电路(第八章阻抗与导纳)

1、电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回第八章第八章 阻抗与导纳阻抗与导纳8-1 变换方法的概念变换方法的概念8-2 复数复数8-3 振幅相量振幅相量8-4 相量的线性性质和相量的线性性质和KCL、KVL的相量形式的相量形式8-5 三种基本电路元件三种基本电路元件VCR的相量形式的相量形式8-6 VCR相量形式的统一相量形式的统一阻抗与导纳的引入阻抗与导纳的引入8-7 相量模型的引入相量模型的引入8-8 正弦稳态混联电路的分析正弦稳态混联电路的分析8-9 相量模型的网孔分析和节点分析相量模型的网孔分析和节点分析8-10 相量模型的等效相量模型的等效8-11 有效值有效值 有效

2、值相量有效值相量8-12 两类特殊问题两类特殊问题 相量图法相量图法电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回8-1 变换方法的概念变换方法的概念 所有变换方法的基本思路和步骤是：所有变换方法的基本思路和步骤是： （1）把原来的问题变换为一个较易处理的问题。）把原来的问题变换为一个较易处理的问题。原来的问题原来的问题直直接接求求解解原来问题的解答原来问题的解答变换变换变换域中较变换域中较易的问题易的问题变换域中问题变换域中问题的解答的解答求解求解反变换反变换 （2）在变换域中求解。）在变换域中求解。 （3）把变换域中求得的解答反变换为原来问题）把变换域中求得的解答反变换为原来问

3、题的解答。的解答。电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回 求解方程求解方程535. 2 x直接求解是相当困难的。直接求解是相当困难的。535. 2x变换变换 取对数取对数5lglg35. 2x求解求解35. 25lglgx查对数表查对数表反变换反变换983. 12974. 0lg1x查反对查反对数表数表2974. 0电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回8-2 复数复数)sin(1m11 tIi)sin(2m22 tIi21iii)sin()sin(2211 tItImm)sin( tImIm=? =? 计算很复杂计算很复杂电路分析基础电路分析基础上一页

4、上一页下一页下一页返返 回回 一、复数及其表示一、复数及其表示 设设A为复数，为复数，则则：A = a + jb称为称为虚数单位。虚数单位。1j cosAa sinAb 22baA ab tanaAb0+1+j A称为复数的模称为复数的模幅角幅角实部实部虚部虚部电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回 jeAA sinjcosAAA （指数式指数式）（三角式三角式）（极坐标式极坐标式）A = a + jb（代数式代数式） AA sincosejj欧拉公式：欧拉公式：电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回 二、复数运算（二、复数运算（熟记公式熟记公式）111

5、jbaA 222jbaA 212121jbbaaAA 222 AA 111 AA 212121 AAAA212121 AAAA?2A?A电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回8-3 振幅相量振幅相量)cos()( tUtum振幅振幅角频率角频率初相位初相位 f =1/ T=2 /T=2 f同频率正弦量的相位之差或是初相同频率正弦量的相位之差或是初相之差，称为相位差，用之差，称为相位差，用 表示表示。)cos()(imtIti )cos()(umtUtu )()(uitt ui 电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回称称i u 角。角。0 ui 称称i u

6、 角。角。0 ui 0 0 u ui i 称称i与与u同相位，简称同相位，简称。其特点是：其特点是：两个正弦量同时到达最大值，也同时到达零两个正弦量同时到达最大值，也同时到达零值。值。其特点是：其特点是：当一正弦量的值达到最大时，另一正弦量的当一正弦量的值达到最大时，另一正弦量的值刚好是零。值刚好是零。0 09090 u ui i 称称i与与u。o180 ui 称称i与与u。其特点是：其特点是：当一正弦量到达正的最大时，另一正弦量当一正弦量到达正的最大时，另一正弦量正好为负的最大。正好为负的最大。 电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回 一个复数由一个复数由模和幅角模和幅角

7、两个特征量确定。两个特征量确定。 一个正弦量有一个正弦量有幅值幅值、频率频率和和初相位初相位三个要素。三个要素。 在正弦稳态电路中，各个电压和电流都是与电源在正弦稳态电路中，各个电压和电流都是与电源同频率同频率的正弦量，因此，在计算时可的正弦量，因此，在计算时可不必考虑频率。不必考虑频率。 已知频率的情况下，计算过程中一个正弦量可用已知频率的情况下，计算过程中一个正弦量可用和和两个特征量来确定。两个特征量来确定。 sincosejj欧欧拉拉公公式式：)sin()cos(e)( tjttj复复指指数数函函数数：Ree)cos()( tjt的的实实部部。称称为为取取复复数数)()(eRee tjt

8、j电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回Ime)sin()( tjt的的虚虚部部。称称为为取取复复数数)()(eIme tjtj)cos()( tItimeeRetjjmI eRetjmI 称为最大值相量。称为最大值相量。 mmII 振幅值相量的振幅值相量的模值等于正弦量的振幅值模值等于正弦量的振幅值，幅角等幅角等于正弦量的初相位。于正弦量的初相位。eRe)( tjmI)sin()cos(e)( tjItIImmtjm电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回 相量是一个复数，但它是代表一个正弦波的，为相量是一个复数，但它是代表一个正弦波的，为了与一般复数的

9、区别，在这相量的字母上方了与一般复数的区别，在这相量的字母上方加一点。加一点。AIm4510Atti)45cos(10)( VUm30100Vttu)30cos(100)( mmII )cos()( tItim 注意注意 正弦量与相量是对应关系，而不是相正弦量与相量是对应关系，而不是相等关系。等关系。mIti)(电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回8-11 有效值有效值 有效值相量有效值相量 周期性周期性交流电流交流电流i通过电阻通过电阻R在一个周期在一个周期T内产生的内产生的热量等于一热量等于一直流电流直流电流I通过同一电阻通过同一电阻R、在相等的时间、在相等的时间T内

10、产生的热量，则直流电流内产生的热量，则直流电流I称为称为交流电流交流电流i的有效值。的有效值。Ri Tpdt0=RdtiT 02 T02dtiR=RIPT=RTI2dtiRRTIT2 02TdtiTI021也称方均根值。也称方均根值。电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回)cos()( tItimTmttITI022d)(cos1 21cos2cos TmttIT02d1)(2cos21 TTmtttIT002dd)(2cos21 mmIII707. 02mmUUU707. 02电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回 mmII I2I2称为称为有效值相量

11、。有效值相量。 II 有效值相量的有效值相量的模值等于正弦量的有效值，模值等于正弦量的有效值，幅角等幅角等于正弦量的初相位。于正弦量的初相位。A45100 IV60100 UAtti)45cos(210)( Vttu)60cos(210)( 电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回 相量和复数一样，可以在复平面上用有向线段来相量和复数一样，可以在复平面上用有向线段来表示，称为表示，称为相量图相量图。1j0Ati)30cos(2200 UI030060Vtu)60cos(2100 A30200 I+1V60100 U 只有同频率的正弦量才能画在同只有同频率的正弦量才能画在同一相

12、量图上。一相量图上。 注意注意电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回A，tti)60314cos(5)(281例例,)60314sin(10)(2Atti。Atti)60314cos(4)(3A，tti)60314cos(5)(1解解AIm)6051)90cos(sin )9060314cos(10)(2tti)1809060314cos(10t)150314cos(10tAIm150102AIm12043试写出代表这三个电流的各振幅相量，并画相量图。试写出代表这三个电流的各振幅相量，并画相量图。电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回 （1）将正弦转换成

13、余弦：）将正弦转换成余弦：)90cos(sin （2）将表达式前的负号转换成角度：）将表达式前的负号转换成角度：)180cos(cos （3）若角度值大于）若角度值大于180，则：，则：360 ,3050381VUm已已知知振振幅幅值值相相量量例例VUm1501002频率频率f= =50Hz，试写出它们所代表的正弦电压。，试写出它们所代表的正弦电压。 解：解：=2f=250=100 rad/sVttu)30100cos(50)(1 Vttu)150100cos(100)(2 电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回8-4 相量的线性性质和基尔霍相量的线性性质和基尔霍夫定律的相

14、量形式夫定律的相量形式，11)(Atf为为两两个个实实数数，和和设设21 若若f1(t)和和f2(t)为同频率的正弦量，且为同频率的正弦量，且，1111)(Atf )()(2211tftf 2211AA 称为称为相量的线性性质。相量的线性性质。22)(Atf2222)(Atf 电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回i？0)eRe(tjmI tjmI e)Re(0mI0)2(IIm0I0mU0U电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回 例例8-5 下图所示为电路中的一个节点，已知：下图所示为电路中的一个节点，已知： i1 i2 i3Ati)60cos(101

15、 Ati sin52求求i3。 解：解：AIm60101Ati)90cos(52 AIm9052355j5jmmmIII2135)355(jj66. 35jA2 .362 . 6Ati)2 .36cos(2 . 63 AIm052电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回 例例8-6 已知：已知：Vtuab)60cos(10 Vtubc)120sin(8 求求uac。 解：解：VUabm12010)30cos(8)90120cos(8ttubc VUbcm308355j434jbcmabmacmUUU)434()355(jj66. 493. 1jV5 .6704. 5Atuac

16、)5 .67cos(04. 5 电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回8-5 三种基本电路元件三种基本电路元件VCR的相量形式的相量形式 一、电阻元件一、电阻元件uiR)cos(imtIi Riu )cos(imtRI )cos(umtU mmRIU u=i ，则则 u、i同相。同相。 2immII ummUU imRI mIR IIRUUmmRIUiu RIU 电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回 二、电容元件二、电容元件iC u)cos(umtUu tuCidd)cos(ddumtUtC )sin(umtCU )90cos(umtCU )90cos

17、(umtCU mmCUI i-u=90，则则 i 超前超前 u 90。 当当C和和Um值一定时，值一定时，越高，则越高，则Im越大，也就是越大，也就是说电流越容易通过；说电流越容易通过；越低则越低则Im越小，电流越难通过。越小，电流越难通过。 直流稳态直流稳态（=0）时，）时，Im=0，则电容，则电容相当于开路。相当于开路。)cos(imtI 电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回ummUU immII )90(umCU 90umCU mUCj mmCUI 90ui mmICjU 1ICjU 1U I电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回 例例8-8 流

18、过流过0.5F电容的电流为电容的电流为Ati)30100cos(2试求电容的电压试求电容的电压u(t)，并绘相量图。，并绘相量图。AI 301：解解ICjU 1305 . 01001jV12002. 0Vttu)120100cos(202. 0)(电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回 三、电感元件三、电感元件 +u iL)cos(imtIi tiLudd)cos(ddimtItL )sin(imtLI )90cos(imtLI )90cos(imtLI mmLIUu-i=90，则则 u 超前超前 i 90。 当当L和和Im值一定时，值一定时，越高，则越高，则Um越大；越大

19、；越低则越低则Um越小。越小。 直流稳态直流稳态（=0）时，）时，Um=0，则电感，则电感相当于短路。相当于短路。)cos(umtU 电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回immII ummUU )90(imLI 90imLI mILj mmLIU90iu mmILjUILjUI U电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回 例例8-9 4H电感两端电压为电感两端电压为Vttu)50100cos(8)(求流过电感的电流求流过电感的电流i(t)。VUm508：解解mmULjI 150841001jA14002. 0Atti)140100cos(02. 0)(电

20、路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回 例例8-10 电路如图所示，已知电路如图所示，已知 iLL+- -u(t)iiRiCRCVttu)901000cos(120)(R=15、L=30mH、C=83.3F，求，求i(t)。VUm90120：解解AjRUImRm81590120mCmUCjI 90120103 .8310006j18010A10AjLjUImLm410301000901203 电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回LmCmRmmIIII4108 j86jA12710Atti)1271000cos(10)(电路分析基础电路分析基础上一页上一页

21、下一页下一页返返 回回8-6 VCR相量形式的统一相量形式的统一阻抗和导纳的引入阻抗和导纳的引入IRURICjUC 1ILjUL 无源二端网络（无源二端网络（元件）元件）在正弦稳态时电压相量与在正弦稳态时电压相量与电流相量之比称为该元件的电流相量之比称为该元件的复阻抗复阻抗Z，即，即IUZIZU称为称为欧姆定律欧姆定律的相量形式。的相量形式。RZRCjCjZC 11LjZL 电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回 ZZ称称为为阻阻抗抗角角；称称为为阻阻抗抗， zZ uUU IZiIZ )(iIZ IZU)(iuIZU IZU iu iu电路分析基础电路分析基础上一页上一页下

22、一页下一页返返 回回jXRZ 复阻抗的实部称为复阻抗的实部称为电阻电阻R。 复阻抗的虚部称为复阻抗的虚部称为电抗电抗X，即即ImZX CZXCC 1Im称为电容的电抗，简称容抗。称为电容的电抗，简称容抗。LZXLL Im称为电感的电抗，简称感抗。称为电感的电抗，简称感抗。电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回 复阻抗的倒数称为复阻抗的倒数称为复导纳复导纳Y，即即ZY1UIUYIGRYR1CjYC LjLjYL 11ImYB 称为称为电纳。电纳。CYBCC Im称为称为容纳。容纳。LYBLL 1Im称为称为感纳。感纳。电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回

23、8-7 正弦稳态电路与电阻电路分析方法正弦稳态电路与电阻电路分析方法 的类比的类比 相量模型的引入相量模型的引入Riu IZUGui UYI0i0I0u0U 将将电压和电流换用电压相量和电流相量；电压和电流换用电压相量和电流相量； 电阻换用复阻抗；电阻换用复阻抗； 电导换用复导纳；电导换用复导纳； 正弦稳态电路的计算可以仿照直流电阻电路的处正弦稳态电路的计算可以仿照直流电阻电路的处理方法来进行。理方法来进行。电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回 即利用即利用计算电阻电路的方法计算电阻电路的方法来计算正弦稳态电路，来计算正弦稳态电路，而不用列微分方程和求解微分方程。而不用列

24、微分方程和求解微分方程。 电路中的电路中的电压源和电流源用相量表示电压源和电流源用相量表示，电路元件电路元件则用复阻抗或复导纳表示，则用复阻抗或复导纳表示，则称为则称为相量模型。相量模型。 相量模型和原正弦稳态电路相量模型和原正弦稳态电路具有相同的结构；具有相同的结构； 模型中的电压、电流都是代表原电路图中各正弦模型中的电压、电流都是代表原电路图中各正弦电压、电流的相量，其参考方向仍与原电路相同，即电压、电流的相量，其参考方向仍与原电路相同，即电压、电流换用相量表示。电压、电流换用相量表示。电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回正弦稳态电路正弦稳态电路正弦稳态解正弦稳态解列

25、微分方程列微分方程变换变换相量模型相量模型相量解相量解求解求解反变换反变换列复数方程列复数方程求解特解求解特解电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回iRR电电阻阻串串联联：iZZ阻阻抗抗串串联联：iGG电电阻阻并并联联：iYY导导纳纳并并联联：iiijXRZiiXjRZ222)()(iiXRZiZZiiBjGYiYY电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回 例例8-11 RLC串联电路如图所示，已知电源电压串联电路如图所示，已知电源电压 uLL+- -us(t)i+uR - + uC -RC+- -Vttus)2cos(10)(R=2、L=2H、C=0.2

26、5F。试求稳态电流。试求稳态电流i(t)以及各元以及各元件的电压。件的电压。 解解 （1）写出已知正弦）写出已知正弦量的相量，并画出相量模型。量的相量，并画出相量模型。VUsm010CjZC 125. 021j2jLjZL 22 j4j +- -+ - + -+- -smURUCULUIRZCZL电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回 （2）Z=R+ZC+ZL=2- -j2+j4=2+j24522AZUIsmm4525 . 24522010VIRUmRm45254525 . 22VjIZUmCCm135254525 . 22VjIZUmLLm452104525 . 24 （

27、3）写出各相量所对应的正弦量）写出各相量所对应的正弦量Ati)452cos(25 . 2VtuR)452cos(25VtuC)1352cos(25VtuL)452cos(210电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回 例例8-12 GCL电路如图所示，已知电路如图所示，已知G=1S、L=2H、C=0.5F， L+- -is(t)uGCAttis)2cos(3)(求求u(t)。 解解 （1）画相量模型。）画相量模型。AIsm03CjYC 5 . 02 jSj1LjYL 1221jSj41 +- -1Sj1SSj41sIU电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回

28、 （2）Y=G+YC+YLS9 .3625. 1=1+j1+(- -j0.25)=1+j0.75VYIUmm9 .364 . 29 .3625. 103 （3）写出相对应的正弦量）写出相对应的正弦量Vttu)9 .362cos(4 . 2)(电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回8-8 正弦稳态混联电路的分析正弦稳态混联电路的分析 作出正弦稳态混联电路的相量模型后，就可仿照作出正弦稳态混联电路的相量模型后，就可仿照电阻混联电路的处理方法来求输入阻抗或输入导纳、电阻混联电路的处理方法来求输入阻抗或输入导纳、各支路电流相量以及电压相量等。各支路电流相量以及电压相量等。 （1）同

29、一元件的阻抗与导纳互为倒数；）同一元件的阻抗与导纳互为倒数； 同一对端钮间的阻抗与导纳互为倒数。同一对端钮间的阻抗与导纳互为倒数。ZYYZ11， （2）要记住基本元件的阻抗和导纳。）要记住基本元件的阻抗和导纳。 （3 3）串联部分：）串联部分：iZZ 并联部分：并联部分：iYY电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回 例例8-13 电路如图所示，电路如图所示，R1=1.5k，R2=1k，L=1/3H，C=1/6F， iLL+- -us(t)iiCR1CR2Vttus)3000cos(40)(求求i(t)、iC(t)、iL(t)。 解解 画相量模型。画相量模型。 ZL+- -R

30、1ZCR2sUILICIVUsm040LjZL 313000 j 1000jCjZC 16106130001j2000j电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回 ZL+- -R1ZCR2sUILICI)(k21(2jZRZCCCLZZZ/CLCLZZZZ)21(1)21(1jjjj1112jj)(k5 . 15 . 0(j分子分母都乘分子分母都乘以以(1+j1)/1ZRZ)5 . 15 . 0(5 . 1j5 . 12j)(k9 .365 . 2ZUIsmm9 .365 . 2040)(9 .3616A)(9 .363000cos(16)(Atti电路分析基础电路分析基础上一

31、页上一页下一页下一页返返 回回 ZL+- -R1ZCR2sUILICImCLLCmIZZZI9 .3616)21(11jjj9 .3616111jj4521 .5316)(1 .9828A)(1 .983000cos(28)(AttiC电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回 ZL+- -R1ZCR2sUILICIIRRRI1221mCLCLmIZZZI9 .3616)21(121jjj9 .3616115 .635j4524 .100516)(6 .54108A)(6 .543000cos(108)(AttiL电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回8-9

32、 相量模型的网孔分析和节点分析相量模型的网孔分析和节点分析 例例8-15 电路如图所示，其中电路如图所示，其中r=2，R=3，L=4mH，C=500F。求。求i1(t)和和i2(t)。已知。已知 iLL+- -us(t)i1i2RC+ ri1 - -Vttus)10cos(10)(3 解：解：画出相量模型画出相量模型 ZL+- -RZCsU1ILI2I+ - -1IrVUsm010LjZL 3310410 j4jCjZC 12j电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回 ZL+- -RZCsU1ILI2I+ - -1Ir2222212111212111ssUIRIRUIRIR。

33、且且都都为为顺顺时时针针方方向向和和选选网网孔孔电电流流分分别别为为mmII214311jZRZL24222jjjZZZLC42112jZZZLVUUsms01011mmsIrIrU1122mmmmmIIjIjIjIj121212240104)43(04840104)43(21121mmmmmIjIjIIjIj010)47(1mIj电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回AjIm7 .2924. 1470101mmmmmIIjIjIjIj121212240104)43(2)42(12jIjImm470102)42(jjjA3 .5677. 2Ati)7 .2910cos(24

34、. 131Ati)3 .5610cos(77. 232电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回8-10 相量模型的等效相量模型的等效 对于对于无源二端网络无源二端网络IZUjXRZjZZImRe R=ReZ称为输入阻抗的电阻分量，它通常是网称为输入阻抗的电阻分量，它通常是网络中各元件参数和频率的函数；络中各元件参数和频率的函数； X=ImZ称为输入阻抗的电抗分量，它通常是网称为输入阻抗的电抗分量，它通常是网络中各元件参数和频率的函数。络中各元件参数和频率的函数。 任何一个无源二端网络都可等效为一电阻和一个任何一个无源二端网络都可等效为一电阻和一个电抗的串联。电抗的串联。电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回UYIjBGYjYYImRe一个无源二端网络也可等效为一个电导和电纳的并联。一个无源二端网络也可等效为一个电导和电纳的并联。 设设Z=R+jX，则，则ZY1jXR 1)(jXRjXRjXR2222XRXjXRRjBG 即相应的并联相量模型的电导和电纳分别为即相应的并联相量模型的电导和电纳分别为22XRRG22XRXB电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页