沿不同方向的变化率不同：同一个温度场中，其

37、等温面沿不同方向的变化率不同： L1的方向性导数为的方向性导数为-3/10；L2的方向性导数为的方向性导数为-3/20 L3的方向性导数为的方向性导数为-3/830 20 10 0 100米米甲甲200米米80米米丙丙乙乙L1L2L3C1C2C3C0543、标量场的梯度、标量场的梯度（ ）grad u意义意义：描述标量描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向场在某点的最大变化率及其变化最大的方向概念概念： ，其中其中 取得最大值的方向取得最大值的方向max|lugrad uaelluel问题问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少

38、？直角坐标系中梯度的表达式为：直角坐标系中梯度的表达式为：xyzuuugrad ueeexayz定义：梯度是一个矢量，方向沿场量定义：梯度是一个矢量，方向沿场量u u变化率最大的方向，大变化率最大的方向，大小等于最大的变化率。小等于最大的变化率。计算公式计算公式553、标量场的梯度、标量场的梯度（ ）grad u在矢量分析中，经常用到哈密顿算符在矢量分析中，经常用到哈密顿算符“ ”，在直角坐标系中：，在直角坐标系中：xyzeeexyz 算符算符 具有矢量和微分的双重性质，故又称为矢性微分算符。具有矢量和微分的双重性质，故又称为矢性微分算符。因此，标量场因此，标量场 u的梯度可用哈密顿算符的梯度

39、可用哈密顿算符 表示为表示为: ()xyzgrad ueeeuuxyza 这表明，标量场这表明，标量场u的梯度可认为是算符的梯度可认为是算符 作用于标量函数作用于标量函数u的的一种运算。一种运算。56梯度的表达式梯度的表达式：1zuuuueeez圆柱面坐标系圆柱面坐标系 11sinruuuueeerrr球面坐标系球面坐标系xyzuuuueeexyz 直角面坐标系直角面坐标系 3、标量场的梯度、标量场的梯度（ ）grad u57标量场的梯度是矢量场，它在空间某标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大的方向，点的方向表示该点场变化最大的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间其数值

40、表示变化最大方向上场的空间变化率。变化率。标量场在某个方向上的方向导数，是标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。梯度在该方向上的投影。梯度的性质梯度的性质：梯度运算的基本公式梯度运算的基本公式：0()()()( )( )CCuCuuvuvuvuvv uf ufuu 标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 58 1、矢量线、矢量线 意义意义：形象直观地描述了矢量场的空间分形象直观地描述了矢量场的空间分 布状态。布状态。概念：概念：矢量线是形象描述矢量在空间分矢量线是形象描述矢量在空间

41、分 布的有向曲线，其上每一点的切布的有向曲线，其上每一点的切 线方向代表了该点矢量场的方向。线方向代表了该点矢量场的方向。矢量线矢量线oM Fdrrrdrddd( , , )( , , )( , , )xyzxyzF x y zF x y zF x y z矢量线微分方程矢量线微分方程：如图，在如图，在M点处矢量场方向点处矢量场方向F与矢径微分矢量与矢径微分矢量dr方向一致方向一致由此可得矢量线微分方程由此可得矢量线微分方程：592、矢量场的通量、矢量场的通量 问题问题：如何定量描述矢量场的大小？如何定量描述矢量场的大小？ 引入通量的概念。引入通量的概念。 dddnSSFSF eS通量的概念通量

42、的概念：矢量场：矢量场F与面元矢量与面元矢量dS的标的标 量积量积(FdS)称为该矢量通过面元的通量。称为该矢量通过面元的通量。整个曲面的通量为：整个曲面的通量为：ddnSeS其中：其中：面积元矢量；面积元矢量；ne面积元的法向单位矢量；面积元的法向单位矢量；dSddnF eS穿过面积元穿过面积元 的通量；的通量；),(zyxFSdne面积元矢量面积元矢量600通过闭合曲面有通过闭合曲面有净的矢量线穿出净的矢量线穿出0有净的矢有净的矢量线进入量线进入0进入与穿出闭合曲进入与穿出闭合曲面的矢量线相等面的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果 闭合曲面的

43、通量从闭合曲面的通量从宏观上宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。量与曲面内产生矢量场的源的关系。通量的物理意义通量的物理意义F613、矢量场的散度、矢量场的散度0( , , ) d( , , )limSVF x y zSF x y zV 为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系，所体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系，所以引入散度的概念。以引入散度的概念。散度定义：散度定义：矢量场矢量场F中任意点中任意点M

44、处的闭合曲面处的闭合曲面s的体积趋近于的体积趋近于0时，时， 通过该闭合曲面的通量与其体积的比值。通过该闭合曲面的通量与其体积的比值。利用极限方法得到这一关系：利用极限方法得到这一关系：称为矢量场的称为矢量场的散度散度。 散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。体积之比的极限。62柱面坐标系柱面坐标系22111()(sin)()sinsinrFr FFFrrrr()zFFFFz 球面坐标系球面坐标系yxzFFFFxyz直角坐标系直角坐标系散度的表达式散度的表达式：散度的有关公式散度的有关公式：0 ()()()()(

45、)()CCCfCfkFkF kf FfFFfFGFG 为常矢量为常量63直角坐标系下散度表达式的推导直角坐标系下散度表达式的推导 d( + x, , )d( , , )xxFSF xy zy zFSF x y zy z 前后oxy在直角坐标系中计算在直角坐标系中计算FzzxyP 在直角坐标系中，以点在直角坐标系中，以点M(x,y,z)为顶点作一个很小的直角六为顶点作一个很小的直角六面体，各边的长度分别为面体，各边的长度分别为 ，各面分别与个坐标面平，各面分别与个坐标面平行，如右图所示。矢量场行，如右图所示。矢量场 穿出该穿出该六面体的表面六面体的表面S的通量：的通量： xyz、F=d+dSFS

46、FS 前后左右上下64000,(, , ), ,xxxxyzFF xx y zFx y zxx(, , )(, , )xxxF xx y zF xx y zy zFx y zx 由此可知，穿出前、后两侧面的净由此可知，穿出前、后两侧面的净通量值为通量值为oxy在直角坐标系中计算在直角坐标系中计算FzzxyP 由泰勒定理可得由泰勒定理可得daayxzSyxzFFFFSx y zxaaay zx y zxyzFFFVxyaza 650d limySxzVFSFFFFVxyz根据定义，则得到直角坐标系中的散度根据定义，则得到直角坐标系中的散度 表达式为表达式为 同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合

47、成之，即得由点同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点P 穿出该六面体的净通量为穿出该六面体的净通量为664、散度定理、散度定理ddVSF VFS体积的剖分体积的剖分VS1S2en2en1S 从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即 散度定理是闭合曲面积散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广关系，在电磁理论中有着广泛的应用。泛的应用。0( , , ) d( ,

48、 , )limSVF x y zSF x y zV1.5 矢量场的环流和旋度矢量场的环流和旋度 671. 矢量场的环流与旋涡源矢量场的环流与旋涡源 不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。径的积分不为零。 例如：流速场。例如：流速场。68 如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电如磁场沿任意闭合曲线的积分与

49、通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即：流成正比，即：00( , , ) d( , , ) dCSB x y zlIJ x y zS上式建立了磁场的环流与电流的关系。上式建立了磁场的环流与电流的关系。 69q 如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源旋涡源, ,如电流如电流是磁场的旋涡源。是磁场的旋涡源。q 如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无无旋场旋场，又称为，又称为保守场保守场。(

50、, , ) dCF x y zl 环流的概念环流的概念 矢量场对于闭合曲线矢量场对于闭合曲线C 的环流定义为该矢量对闭合曲线的环流定义为该矢量对闭合曲线C 的线积分，即的线积分，即70 过点过点M 作一微小曲面作一微小曲面 S，它的边界曲线记为，它的边界曲线记为C，曲面的法线，曲面的法线方向方向n与曲线的绕向成右手螺旋法则。当与曲线的绕向成右手螺旋法则。当 S0时，极限时，极限01rotlimdCnSFFlS称为矢量场在点称为矢量场在点M 处沿方向处沿方向n的的环流面密度环流面密度。SCMFn特点特点：其值与点：其值与点M 处的方向处的方向n有关。有关。环流面密度环流面密度71概念概念：矢量场

51、在矢量场在M点处的旋度为一矢量，其数值为点处的旋度为一矢量，其数值为M点的环流面点的环流面 密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法 线方向，即线方向，即nMaxrotnFeF物理意义物理意义：旋涡源密度矢量。旋涡源密度矢量。nrot FnF性质性质： 矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源的矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源的宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度。量场的旋度。 2、矢量场的旋度、矢量场的旋度（ ） Fn方

52、向上的环流面密度就是旋度向n方向上的投影7212341234ddddd()()CllllyzyzyzyzFlFlFlFlFlFFFyFyzFzyFzyzFFy zy zyz 推导推导 的示意图如图所示的示意图如图所示。rotxFoyz yCMzx1234计算计算 的示意图的示意图 rotxF 直角坐标系中直角坐标系中 、 、 的表达式的表达式rotxFrotyFrotzFd()yzCFFFly zyz 于是于是 0drotlimyCzxSFlFFFSyz 故得故得73同理可得同理可得rot,xzyFFFzxrotyxzFFFxyrotrotrotrot()()()xxyyzzyyxxzzxyz

53、FeFeFeFFFFFFeeeyzzxxyF 74yyxxzzxyzxyzxyzFFFFFFFeeeyzzxxyeeexyzFFF旋度的计算公式旋度的计算公式: :1zzeeeFzFFF2sin1sinsinrrerereFrrFrFrF直角坐标系直角坐标系圆柱面坐标系圆柱面坐标系球面坐标系球面坐标系75旋度的有关公式旋度的有关公式：0()()()()()0()0CCffCfFfFfFFGFGFGGFFGFu 矢量场的旋度矢量场的旋度的散度恒为零的散度恒为零标量场的梯度标量场的梯度的旋度恒为零的旋度恒为零76任意矢量旋度的散度恒为零0 xyzxyzxyzxyzeeexyzAeeexyzxyzx

54、yzAAAAAA77梯度的旋度恒为零()0 xyzxyzxyzuuuueeexyzeeeeeeuxyzxyzuuuxyzxyz 78ddCSFlFS3、Stokes定理定理 Stokes定理是闭合曲线积定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换分与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有广关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。泛的应用。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大小方向相反大小相等结果抵消相等结果抵消 从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲

55、面的通量，即v 一个矢量场的旋度是一个矢量函数，而一个矢量场的散度是一个标量函数；v 旋度描述的是矢量场中各点的场量与涡旋源的关系，而散度描述的是矢量场中各点的场量与通量源的关系；v 如果矢量场所在的全部空间中，场的旋度处处为零，则这种场中不可能存在旋涡源，因而称之为无旋场；如果矢量场所在的全部空间中，场的散度处处为零，则这种场中不可能存在通量源，因而称之为无源场；v 在旋度公式中，矢量场的场分量Ax、Ay、Az分别只对与其垂直方向的坐标变量求偏导数，所以矢量场的旋度描述的是场分量在与其垂直的方向上的变化规律；v 在散度公式中，矢量场的场分量Ax、Ay、Az分别只对x、y、z求偏导数，所以矢量

56、场的散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律。 4、散度和旋度的区别、散度和旋度的区别 804、散度和旋度的区别、散度和旋度的区别 0,0FF0.0FF0,0FF0,0FF无源区域发散通量源漩涡源发散源漩涡源81 例例3. 设一标量函数设一标量函数 (x,y,z) = x2y2z 描述了空间标量场。描述了空间标量场。试求：试求： (1) 该函数该函数 在点在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量；单位矢量； (2) 求该函数求该函数 沿单位矢量沿单位矢量 el= ex cos60 ey cos45 ez cos60 方向的方向导数，并以点方向的

57、方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。作以比较，得出相应结论。82 解解 (1)由梯度计算公式，可求得由梯度计算公式，可求得P点的梯度为点的梯度为(1,1,1)(22)22xyzxyzxyeeeeee22()()xyzPPxyzyxze+e+e表征其方向的单位矢量表征其方向的单位矢量 222(1,1,1)22221333(2 )(2 )( 1)xyzlxyzPPexeyeeeeexy 83 (2) 由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el方向的方向方向的方向导数为导数为211(22)

58、()222122lxyzxyzeexeyeeeelxy 对于给定的对于给定的P P点，上述方向导数在该点取值为点，上述方向导数在该点取值为(1,1,1)12 21222Pxyl84而该点的梯度值为而该点的梯度值为 222(1,1,1)(2 )(2 )( 1)3Pxy 显然，梯度显然，梯度 描述了描述了P P点处标量函数点处标量函数 的最大变化率，的最大变化率，即最大的方向导数，故即最大的方向导数，故 恒成立。恒成立。PPPl 85球面S上任意点的位置矢量为 rxxyyzz试利用散度定理计算 Sdsr例例4：86解：3zzyyxxr3343343SVVr dsrdvdvrr 87作业：作业：习题

59、：习题：1.16 和和 1.181.6 无旋场与无散场无旋场与无散场881、矢量场的源、矢量场的源通量源通量源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量 等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和， 源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量 场在该点的散度；场在该点的散度； 旋涡源旋涡源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回 路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于 （或正比于）矢量场在该点的旋度。（或正比于）矢量场在该点的旋度。0E892、矢量场按源的分类、矢量场按源的分类（1）无旋场）无旋场d0CFl性质性质：，线积分与路径无关，是保守场。线积分与路径无关，是保守场。仅有通量源而无旋涡源的矢量场，仅有通量源而无旋涡源的矢量场，0F由于标量场梯度的旋度恒为零，所以由于标量场梯度的旋度恒为零，所以无旋场无旋场可以用标可以用标量场的梯度表示为，量场的梯度表示为，例如：静电场例如：静电场E Fu ()0