数值线性代数课程设计资料

1、数值线性代数课程设计报告（2014-2015 第二学期）姓名:王美玲学号:081310104任课教师:杨熙南京航空航天大学2015年6月18Jacobi 迭代法)Gauss-Seidel 迭代法)SOR 迭代法求解线性方程组的数值效果比较摘要：Jacobi迭代法，Gauss-Seide迭代法，SOR迭代法是三种经典的用于求解线性方程组的迭代方法，本文主要对这三种方法的数值逼近效果进行比较。关键词：Jacobi迭代法；Gauss-Seidel迭代法；SOR迭代法；线性方程组线性方程组的求解方法可归纳为直接法和迭代法。 迭代法中有三种最为经典的迭代方法，就是Jacobi迭代法，Gauss-Seid

2、el迭代法和SOR迭代法。然而三种方法的收敛性，近似解的逼近效果有不同。本文将对三种方法求解线性方程组的迭代效果做相应探讨。设有线性方程组Ax=b,A为非奇异矩阵，求x的近似解，三种迭代方法如下。1. Jacobi迭代法算法：(1)选取初始点x(0)化迭代次数k=0。,精度要求ep,最大迭代次数N,初始(3)相对误差err小于等于精度要求ep时，输出(k+1)作为方程的近似解(4)x(k)=x(k+i),k=k+1,转步骤(2)。2. Gauss-Seidel迭代法算法：(1)选取初始点x(0),精度要求ep,最大迭代次数N,初x始化迭代次数k=0。(2)由Gauss-Seide迭代法计算公式

3、计算点x(k+1)。Gau-Seidel迭代法计算公式为：7。-值7(初始向期=b工a吟川工的甘施j=1j=a-l(13)(3)相对误差err小于等于精度要求ep时，输出丫(k+1)作为方x程的近似解。(4)x(k)=x(k+1),k=k+1,转步骤(2)。3. SOR迭代法算法：(2)由Jacobi迭代法计算公式计算点Jacobi迭代法的计算公式为：=/v网TX(Xin)ni2ayxj)/an;j百(k+1)x(L2)(1)选取初始点x(0),精度要求ep,最大迭代次数N,初始化迭代次数k=0。(2)由SOR迭代法计算公式计算点x(k+1)。(14)(3)相对误差err小于等于精度要求ep时

4、，输出(k+i)作为方x程的近似解。(4)x(k)=x(k+i),k=k+1,转步骤(2)。上述三种经典迭代法收敛的充分必要条件是迭代矩阵谱半径小于1。谱半径不易求解，而在一定条件下，通过系数矩阵A的性质可判断迭代法的收敛性。定理1:若系数矩阵A是严格对角占优或不可约对角占优，则Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收敛。定理2：(1)SOR迭代法收敛的必要条件是0w2;(2)若系数矩阵A严格对角占优或不可约对角占优且0wGauss-SeidelSORb=第29卷第6期,2008年11月2徐树方.数值线i代数.北京:北京大学出版社,1995.3马昌凤.现代数值分析.北京:国防工业

5、出版社.2013.4刘春凤，米翠兰.实用数值分析教程.北京冶金工业出版社.2006附录：源代码I.Jacob迭代法functionx,k=myjacobi(A,b,x,ep,N)%雅可比迭代法解线性方程组Ax=b%A为系数矩阵，b为右端向量，x为初始向量(默认为零向量)，ep为精度%N为最大迭代次数(默认最大值为500),x为近似解，k为迭代次数clearkx;ifnargin5N=500;Endifnargin4ep=1e-6;endifnargin3x=zeros(size(b);endD=diag(diag(A);fork=1:Nx=D(D-A)*x+b);err=norm(b-A*x)

6、/norm(b);iferrepbreakendendend2.Gauss-Seidellt代法functionx,k=myseidel(A,b,x,ep,N)%高斯-赛德尔迭代法解线性方程组Ax=b%A为系数矩阵，b为右端向量，x为初始向量(默认为零向量)，ep为精度%N为最大迭代次数(默认最大值为500),x为近似解，k为迭代次数clearkx;ifnargin5N=500;endifnargin4ep=1e-6;endifnargin3x=zeros(size(b);endD=diag(diag(A);L=D-tril(A);U=D-triu(A);fork=1:Nx=(D-L)(U*x+b);err=norm(b-A*x)/norm(b);iferrepbreak;endend3.SORt代法functionx,k=mysordd(A,b,w,x,ep,N)%超松弛迭代法(SOR)解线性方程组Ax=b%w为松弛因子%A为系数矩阵，b为右端向量，x为初始向量(默认为零向量)，ep为精度%N为最大迭代次数(默认最大值为500),x为近似解，k为迭代次数clearkx;ifnargin6N=500;endifnargin5ep=1e-6;endifnargin4x=zeros(size(b);endifnargin3w=0.8;endD=diag(dia