随机变量的数学期望

1、第一节第一节 数学期望数学期望离散、连续型随机变量的数学期望离散、连续型随机变量的数学期望随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望数学期望的性质数学期望的性质课堂练习课堂练习 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么的概率分布，那么X的的全部概率特征也就知道了全部概率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般是较难然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些道随机

2、变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了数字特征就够了. 因此，在对随机变量的研究中，确定某些数因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的字特征是重要的 .在这些数字特征中，最常用的是在这些数字特征中，最常用的是数学期望数学期望、方差、协方差和相关系数方差、协方差和相关系数一、数学期望的概念一、数学期望的概念 1)(kkkpxXE即即定义定义1 设设X是离散型随机变量，它的分布律是是离散型随机变量，它的分布律是: PX=xk=pk , k=1,2,若级数若级数 1kkkpx绝对收敛，绝对收敛，则称级数则称级数 1kkkpx)(XE的和为随机变量的和为随机变量X的的数学期望数

3、学期望，记为，记为 ,若级数发散若级数发散 ，则称，则称X的数学期望不存在。的数学期望不存在。 1kkkxp 为为他他们们射射击击的的分分布布律律分分别别乙乙两两个个射射手手、甲甲,试问哪个射手技术较好试问哪个射手技术较好? 例例1 谁的技术比较好谁的技术比较好?乙射手乙射手击中环数击中环数概率概率10982 . 05 . 03 . 0甲射手甲射手击中环数击中环数概率概率10983 . 01 . 06 . 0解解),(3 . 96 . 0101 . 093 . 08)(1环环 XE),( 1 . 93 . 0105 . 092 . 08)(2环环 XE.,21XX数数分分别别为为设设甲甲、乙乙

4、射射手手击击中中的的环环故甲射手的技术比较好故甲射手的技术比较好.关于定义的几点说明关于定义的几点说明 (3) 随机变量的数学期望与一般变量的算随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同术平均值不同. (1) E(X)是一个实数是一个实数, 而非变量而非变量,它是一种以它是一种以概率为权的概率为权的加权平均值加权平均值, 与一般的平均值不同与一般的平均值不同 , 它从本质上体现了随机变量它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的取可能值的真正真正平均值平均值, 也称均值也称均值. (2) 级数的绝对收敛性级数的绝对收敛性保证了级数的和不保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变随级数各项次序的

5、改变而改变 , 之所以这样要之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值取可能值的平均值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变它不应随可能值的排列次序而改变.xO 随机变量随机变量 X 的算术平均值为的算术平均值为, 5 . 1221 假设假设.98. 198. 0202. 01)( XE它从本质上体现了随机变量它从本质上体现了随机变量X 取可能值的平均值取可能值的平均值.当随机变量当随机变量 X 取各个可能值是等概率分布时取各个可能值是等概率分布时 , X 的期望值与算术平均值相等的期望值与算术平均值相等. 1 2 X21020.980.p例例2 一

6、批产品中有一、二、三等及废品一批产品中有一、二、三等及废品4种，相种，相应比例分别为应比例分别为60%，20%，13%，7%，若各等级，若各等级的产值分别为的产值分别为10元、元、5.8元、元、4元及元及0元，求这批产元，求这批产品的平均产值。品的平均产值。 解解 设一个产品的产值为设一个产品的产值为X元，则元，则X的可能取值的可能取值分别为分别为0，4，5.8，10；取这些值的相应比例分别为；取这些值的相应比例分别为7%, 13%, 20%, 60%；则它们可以构成概率分布，；则它们可以构成概率分布，由数学期望的定义求得产品的平均产值为由数学期望的定义求得产品的平均产值为 E(X) = 40

7、.13 + 5.80.2 + 100.6 = 7.68（元）。（元）。 :),(,规规定定以以年年计计记记使使用用寿寿命命为为付付款款的的方方式式的的销销售售采采用用先先使使用用后后某某商商店店对对某某种种家家用用电电器器X例例3商店的销售策略商店的销售策略.3000, 3;2500, 32;2000, 21 ;1500, 1元元一一台台付付款款元元一一台台付付款款元元一一台台付付款款元元一一台台付付款款 XXXX. 0, 0, 0,e101)(,10的的数数学学期期望望器器收收费费试试求求该该商商店店一一台台家家用用电电概概率率密密度度为为服服从从指指数数分分布布设设寿寿命命YxxxfXx

8、解解xXPxde10111010 1 . 0e1 ,0952. 0 xXPxde101211021 2 . 01 . 0ee ,0861. 0 xXPxde101321032 ,0779. 0ee3 . 02 . 0 xXPxde1013103 .7408. 0e3 . 0 的的分分布布律律为为因因而而一一台台收收费费 YYkp30002500200015000952. 07408. 00861. 00779. 0,15.2732)( YE得得.15.2732元元费费即平均一台家用电器收即平均一台家用电器收1(),1,2,3,kPkpqk例例4 设设 服从几何分布，即服从几何分布，即求求 。E

9、解：解：111()kkkEk Pkk pq1011qkkkkpkqdqpq2211(1)qpppqqpp( (1 1) ) 退退化化分分布布 a P 1 1 aE. . pppE1)1 (0例例5 常见离散型随机变量的数学期望常见离散型随机变量的数学期望), 10()2(p两点分布：(3)(3)二项分布：二项分布：),(pnB (),0,1,kkn knPkC p qkn， npE. . 证证明明: : 0(1)nkkn knkEkC pp. . 11(1) (1)11(1)nkknknknpCppnp 证明证明: : eekeekkEkkkk11 0 )!1(!. . ( (4 4) )普普

10、阿阿松松分分布布：) (P (),0,1,2,!kPkekk E. . (5)(5)超几何分布：超几何分布：) ,(NMnH: : ()kn kMN MnNC CPkC NMnE. . 证明证明: : 1(1) (1)1(1) (1)01kn knnknkMN MMNMnnkkNNC CMEkCCCC 11nNnNMMCnCN. . 定义定义2 设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为f(x)，如，如果积分果积分 绝对收敛，则称该积分的值绝对收敛，则称该积分的值为随机变量为随机变量X的数学期望或者均值，记为的数学期望或者均值，记为EX，即，即dxxxf)(dxxfxXE)()

11、( 如果积分如果积分 发散，则称发散，则称X的数学期的数学期望不存在。望不存在。 ( )x f x dx注：注： E(X)是一个实数而非变量是一个实数而非变量, 并非所有的随机变并非所有的随机变量都存在数学期望。量都存在数学期望。例例6 常见连续型随机变量的数学期望常见连续型随机变量的数学期望证证明明: : 221( )22baxbaabExp x dxdxbaba. . ),(U) 1 (ba均匀分布：（2 2）正正态态分分布布：设设),(2N： 22()21( )()2xp xex+ 则则：E. . 证证明明: : 22()21( )2xExp x dxxedx 221()2xtttedt

12、 dtedttett222222. . （3 3）指指数数分分布布：( )E: : 0,( )0, 0.xexp xx， 则则：1E. . 证证明明：0( )( )xExp x dxx edx 0()xxd e 00 xxedxxe1 21( )()(1)p xxx 220202( )(1)11 ln(1)xxx p x dxdxdxxxx 定义定义3 如果二元随机变量如果二元随机变量( X, Y )的两个分量的两个分量X, Y分别存在着数学期望分别存在着数学期望EX, EY ；称；称( EX, EY )为为 ( X, Y ) 的期望向量或均值向量。的期望向量或均值向量。二、随机变量函数的数学

13、期望二、随机变量函数的数学期望1. 问题的提出：问题的提出： 设已知随机变量设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是的期望，而是X的某个函数的期望，比如说的某个函数的期望，比如说g(X)的期望的期望. 那么应该如何计算呢？那么应该如何计算呢？ 一种方法是，因为一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来的分布求出来. 一旦一旦我们知道了我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把的分布，就可以按照期望的定义把Eg(X)计算出来计算出来. 那么是否可以不先求

14、那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据的分布而只根据X的的分布求得分布求得Eg(X)呢？呢？下面的定理指出，答案是肯定的下面的定理指出，答案是肯定的. 使用这种方法必须先求出随机变量函数使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的的分布，一般是比较复杂的分布，一般是比较复杂的 .(1) 当当X为离散型时为离散型时,它的分布率为它的分布率为P(X= xk)=pk ;绝对收敛，则有绝对收敛，则有若若 1)(), 2 , 1(kkkpxgk1( ) ()()kkkE YE g Xg xp(2) 当当X为连续型时为连续型时,它的密度函数为它的密度函数为f(x).若若绝对收敛，则有绝对收敛，则有 dx

15、xfxg)()( dxxfxgXgEYE)()()()(定理定理1 设设Y是随机变量是随机变量X的函数的函数:Y=g(X) (g是连续函数是连续函数)连续型离散型XdxxfxgXpxgXgEYEkkk,)()(,)()()(1 该公式的重要性在于该公式的重要性在于: 当我们求当我们求Eg(X)时时, 不必不必知道知道g(X)的分布，而只需知道的分布，而只需知道X的分布就可以了的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很大方便这给求随机变量函数的期望带来很大方便. dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()( 定理定理2 设设g (X,Y) 是随机变量是随机变量X、Y的函数，且的函

16、数，且Eg(X,Y)存在。存在。 (2) 如果如果X、Y是连续型随机变量，联合概率是连续型随机变量，联合概率密度为密度为f(x, y)，则，则 (1) 如果如果X、Y是离散型随机变量，联合概率是离散型随机变量，联合概率分布为分布为pij , i,j=1,2, ，则，则 11( ) ( , )( ,)ijijjiE ZE g X Yg x ypXp1234 . 02 . 04 . 0解解的分布律为的分布律为XXY1231 0120.10.10.10.10.10.0030.)(, )(),(),(:2YXEXYEYEXE 求求例例8 设设 ( X , Y ) 的分布律为的分布律为. 03 . 01

17、4 . 003 . 01)( YE得得1 0121 21031Yp1 013 . 04 . 03 . 0的的分分布布律律为为Y. 24 . 032 . 024 . 01)( XE得得p),(YXXY)1, 1( 2 . 0)0 , 1(1 . 0)1 , 1(1 . 0) 1, 2( 1 . 0)1 , 2(1 . 0)0 , 3(3 . 0)1 , 3(1 . 0由于由于p),(YX)1, 1( 2 . 0)0 , 1(1 . 0) 1 , 1 (1 . 0) 1, 2( 1 . 0)1 , 2(1 . 0)0 , 3(3 . 0)1 , 3(1 . 02)(YX 41091944 . 09

18、1 . 002 . 013 . 04)(2 YXE得得. 5 1 . 0313 . 001 . 0211 . 0211 . 011 . 002 . 01 XYE于于是是.151 ,sin() 0,( , )20X YAxyx yf x y 设二维连续型随机变量（）的概率密度为其它).(),()2(,)1(XYEXEA求求求系数求系数211)sin(),(2/02/0 AdxyxAdydxdyyxf，得，得 ）由于）由于解：（解：（1 其它其它）的概率密度为）的概率密度为（设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量020)sin(),(, xyxAyxfYX).(),()2(,)1(XYEXEA求

19、求求系数求系数4)sin(2122/02/0 dxdyyxxXE）（）解解（12)sin(21),()(2/02/0 dxdyyxxydxdyyxxyfXYE例例1010., 22的的数数学学期期望望求求正正态态分分布布且且都都服服从从标标准准相相互互独独立立和和设设随随机机变变量量YXZYX 解解的的联联合合概概率率密密度度为为和和相相互互独独立立和和YXYXNYNX,),1 , 0(),1 , 0( 2222e21e21),(yxyxf ,e212)(22yx 于是于是)()(22YXEZE .dde2122222yxyxyx 得得令令,sin,cos ryrx dde21)(220022

20、rrZEr rrrde222022 rrrrdee020222 .2 例例11. , 0, 10 ,2)(. , 0, 10 ,3)(,00:1300:12 2时间的数学期望时间的数学期望求先到达者需要等待的求先到达者需要等待的其他其他其他其他的概率密度分别为的概率密度分别为已知已知立立相互独相互独和和且设且设间间分别是甲、乙到达的时分别是甲、乙到达的时设设会面会面在在甲、乙两人相约于某地甲、乙两人相约于某地 yyyfxxxfYXYXYXYX解解的联合概率密度为的联合概率密度为和和 YX . , 0, 10 , 10 ,6),(2其其他他yxyxyxf因此所求数学期望为因此所求数学期望为yxy

21、xyxYXEdd6)(10102 21dd6)(dd6)(22DDyxyxyxyxyxyx61121 ).(41小小时时 三、数学期望的性质三、数学期望的性质 1. 设设C是常数，则是常数，则E(C)=C; 4. 设设X、Y 相互独立，则相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y); 2. 若若k是常数，则是常数，则E(kX)=kE(X); 3. E(X+Y) = E(X)+E(Y);niiniiXEXE11)(:推广niiniiXEXE11)(:推广（诸（诸Xi相互独立时）相互独立时）请注意请注意:由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y 独立独立于是有于是有概率密度为概

22、率密度为其边缘其边缘）的概率密度）的概率密度设二维随机变量（设二维随机变量（证证),(),().,(,yfxfyxfYXYX()() ( , )( , )( , )()( )3E XYxy f x y dxdyxf x y dxdyyf x y dxdyE XE Y 性质 得证., 相互独立相互独立又若又若YX.4)()()()(),()(得证得证性质性质YEXEdxdyyfxxyfdxdyyxxyfXYEyX 1 某人的一串钥匙上有某人的一串钥匙上有n把钥匙把钥匙, 其中只有一把能打其中只有一把能打开自己的家门开自己的家门, 他随意地试用这串钥匙中的某一把他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门去开门, 若每把钥匙试开一次后除去若每把钥匙试开一次后除去, 求打开门时试求打开门时试开次数的数学期望开次数的数学期望.2 设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为 000)(xxexfx的的数数学学期期望望。求求XeY2 1 解解 设试开次数为设试开次数为X,X是离散型随机变量，其分布律为：于是于是 E(X) nknk112)1 (1nnn21n2 解解Y是随机变量是随机变量X的函数的函数,31)()(022 dxeedxxfeYExxxP(X=k)=1/n, k=1, 2, , n解解 从数字从数字0, 1, 2, , n中任取两个不同的数字中任取两个不同的数字,