《微积分基本定理》选修2-2

1、 ,1,.,211033dxxdxxxxf例如分对于有些定积却比较麻烦的值计算但直接用定积分的定义非常简单虽然被积函数现从前面的学习中可以发.dxx121定义计算定义计算请你尝试利用定积分请你尝试利用定积分几几乎乎不不可可能能.?,?,.和定积分的联系和定积分的联系我们先来探究一下导数我们先来探究一下导数呢呢利用这种联系求定积分利用这种联系求定积分我们能否我们能否内在的联系呢内在的联系呢这两个概念之间有没有这两个概念之间有没有导数和定积分导数和定积分的概念的概念中两个最基本和最重要中两个最基本和最重要学学我们已经学习了微积分我们已经学习了微积分另外另外方法求定积分呢方法求定积分呢加简便、有效的

2、加简便、有效的有没有更有没有更那么那么直接用定义计算直接用定义计算 ?Stvts,Sb, atstvt,.tss, 16.1吗吗表示表示、你能分别用你能分别用内的位移为内的位移为设这个物体在时间段设这个物体在时间段的速度的速度时刻时刻它在任意它在任意由导数的概念可知由导数的概念可知运动规律是运动规律是物体的物体的一个作变速直线运动的一个作变速直线运动的如图如图探究探究 0ta1t1itit1nt ntb BA1h1hihihnhnSiS1S tss StSo16.1图图 .Stv,来求位移由我们还可以利用定积分另一方面 .asbsS,atbttssS,即处的函数值之差处与在是函数物体的位移显然

3、.nabttt,t ,t,t ,t,t ,t,t ,t:nb, abttttta1iin1ni1i2110ni1i10 每个小区间的长度均为个小区间等分成将区间用分点 .tsnabttsttvhS,tv,tv,t ,t,t1i1i1iii1ii1i物体所作的位移作匀速运动体近似地以速度可以认为物的变化很小上在很小时当PDCots1its itsiSiht1itit tss 26.1图图 . ttstDPCtanhS,tsPD,PPD,Pttss,26.11iii1i1i于是的斜率等于切线导数的几何意义知由点处的切线是点为对应的上与设曲线图从几何意义上看n1iin1iihSS, 16.1可得物体

4、总位移结合图. ttsttv1in1in1i1i,b, a,t,n,的分划就越细区间越小即越大显然1in1in1in1in1i1itvnablimS.SttsttV由定积分的定义有的近似程度就越好与1in1intsnablim .dttsdttvbaba .asbsdttsdttvSbaba有结合 .asbsb, atstv,tss,分就是物体的位移分就是物体的位移上的定积上的定积在区间在区间那么那么律是律是物体的运动规物体的运动规如果作变速直线运动的如果作变速直线运动的上式表明上式表明 .aFbF|xFdxxf,|xFaFbF,bababa即即记记成成我我们们常常常常把把为为了了方方便便 .

5、xF,.xFxfxFdxxf,ba法法则则从从反反方方向向求求出出算算导导公公式式和和导导数数的的四四则则运运运运用用基基本本初初等等函函数数的的求求我我们们可可以以通通常常的的函函数数是是找找到到满满足足的的关关键键计计算算定定积积分分微微积积分分基基本本定定理理表表明明 又叫做又叫做这个结论叫做这个结论叫做那么那么并且并且上的连续函数上的连续函数是区间是区间如果如果一般地一般地),calculusoftheoremlfundamenta(.aFbFdxxf,xfxF,b, axf,ba微积微积分分基基本本定定理理LeibnizNewton(莱莱布布尼尼兹兹公公式式牛牛顿顿).Formula

6、( )basv t dt( )( )ss bs a( )( )( )bav t dts bs a另一方面，这段位移还可以通过位移函数s=s(t) 在a,b上的增量s(b) s(a) 来表达，即则有则有：一汽车沿直线作变速运动的规律是s=s(t) 在t时刻时物体的速度为v(t) v(t)0,则汽车在时间间隔a, b内经过的位移可用速度表示为()()stvt( )( )( )( )babas t dSv t dtts bs a【微积分基本定理微积分基本定理】( )( )( )( )babas t dSv t dtts bs a一般地，如果函数f(x)在区间上连续，并且F (x)=f(x)，那么(

7、)( )( )baf x dxF bF a这个结论叫这个结论叫微积分基本定理微积分基本定理又叫做又叫做牛顿牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式。( )( )|( )( )bbaaf x dxF xF bF a( ) |baF x( )( )FbFa为了方便起见，还常用 表示定理定理 （微积分基本定理）（微积分基本定理）记记:( )( )( )|baF bF aF x则:( )( )|( )( )bbaaf x dxF xF bF a注意注意:3. 牛顿莱布尼茨公式沟通了导数与积分之间的关系牛顿莱布尼茨公式沟通了导数与积分之间的关系基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式1.2.()3.4.5.ln

8、6.7.8.nRa nn-1nn-1 xxxxxxxx a a 若f(x)=c，则f(x)=0若f(x)=c，则f(x)=0若f(x)=x ，则f(x)=nx若f(x)=x ，则f(x)=nx若f(x)=sinx，则f(x)=cosx若f(x)=sinx，则f(x)=cosx若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx若f(x)=a ，则f(x)=a若f(x)=a ，则f(x)=a若f(x)=e ，则f(x)=e若f(x)=e ，则f(x)=e1 1若f(x)=log x，则f(x)=若f(x)=log x，则f(x)=xlnaxlna1 1若f(x

9、)=lnx，则f(x)=若f(x)=lnx，则f(x)=x x11(1) (1)1bbnnaax dxxnn (3) bbxxaae dxe 1(4) lnbbxxaaa dxaa 12) ln( ,0)bbaadxxa bx (5) sincosbbaaxdxx (6) cossinbbaaxdxx 12 ) ln() ( ,0)bbaadxxa bx 常用积分公式常用积分公式1(2) lnbbaadxxx 例例1 1 计算下列定积分计算下列定积分 dxx10dxx102dxx1031、2、3、nxn n + + 1 1b bb ba aa ax x公公 式式 2 2 : : d d x x

10、 = =| |n n + + 1 1公式：公式：解：解：1、xx221）（21021121|212210210）（xdxx解：解：2、2331xx）（31031131|3133103102）（ xdxx解：解：3、3441xx）（41041141|4144104103）（xdxx【例题讲解例题讲解】例例2 2 计算下列定积分计算下列定积分 b bb ba aa a1 1公公式式1 1: : d dx x = = l ln nx x| |x x公式：公式：解解1、21xx ）（2112|11211212）（）（）（xdxx解解2、1lnx x）（2ln1ln2ln|ln21211）（xdxx解解3、dxxdxdxx21212121)21 (dxx212dxx2111、2、3、dxx21)21 (2121| )(ln2|xxdxxdx21211212ln211ln2ln212）（）（例例1 1 求求 解解.112dxx dxx 12112ln()|x . 2ln2ln1ln .cossin,sin.sin,sin:2000 xdxxdxxxdxx计算下列定积分例00|co