曲线与方程,圆的方程

1、曲线与方程、圆的方程江苏郑邦锁1.曲线C的方程为：f(x,y)=0-曲线C上任意一点P(X0,y0)的坐标满足方程f(x,y)=0,即f(X0,y0)=0;且以f(x,y)=0的任意一组解(x0,y0)为坐标的点P(x0,y0)在曲线C上。依据该定义：已知点在曲线上即知点的坐标满足曲线方程；求证点在曲线上也只需证点的坐标满足曲线方程。求动点P(x,y)的轨迹方程即求点P的坐标(x,y)满足的方程(等式)。求动点轨迹方程的步骤：建系，写(设)出相关点的坐标、线的方程，动点坐标一般设为(x,y),分析动点满足的条件，并用等式描述这些条件，化简，验证：满足条件的点的坐标都是方程的解，且以方程的解为坐

2、标的点都满足条件。举例1方程(x+y1)/x2+y24=0所表示的曲线是：()当2a=900时，a=45°,AMAB为等腰直角三角形，此时点M的坐标为(2,3)，它满足上述方程.ABCDxy10oo解析：原方程等价于：J22，或x2+y2=4；x+y之4其中当x_y_1=0需Jx2+y2_4有意义，等式才成立，即22x2+y2之4,此时它表示直线x-y-1=0上不在圆x2+y2=4内的部分，这是极易出错的一个环节。选Do举例2已知点A(1,0),B(2,0),动点M满足2/MABhMBA求点M的轨迹方程。解析：如何体现动点M满足的条件2/MAB=MBA是解决本题的关键。用动点M的坐标

3、体现2/MABWMBA的最佳载体是直线MAMB的斜率。设M(x,y),/MAB=x,则/MBA=2x,它们是直线MAMB的倾角还是倾角白补角，与点M在x轴的上方还是下方有关；以下讨论：若点M在x轴的上方，a(00,900),y>0,此时，直线MA的倾角为a,MB勺倾角为n-2a,yytan二=kMA二,tan(-2)=x1x-2(2a¥90°)tan(1一2二)-tan2：,yx12y2得：x2-3=1,MA>|MB,Ax>1当点M在x轴的下方时,y<0,同理可得点M的轨迹方程为x2=1(x>1),3当点M在线段AB上时，也满足2/MABhMB

4、A此日y=0(-1VxV2).综上所求点的轨迹方程为x2-y=1(x>1)或y=0(1<x<2).3巩固1右图的曲线是以原点为圆心,则它的方程是A. (x1为半径的圆的一部分,=0B. (x-5-y2).(y_。1-x2)=0c.(x十1-y2)(y71-x2)=0D.(x-J1-y2).(y+/x2)=0巩固2已知点R(-3,0),点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足RPPM=0,2PM+3mq=0,当点p移动时，求m点的轨迹方程。迁移正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点M是AB的中点，点P是平面ABCD上的一动点，且点P到直线A1D1的距

5、离两倍的平方比到点M的距离的平方大4,则点P的轨迹为：A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线2 .圆的标准方程刻画了圆的位置特点(圆心与半径)，圆的一般方程反映了圆的代数特点(二元二次方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=gA=B0,C=0,且D2+甘-4AF>0)。判断点P(x0,y0)与OM：(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系，用|PM|与r的大小，即：|PM|>ru(x。-a)2+(y0-b)2>r&P在OM外；|PM|<rU(x0-a)2+(y0-b)2<r2=P在OM内；|PM|=rU(x0-a)2+(y0-b)2=P在OM上。过两个定

6、点A、B的圆，圆心在线段AB的中垂线上。举例1一圆经过A(4,2),B(-1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2,则圆的方程为。解析：研究圆在坐标轴上的截距，宜用一般方程(因为与圆心、半径没有直接联系)，设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,.圆过点A、B,.4D+2E+F+20=0，-D+3E+F+10=0，圆在x轴上的截距即圆与x轴交点的横坐标，当y=0时，x2+Dx+F=0,x+x2=-D圆在y轴上的截距即圆与y轴交点的纵坐标，当x=0时，y2+Ey+F=0,y1+y2=-E由题意知：-D-E=2，解得D=-2,E=0,F=-12。举例2若存在实数k使得直线l：kx-y-k

7、+2=0与圆C:x2+2ax+y2-a+2=0无公共点，则实数a的取值范围是：。解析：本题看似直线远的位置关系问题，其实不然。注意到直线l对任意白实数k恒过定点M(1,2),要存在实数k使得直线l与。C相离，当且仅当M点在圆外；方程x2+2ax+y2-a+2=0变形为：(x+a)2+y2=a2+a-2,M点在。C外仁(1+a)2+4>a2+a-2>0,解得：-7<a<-2或a>1.注：本题中a2+a-2>0是极易疏漏的一个潜在要求。巩固1过点A(3,-2),B(2,1)且圆心在直线x-2y-3=0上的圆的方程是。巩固2已知定点M(x0,y0)在第一象限，过M

8、点的两圆与坐标轴相切，它们的半径分别为r2,贝Urir2=。迁移关于曲线C:x4+y2=1给出下列说法：关于直线y=0对称；关于直线x=0对称；关于点（0,0）对称；关于直线y=x对称；是封闭图形，面积小于n；是封闭图形，面积大于冗；则其中正确说法的序号是3 .涉及直线与圆的位置关系的问题，宜用圆心到直线的距离d来研究。d=r（r为圆的半径）。直线与圆相切；过圆x2+y2=r2上一点M>0,y0）的切线方程为x0x+y0y=r2;过圆x2+y2=r2外一点Mx。>。）作圆的两条切线，则两切点A、B连线的直线方程为x0x+y0y=r2。过。A外一点P作圆的切线PQ（Q为切点），则|P

9、Q|=；|PA|2-r2。d<r=直线与圆相交，弦长|AB|=2Jr2_d2；过直线Ax+By+C=0与圆：x2+y2+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方22程：x+y+Dx+Ey+F+九（Ax+By+C）=0。d>ru直线与圆相离，圆周上的点到直线距离的最小值为d-r,最大值为d+r。22.举例1从直线x-y+3=0上的点向圆（x+2）+（y+2）=1引切线，则切线长的最小值是A3_2b_14c3-2d3-21"2'2'4'2解析：圆（x+2）2+（y+2）2=1的圆心A（-2,-2）,直线x-y+3=0上任一点P,过引圆的2'切线PQ（Q

10、为切点），则|PQ|二Y|PA|1,当且仅当|PA|最小时|PQ|最小，易见|PA|的最/-I小值即A到直线x-y+3=0的距离，为32,此时|PQ|=三14,选Bo2222举例2能够使得圆x+y-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c的一个值为：A.2B.75C.3D,375解析：本题如果设圆上一点的坐标，用点到直线的距离公式得到一个方程，进而研究方程解的个数，将是非常麻烦的。注意到圆心M（1,-2）,半径r=2,结合图形容易知道，当且仅当M到直线l：2x+y+c=0的距离de（1,3）时，。M上恰有两个点到直线l的距离|c|5£(1,3)得:cW(-3

11、v5,-V5)«,5,3V5),选C巩固1若直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y22x=0相切，贝Ua的值为()(A)1,1(B)2,2(C)1(D)1巩固2直线l1：y=kx+1与圆C:x2+y2+2kx+2my=0的两个交点A、B关于直线I2：x+y=0对称，则CACB=22V-4迁移实数x,y满足x+y2x2y+1=0,则的取值范围为x-2r4、A二*)34B.0,二一，4、C.(一2一一34D.匕，0)4.判断两圆的位置关系用圆心距与它们半径和、差的大小。OMON的半径分别为、r2,|MN|>ri+2U外离，|MN|=ri+2=外切，|ri-r2|<|MN|&

12、lt;n+r2y相交，此时，若。M：2222x+y+D1x+E1y+F1=0,ON：x+y+D2x+E2y+F2=0,过两圆父点的圆(系)的方程为：x2+y2+D1x+E1y+F1+九(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(ON除外)。特别地：当K=-1时，该方程表示两圆的公共弦。连心线垂直平分公共弦。|MN|=|r1-r2|u内切，|MN|<|rr2|u内含。举例1已知两圆O1：x2+y2=16,O2：(x-1)2+(y+2)2=9,两圆公共弦交直线O1O2于M点,则O1分有向线段MO2所成的比入=()A.6B,-C.-D.-5656612解析：直线O1O2：y=-2x,两圆公共弦：

13、x-2y=6,于是有：M(，-)有定比分点55坐标公式不难得到入的值，选Co举例2若A=(x,y)|x2+y2<16,B=(x,y)|x2+(y-2)2.af且Ab=B,则a的取值范围是()A.a<1B.a之5C.1<a<5D.a<5解析：集合A、B分别表示两个圆面(a=1时集B表示一个点)，AAB=fcB=A,即两圆内含；有两圆圆心分别为原点和(0,2),半径分别为4和Ja-1,于是有：2W4-Ja-1,解得：1MaM5,选C。巩固1圆心在直线x_y_4=0上，且经过两圆x2+y24x_3=0,x2+y24y3=0的交点的圆的方程为()A.x2+y2-6x+2y

14、-3=0b,x2+y2十6x+2y3=02222C.xy-6x-2yr3=0D.xy6x-2y-3=0巩固2若圆(x-a)2+(y-b)2=6始终平分圆x2+y2+2x+2y-3=0的周长，则动点M(a,b)的轨迹方程是A,a2+b2-2a2b+1=0B.a2+b2+2a+2b+1=0C.a2+b22a+2b+1=0D,a2+b2+2a-2b+1=022迁移与圆x+y-2x=0外切且与y轴相切的动圆圆心的轨迹万程为。5.圆的参数方程的本质是sin2e+cos26=1。参数方程的重要用途是设圆上一点的坐标时，可以减少一个变量，或者说坐标本身就已经体现出点在圆上的特点了，而无需再借助圆的方程来体现

15、横纵坐标之间的关系。22举例已知圆x+(y-1)=1上任息一点P(x、y)都使不等式x+y+m0成立，则m的取值范围是：A.<2-1,+)B(_co,0C(<,2,+oc)D1-T2+oc)()解析：不等式x+y+m可恒成立um之-(x+y)恒成立，以下求-(x+y)的最大值：记x=cos6、y=1+sin0,-(x+y)=-(cosQ+1+sin0)=-1-42sin(0+)<-1+2,选A。sin?一一巩固1f(6)的最大值为。.2cos1巩固2在/ABC中，已知22sB=a=3,c=10,P是/ABC的内切圆上一点，则PA2+PB2cosAb4+PC2的最大值为迁移动点

16、P,Q坐标分别为p(cosa,since),Q(3-sina,1+cost),(c(是参数)，则|PQ|的最大值与最小值的和为.答案1.巩固1D,巩固2y2=4x(x>0),迁移在平面ABCD上建立平面直角坐标系，选C。2、巩固1(x-1)2+(y+1)2=5,巩固2二点M在第一象限，过点M与两坐标轴相切的圆的方程可设为：(x-r)2+(y-r)2=r2,圆过M(x0,y。)点，(x0-r)2+(y0-r)2=:整理得：r2-2(x0+y0)r+x。2+丫02=0，由题意知2为该方程的两根，故q二xo,y。2。迁移在曲线C上任取一点M(x°,y°),x04+y02=1,|x0|w1,.-.x04<x02,x02+y02会04+丫02=1，即点M在圆x2+y2=1外，选；3、巩固1D,巩固2-1,迁移A;4、巩固1A,巩固2圆x2+y2+2x+2y3=0的圆心A(-1,-1),半径为55,OM始终平分。A的周长即两圆的公共弦是。A的直径，A在直线：2(a