第四章 第1节 不定积分的概念与性质

1、2在微分学中在微分学中,)(1 xx.11)(arctan2xx反过来反过来,11)(x Cx )1ln(.5sec)(2x Cx 5tan51复杂，怎样求？复杂，怎样求？问题：如果右端函数较问题：如果右端函数较?tan2x ）（如如3例例,cos)(sinxx xsin是是xcos的的原原函函数数.),0(1lnxxxxln是是x1在区间在区间), 0(内的原函数内的原函数. 如果在区间如果在区间I内，内，定义：定义：可可导导函函数数)(xF的的即即Ix ，都都有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()( ，那那么么函函数数)(xF就就称称为为)(xf导函数为导函数为)(xf，或或dxx

2、f)(在在区区间间I内内原原函函数数. .一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念4原函数存在定理：原函数存在定理：简言之简言之 连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数. 问题：问题：(1) 原函数如果存在原函数如果存在, 哪有多少？哪有多少？例例,cos)(sinxx .cos)(sinxCx （ 为任意常数）为任意常数）C(2) 如何表示或它们之间的关系如何？如何表示或它们之间的关系如何？5关于原函数的说明：关于原函数的说明：（1）若）若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，)()(xfxF CCxF )(都都是是)(xf的的原原函函数数.（2）若）若 和和 都是都是 的原函

3、数，的原函数，)(xF)(xG)(xf则则CxGxF )()(（ 为任意常数）为任意常数）C证证 )()()()(xGxFxGxF 因为因为0)()( xfxfCxGxF )()(所以所以（ 为任意常数）为任意常数）C.)()(CxGxF 即即.)(穷多个穷多个的原函数存在，则有无的原函数存在，则有无如果如果xf结论1结论1.)()()()(的的全全体体原原函函数数为为的的一一个个原原函函数数，则则是是若若xfCxFxfxF结结论论2 26任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数不定积分的定义：不定积分的定义：在在区区间间I内内，CxFdxxf )()(被积表达式被积表达式积分变量积分变量

4、函数函数)(xf的的带有任意带有任意 常数项的原函数常数项的原函数称称为为)(xf在在区区间间I内内的的不定积分不定积分，记为，记为 dxxf)(. .)(作作求求不不定定积积分分的的全全体体原原函函数数的的过过程程称称求求xf7例例1 1 求求.5dxx 解解,)6(56xx因因.665Cxdxx所以所以解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx8例例3 3 设曲线通过点设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程求此曲线方程.解解设曲线方程为设曲线方程为)

5、,(xfy 根据题意知根据题意知,2xdxdy即即)(xf是是x2的一个原函数的一个原函数.,22Cxxdx,)(2Cxxf 由曲线通过点由曲线通过点(1,2), 1 C所求曲线方程为所求曲线方程为. 12 xy9函函数数)(xf的的原原函函数数的的图图形形称称为为)(xf的的积积分分曲曲线线.显然，求不定积分得到一积分曲线族显然，求不定积分得到一积分曲线族.由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知),()(xfdxxfdxd,)()(dxxfdxxfd ,)()( CxFdxxF.)()( CxFxdF结论结论 微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是的的.10实例实例

6、xx 11.11Cxdxx 启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式因此可以根据求导公式得出积分公式.)1( 二、二、 基本积分基本积分表11基基本本积积分分表表 kCkxkdx()1(是常数是常数););1(1) 2(1 Cxdxx;|ln) 3(Cxxdx说明说明 , 0 x,lnCxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln Cxxdx12 dxx211) 4(;arctanCx dxx211) 5 (;arcsinCx x

7、dxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos) 8 ( xdx2sec;tanCx xdx2sin) 9 ( xdx2csc;cotCx 13 xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax14例例4 4 求积分求积分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx 根据积分公式（根据积分公式（2）Cxdxx 11 15例5例5dxxx 31 dxx34Cx 134134.331Cx 例6例6 dxx5.5ln5Cx 16 dxxgxf)()(

8、)1(;)()( dxxgdxxf证证 dxxgdxxf)()( dxxgdxxf)()().()(xgxf （此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、三、 不定积分的性质不定积分的性质故等式成立故等式成立.17 dxxkf)()2(.)( dxxfk（k是是常常数数，)0 k例例7 7 求积分求积分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 18例例8 8 求积分求积分解解.)1 (122dxxxxx dxxxxx )1 (122dxxxxx )1 ()1 (22dx

9、xx 1112dxxdxx 1112.|lnarctanCxx19例例9 9 求积分求积分解解.)1 (21222dxxxx dxxxx )1 (21222dxxxxx )1 (12222dxxdxx 22111.arctan1Cxx 20例例1010 求积分求积分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx 说明说明以上几例中的被积函数都需要进行以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表恒等变形，才能使用基本积分表.21例例 1111 已知一曲线已知一曲线)(xfy 在点在点)(,(xfx处的处的切线斜率为切线斜

10、率为xxsinsec2 ，且此曲线与，且此曲线与y轴的交轴的交点为点为)5 , 0(，求此曲线的方程，求此曲线的方程. 解解,sinsec2xxdxdy dxxxy )sin(sec2,costanCxx , 5)0( y, 6 C所求曲线方程为所求曲线方程为. 6costan xxy22例12例12dxxx 22sincos1dxxxxx 2222sincoscossindxxdxx 22sin1cos1.cottanCxx 例13例13dxxxx cossin12sindxxxxxxx cossin)cos(sincossin222 dxxxxxcossin)cos(sin2.cossinCx