无穷小于无穷大ppt课件

1、第四节第四节 无穷小与无穷大无穷小与无穷大一、无穷小的概念一、无穷小的概念1.定义定义:极限为零的变量称为无穷小极限为零的变量称为无穷小.例如例如, 0sinlim0 xx.0sin时时的的无无穷穷小小是是当当函函数数xx, 01lim xx.1时时的的无无穷穷小小是是当当函函数数 xx, 0)1(lim nnn.)1(时的无穷小时的无穷小是当是当数列数列 nnn注意注意1.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.二二.无穷小的运算性质无穷小的运算性质性质性质1 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和

2、有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.证证,)(0(时的两个无穷小是当及设xxx使得使得, 0, 0, 021 NN;2)(1xNx时恒有当;2)(2xNx时恒有当,max21NNN 取取恒恒有有时时当当,Nx )()()()(xxxx22 , )(0)()(xxx注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .是是无无穷穷小小，时时例例如如nn1, .11不不是是无无穷穷小小之之和和为为个个但但nn性质性质2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证001( )(,)u xUx设函数在内有界，.)(0, 0, 0101Mxuxx

3、M恒有时使得当则,)(0时的无穷小是当又设xxx.)(0, 0, 0202Mxxx恒有时使得当推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.,min21 取取恒恒有有时时则则当当,00 xx)()()()(xxuxxuMM , .)()(,0为无穷小时当xxuxxxxxxx1arctan,1sin,0,2时时当当例例如如都是无穷小都是无穷小三三.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:证证 必

4、要性必要性,)(lim0Axfxx 设设,|)(|0000Axfxx时，有当，则. 0)(lim0Axfxx所以充分性充分性.)(lim0Axfxx所以)(lim0 xAxx .A ，知由0)(lim0Axfxx,|)(|0000Axfxx时，有当，则这个定理也可表述为：这个定理也可表述为：意义意义将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷无穷小小);).()(xAxf设四、无穷大四、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或

5、注意注意 1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3. 无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.)(lim. 20认为极限存在认为极限存在切勿将切勿将 xfxx.11lim1 xx证证明明例例证证. 0 M,11Mx 要要使使,11Mx 只只要要,1M 取取,110时时当当Mx .11Mx 就就有有.11lim1 xx11 xy11(1) ( )sin20( ).f xxxxf x例 证明：在(0,1)上是一个无界变量.（ ）当时，不是无穷大(1)0(,1(0,1).22kMMxk+证任给无论多么大），

6、存在kN使于是()2,2kf xk,().nkf xM当 充分大时1(2)(0,1,2,3,)2kxkk取,kxk充分大时，当对任意正数()2sin2kf xkk但.0M 不是无穷大不是无穷大无界，无界，无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系定理定理 在同一极限过程中在同一极限过程中, ,无穷大的倒数为无穷无穷大的倒数为无穷小小; ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .证证.)(lim0 xfxx设设010,0,01( ),Mxxf xM对使得当时恒有.)(1 xf即即.)(1,0为为无无穷穷小小时时当当xfxx . 0)(, 0)(lim,0 xfxfxx且且设设反反之之010,0,01( ),MxxMf xM对使得当时恒有.)(1Mxf 从从而而.)(1,0为为无无穷穷大大时时当当xfxx , 0)( xf由由于于意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论, ,都可归结为关于无穷都可归结为关于无穷小的讨论小的讨论. .四、小结四、小结1、主要内容、主要内容:2、几点注意、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1） 无穷小（无穷小（ 大是变量大是变量,不能与很