数学中的逻辑与表达

1、第二章数学中的逻辑与表达逻辑把数学材料组织成一个科学的系统，使数学成为刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。事实上，任何一部数学理论都是由一套概念、命题和命题的推理证明所组成，数学是建立在逻辑基础上，借助于逻辑的基本形式、推理规则和推理方法使数学成为一门独立的学科。义务教育和普通高中数学课程标准（实验稿）都强调中学数学教材内容的编排和呈现要突出知识的形成（发生发展）过程。因此，中学数学离不开概念、命题、推理和证明。在数学课程标准（实验稿）中明确规定了与逻辑思维、表达的有关培养目标，本章主要论述中学数学中的逻辑基础知识、数学语言、数学文化等。第一节逻辑学简析逻辑学是研究人类思维形式、思维规

2、律、思维方法的科学。逻辑学的历史十分悠久，发展至今已有越来越多的学科分支，一般认为其主要学科包括形式逻辑、数理逻辑和辩证逻辑，它们分别从不同的角度研究思维问题。形式逻辑是研究思维的形式结构及其内在规律和基本方法，这是人类思维的初步规律。数理逻辑是应用数学方法研究逻辑问题，从各种演算和基本概念出发，可推出定理、性质，再由此推出新的定理、性质，使得逻辑的表达精确化、形式化。辩证逻辑是用辩证观点研究思维的形式结构及其规律，这是人类高级的思维规律。形式逻辑的知识对于教育工作者理解数学教材的结构和内容有重要的意思，因此在此对形式逻辑的知识作初步介绍。形式逻辑的基本内容是思维的形式、思维的规则和思维的方法

3、。一.思维所谓思维，是人类所特有的一种高级心理活动，是人脑反映客观事物及其相互关系的一种过程，是认识发展的一个新阶段。例如，某人清晨起来，看见外面屋顶湿了，道路也湿了，树木的叶子也都湿了（这是人脑对客观事物的感性认识），他马上会想到：昨天夜里又下过雨了（这是理性认识的过程）！尽管这个人不是直接知觉到雨，但他知道“雨”和“屋顶道路等的变湿”有着因果关系，所以作出“昨晚下雨”这个论断，这一思考过程就是思维。也就是说，人们在实践中得到的感性认识，积累多了，就要用脑子来想一想，整理一下所得的材料（注：喻平等编著数学教育学导引，广西师范大学出版社，1998年3月第1版，第46页）。这里的想一想，就是运用

4、思维，即通过分析、综合、比较、抽象概括等方法抽象出概念、判断、进而由一些概念作出推理，再得出新的判断，这就是人脑对客观事物的理性认识阶段。二.思维形式所谓思维形式就是概念、判断、推理等形式，思维就是借助于概念、判断、推理来进行的。对思维形式的研究是形式逻辑的主要内容。例如，研究概念时，是研究反映客观事物及其本质属性的思维形式，主要研究它的内涵、外延、同一、属种等等，使概念继续深入，而不研究这些概念的具体内容。又例如，判断：（1）有些画家是诗人；（2）有些分段函数是连续函数，这是内容不同的两个判断，它们有如下的共同形式：有些xXX是XXX。要研究各种重要的判断形式及其性质。再例如，推理：（1）凡

5、金属都是能熔解的；铁是金属，所以铁是能够熔解的；（2）凡同边数的正多边形都是相似的，这两个正多边形的边数是相同，所以，这两个正多边形也是相似的，这两个推理的内容也不相同，但也都具有如下的共同形式：凡M是PS是M,所以，S是P。要研究各种的推理形式及其规则。三、思维规律所谓思维规律是指形式逻辑四条基本规律（同一律、排中律、矛盾律和充足理由律）及它们之间的关系。1 .同一律同一律的基本内容是：在同一思维过程中，使用的概念和判断必须保持同一性，亦即确定性。它的公式是：A是A,即A三A。可表示成命题形式AtA,显然AtA三1。同一律是任何判断的逻辑基础，其作用是保证思维的确定性。同一律的具体要求有两点

6、：一是思维对象应保持同一。在思维过程中，所考察的对象必须确定，要始终如一，不能中途变更。例如，要判定多项式a2-2能否再进行因式分解，就要看在哪个数集上讨论，事先必须确定而且在分解过程中保持不变。二是表示同一事物的概念应保持同一。在思维过程中，要以同一概念表示同一思维对象。不能用不同的概念表示同一事物，也不能把不同的事物混同起来用同一个概念表示。违反同一律要求的常见错误是思维混乱，前后不一。在推理、证明等思维过程中，具体表现为偷换概念、偷换论题等错误。例如，有人说：“因为数是可以比较大小的，而虚数是数，所以虚数可以比较大小”。这里两次使用了“数”这个概念，前者指的是“实数”，后者指的是“虚数”

7、，即用同一概念表达了两个不同的对象，这样，在论证过程中，就犯了偷换概念的逻辑错误。在不同的思维过程中，对同一概念或判断允许有不同的认识。例如，“两条直线不相交则平行”这个命题在平面几何中为真，在立体几何中则为假。2 .矛盾律矛盾律的基本内容是：在同一思维过程中，对同一对象的两个相互矛盾或反对的判断，其中至少有一个是假的，不可能全是真的，可以两个都是假的。它的公式是：A不是又，即AaAo显然，aaA三i。矛盾律是否定判断的逻辑基础，它的作用是排除思维中的自相矛盾，保持思维的不矛盾性。矛盾律要求在同一时间内和同一关系下，不能容许有相互矛盾或反对的两种判断存在。违反这个要求的逻辑错误叫做自相矛盾。例

8、如，对实数短，“J2是有理数”和“J2是无理数”是两个矛盾的判断，它们不能同真，其中必有一个是假的。又如，对实数a,“a是正数”和“a是负数”是两个反对的判断，这两个判断可能都假。因为若a=0,则a既不是正数也非负数。矛盾律是同一律的延伸，它是用否定的形式“A不是入”表现同一律以肯定的形式“A是A”所表现的同一种思想。因此，矛盾律是从否定方面肯定同一律。3 .排中律排中律的基本内容是：在同一思维过程中，对同一对象的肯定判断与否定判断，这两个相矛盾的判断，不能同假，必有一真。它的公式是：或者是A或者是A,即AA。显然，AvA=1o在同一条件下，某思维对象的肯定判断A和否定判断入，概括了该对象的某

9、种属性的所有情况，不可能存在既不是A又不是A的第三种情况。排中律要求我们必须在A与A之间，作出明确的选择，或者肯定A,或者肯定A,不能模棱两可，含糊其词。例如，平面内不重合的两直线平行与相交；两个实数相等与不相等；实数a是有理数或是无理数；自然数n是偶数或是奇数等等，都必须作出非此即彼的选择。如判断实数a不是有理数就是肯定它是无理数。排中律和矛盾律既有联系，又有区别。排中律和矛盾律都不允许有逻辑矛盾，违反了排中律，同时也就违反了矛盾律，所以两者是互相联系的。它们的区别在于：矛盾律指出两个互相矛盾或反对的判断不同真，并没有排除“同假”的可能；而排中律则进一步要求，两个互相矛盾的判断必有一真，完全

10、排除了“同假”的可能。从这个意义上讲，排中律是矛盾律的继续和发展。排中律的作用与矛盾律基本相同，都用于排除思维中的自相矛盾，保持思维的不矛盾性。矛盾律用于排除对照性或对比性矛盾，排中律则用于排除对立性或对抗性矛盾。如"a>b”和“avb”是对照性或对比性矛盾，要用矛盾律来处理。根据矛盾律，“a>b”与“avb”必有一假，也可能两个都是假的，即不排除第三种情况“a=b”。又如，“a>b”和“awb”是对立性或对抗性矛盾，要用排中律来处理。根据排中律，“a>b”与“awb”不能都假，非此即彼，必有一真，没有第三种情况。因此，排中律是反证法的逻辑基础。当直接证明某一

11、判断为真有困难时，根据排中律，只要证明与其相矛盾的判断为假即可。4 .充足理由律充足理由律的基本内容是：在思维过程中，任何一个真实的判断必须有充足的理由。它的公式是：因为A真，且A能推出B,所以B真。也可以说，A是B成立的充足理由。充足理由律是进行推理和证明的逻辑基础。其作用是保持判断A、B之间的联系有充分根据和有论证性。充足理由律要求在思维过程中，必须有充分的根据。任何判断或论证，只有当它具有充分的根据，也就是具有充足的理由时，才能是正确的、合乎逻辑的，才能具有论证和说服的力量。数学中，用作判断与论证的充足理由有原始概念、公理以及由此推演出来的定义、定理、法则与公式等。违反充足理由律要求的逻

12、辑错误，常见的有理由虚假、不能推出等。例如，因为/A=/B,所以/A和/B是对顶角。显然，"/A=ZB”不能成为“/A和/B是对顶角”成立的充足理由，因为相等的两个角也可能是等腰三角形的两个底角，或者是相似三角形的对应角等。形式逻辑的四条基本规律从不同的方面表现着同一思维过程的各个特性，它们之间有着内在的不可分割的联系。同一律是从正面，即从肯定方面来巩固概念和判断，它要求思维过程必须有规定性。作为它的反证的矛盾律是从反面，即从否定方面来巩固判断，矛盾律要求在思维中不能有矛盾的思想存在。至于排中律，则是从肯定和否定两方面来巩固判断，或肯定，或否定，非此即彼，二者必居其一。作为终结定论的

13、充足理由律，则要求对这个有规定性的、没有矛盾的论断提出证明，指出它之所以正确的充足的理由。形式逻辑的四条基本规律也是数学推理和数学证明必须遵循的基本规律。在数学推理证明中，必须要求思考的对象和认识是确定的（同一律），判断不自相矛盾（矛盾律），不是模棱两可（排中律），有充分根据（充足理由律），根据这些正确的思维规律才能得到正确的结论。试举“等腰三角形的两底角相等”为例。认定等腰三角形的底角必相等（同一律），就不能同时又说两底角不相等（矛盾律）；若怀疑上述说法，则必须在“两底角相等”与“两底角不相等”两种说法中选择其一（排中律）；最后，若坚持原来结论一一等腰三角形的两底角必定相等，那末，就需举出充

14、分的理由，或引证必要的事实作根据，来证明结论的正确性（充足理由律）。四、思维方法所谓思维方法，这里是指在形式逻辑中通用的基本的思维方法，主要是归纳法、类比法、分析与综合、特殊与一般化等等。归纳是通过对某类数学对象中若干特殊情形的分析得出一般性结论的思维方法。归纳分为不完全归纳和完全归纳两种类型。类比是根据两个数学对象的一些属性相同或相似，猜测另一些属性也可能相同或相似的思维方法。类比分为简单类比和复杂类比两类。分析是对数学对象进行分解、剖析，以达到认识对象的各个部分在整体中的性质、作用的思维方法。综合则是将研究对象的各个部分有机地结合，以达到认识对象整体性质的思维方法。分析和综合是彼此相反又紧

15、密联系的思维过程。特殊化是把所研究的数学问题从原来的范围缩小到一个比较小的范围或个别情形进行考察研究的思维方法。一般化则是与特殊化相反的思维方法，即将研究对象从原来范围扩展到更大范围进行考察和研究。第二节数学概念、数学概念的意义及关系（一）数学概念数学概念是反映客观事物空间形式和数量关系的本质属性的思维形式，它反映的是一类具有共同属性的事物（能区别于其他事物）的全体。例如，“圆”这一数学概念，它反映的是这样一类事物（也称对象），它是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，这是圆的本质属性，而圆的半径的大小不是圆的本质属性。数学概念的产生和发展有多种途径。一方面，人们在实践的基础上得到丰富的感性材

16、料，在舍弃了一些次要的、表面的性质，将本质属性抽象出来，便形成了数学概念，如自然数、多边形、圆、等差数列等概念。另一方面，由于事物的发展和数学自身的矛盾运动，有许多数学概念，在已有概念基础上逐级抽象得到的，如无理数、复数、群环、域、算子等等。还有一方面，有的数学概念是发展，变化的，而且随着人们对事物的认识的深化，对数学概念也发生变化，如“函数”这一数学概念在中学不同阶段的课程中有变量函数与集合函数两个不同层次的认识，又如切线的概念在学习圆时从直线和圆的交点个数来定义的，而在学习二次曲线时切线的定义是用极限理论来描述的。数学概念是现实世界空间形式和数量关系的本质属性在人的思维中的反映，需要用数学

17、语言表达出来，才能便于研究和交流。数学概念主要是用词语和符号来表达，如“直角三角形”这一数学概念，用词语表达是“有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形”，又如“实数集”这个数学概念是“一切实数组成的集合叫实数集”，“实数集”用符号“R”来表示。同一个数学概念可以用不同语言表达，如“矩形”与“长方形”表示同一个概念。数学概念的词语表达一般形式是“（事物的本质属性）叫做（概念）数学概念的作用是在于它的基础性和开拓性。一方面，有些数学概念的形成，标志着数学理论体系的诞生，如“点”、“线”、“面”等数学概念，为欧几里得几何学创立奠定了基础，“集合”概念成为整个数学的基础，“群”概念的诞生标志着代数学由

18、传统代数迈向近世代数。另一方面，数学概念是数学思维的基本形式，判断由概念构成的，而推理和证明又由判断构成的，可以说数学概念是数学的细胞，要掌握数学理论，首先掌握数学概念是非常重要的。（二）数学概念的内涵和外延任何一个数学概念都有它确定的含义以及所确定的对象范围，这就是说数学概念是由它的内涵和外延组成。数学概念的内涵是指数学概念所反映对象的本质属性的总和，是概念在质的方面的反映，说明概念所反映的事物是什么。如“平行四边形”这个概念的内涵就是平行四边形的所有对象的本质属性总和：两组对边分别平行，两组对边对应相等，一组对边平行且相等等等；在整数集合中“偶数”这个概念的内涵是“能被2整除的整数。数学概

19、念的外延是这个概念所反映的全部对象，是概念在量方面的反映，说明概念所反映事物的范围。如“平行四边形”这个概念的外延是一切由“平行四边形”组成的图形；“复数”这个概念的外延是实数和虚数。在数学教学中，正确的思维要求概念明确，就是要明确概念的内涵和外延。（三）数学概念的内涵和外延的关系数学概念的内涵和外延相互联系、互相依赖，给定一个概念，意味着就确定了它的内涵和外延。也就是说，概念的内涵严格地确定概念的外延，反之概念的外延也完全确定着概念的内涵。特别地，概念的内涵和外延之间遵循着反变关系，即当概念的外延集合缩小，就会得到概念内涵增多的新概念，反之，当概念的外延集合扩大就会得到概念内涵减小的新概念。

20、例如：外延缩小的变化：四边形外延二平行四边形外延二1矩形外延；内涵增大的变化：四边形内涵匚平行四边形内涵匚矩形内涵。在数学概念教学中，根据概念的内涵和外延的反变关系，我们可以通过增加概念的内涵来缩小概念的外延的办法实现对新概念的认识。如果“平行四边形”概念的内涵增加“有一个角是直角”这个属性，就得到外延缩小的“矩形”概念，这种认识概念的逻辑方法称为“概念的限制”；反之可以通过减少概念内涵来扩大概念的外延，这种逻辑方法称为概念的概括。运用概念的限制和概括的逻辑方法可以给新概念下定义，使概念系列化、系统化，便于比较同类概念的异同，更好地掌握概念的本质属性，也常用对某知识系统进行整理和复习，加深对概

21、念的认识。（四）数学概念间的关系常常发现数学概念之间是相互联系的，运用逻辑方法可以研究概念外延之间的关系，根据概念的外延集合是否有公共元素，将概念间的关系分为相容关系和不相容关系。为了叙述方便，概念甲、乙、丙的外延集合分别用A、B、C来表示。1、相容关系。如果AABW（）,则称概念甲与概念乙之间的关系是相客关系。在相客关系中又分为以下三种关系。（1）同一关系。如果A=B,即概念甲会与概念乙的外延完全相同，称这两个概念之间的关系为同一关系。如图3-1所示。例如等边三角形和正三角形，无理数和无限循环小数等都是具有同一关系的两个概念，具有同一关系的两个概念常常用“就是”或“即”来表示，在推理、证明过

22、程中可以互相代替，使我们多角度理解同一类事物的概念的内涵，进一步明确概念，有利于沟通解题思路。图3-1（2）交叉关系。如果AABUA且AABB,即两个概念的外延有且只有一部分相同，称这两个概念的关系为交叉关系。如图3-2所示。例如，矩形和菱形这两个概念的关系是交叉关系，利用它们的公共属性概括出新的概念“正方形”（是它们的公共元素）。（3）属种关系，如果B匚A,即概念乙的外延完全包含在另一概念甲的外延之中，称这两个概念的关系为属种关系。如图3-3所示。一图33外延大的概念称为属概念或概念甲是概念乙的属概念。外延小的概念称为种概念或概念乙是概念甲的种概念，需要注意的是，具有属种关系的两个概念之间的

23、，称谓是相对而言的。例如，增函数是与函数具有属种关系的两个概念，增函数是函数的种概念，函数是增函数的属概念。事实上，具有属种关系的两个概念，它们的外延和内涵之间存在“反变关系”.我们可以利用两个概念的属种关系给概念下定义（详细内容见“概念的定义”）。2.不相容关系。如果AnB=4,且B匚C,ACC,则称这两个概念之间的关系为不相容关系，这时概念甲和概念乙是属于同一属概念丙下的种概念。在不相容关系中，又分为下面两种关系。（1）对立关系（反对关系）。如果AUBUC,即概念甲和概念乙的外延之和小于它们的属概念丙的外延，则称这两个概念甲和乙之间的关系为对立关系（或反对关系）。如图3-4所示。例如，相对

24、于属概念“函数”而言，其种概念奇函数与偶函数之间是反对关”之间的关系是矛盾“发散数列”之间就是矛盾关系。在数学教学中，研究同一知识体系时，弄清概念之间的关系是十分重的。如在同一个等腰三角形中底边上的中线“和”底边上的“高”是同一关系，由其中任何一个概念的性质，都可推出另一概念的性质，因此，同一关系是实现这两个概念的性质之间的相互转化的理论根据。综上所述，数学概念之间依据其外延集合之间的关系为/同一先叁相容关系交叉英系【属种关系数学概念间的关系不相容关系反时关系矛盾关系二、数学概念的定义1、给数学概念下定义的意义数学概念是思维的基本形式，如何将思维的结果（内涵或外延）进行交流、传递，必须运用恰当

25、精练的词语和符号表述出来，这就是给数学概念下定义。数学概念的定义是揭示数学概念的内涵或外延的逻辑方法，使人们明确数学概念，即明确它的内涵或外延。在数学教材中，揭示数学概念的内涵的定义称为内涵定义，这样的定义在教材中占大部分。而揭示数学概念外延的定义称为外延定义。2、定义的结构任何的定义都是由三部分组成：被定义项、定义项和联项。被定义项是要求给予明确的概念，定义项是用来明确被定义的概念，定义联项是用来联结被定义项与定义项的词语。如果用Ds、Dp分别表示被定义项和定义项，那么概念的定义的表达形式主要有：Ds等于Dp、Ds是Dp、Ds就是Dp、Dp叫做Ds、Dp称为Ds等等，但是，定义的含义都是“D

26、s等价于Dp”,如：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。Dp联项Ds交集就是两个集合公共元素的集合。Ds联项Dp3、下定义的方式。下面介绍数学概念下定义的几种主要方式。(1)属加种差的定义。这是数学教材中最常用的定义方式。这种定义方式可用下面的公种差+邻近的属=被定义项Dp联项Ds这里：被定义项最邻近的属概念(内涵最多的属概念)称为邻近的属，种差是指被定义项具有而它的属概念的其他种概念不具有的本质属性。例如：含有未知数的等式叫做方程。(种差)(邻近的嘱)联项DsDp三边相等的三角形叫做等边三角形。(种差)(邻近的属)联项DsDp(2)发生式定义。这是属加种差式定义的一种特殊情形。种差是由被

27、定义项所反映的对象产生或形成过程的特征。例如：平面上定长线段绕一固定端点旋转一周，另一端点随之旋转所形成的业哑JE。(种差)(邻近的属)联项DsDp(3)关系性定义。这也是属加种差定义的一种特殊情形。种差是被定义项所在属概念中与其他对象之间的关系性质。例如：能被2整除的整婺是偶数。(种差)(邻近的属)联项DsDp(4)外延式定义。这是明确被定义项概念所反映对象的全体的定义方式。例如：实数和虚数统称为复数被定义项外延联项Ds还有一种约定式定义。这是属于外延式定义。如：规定：a0=1(aw0);Cn°=1等等。(5)递归式定义，当被定义项的性质与自然数有关时，常采用递归式定义，进一步明确

28、所表达的意义。例如：哥的定义an=a-aa(nCN+)用递归定义为：(i)a1=a；(ii)ak+1=ak,a(kCN)o(6)公理式定义。这是用公理化的形式给出的定义形式，在数学中也常见。例如：自然数的皮亚诺公理定义，群的定义(可看作满足“四条公理”的就是一个群)。(7)不加定义的原始概念。数学是严密的逻辑体系，任何一部数学理论都必须建立在一些基础性的概念之上，这些概念是不能直接定义的，但却是定义其他概念的基础，我们称之原始概念。原始概念的本质属性是通过公理化、合情合理的默认，例如：点、线、面、空间、集合、元素、对应等等都是原始概念，在数学教材中对它们都作了一定描述和解释，但都不是定义。值得

29、指出的是，一个概念，从不同角度去揭示它的本质属性会产生不同的定义，例如，实数的绝对值这一概念的两个不同定义分别为aa>00二100=0-a实数在数轴上对应的点到原点的距离叫做实数的绝对值。另外，在严密的数学体系中，一个概念只能有一个定义，如果给分两个定义，必须证明它们是等价的。但作为中学数学，由于要考虑学生的认识水平和年龄生理的特点，在某一个系统中，同一个概念可以是两个不同定义，如在初中教材和高中教材分别给出的函数的定义，表达形式不一样，但两者本质是等价的。4、下定义的规则为了使数学概念的定义合理、正确，除了正确理解有关的数学知识外，还必须遵循以下的几条规则，这些规则也是分析一个定义是否

30、正确的方法。（1）定义必须相称。要求定义项与被定义项的外延必须相同。例如：定义“无理数是无限小数”，定义项的延外延大于被定义项的外延，无理数的外延被扩大，包括了循环小数，犯了定义过宽的逻辑错误；定义“有理数的开不尽的根叫做无理数”，定义项的外延小于被定义项的外延，无理数的外延被缩小，排除兀等无理数，犯了定义过窄的逻辑错误。（2）定义不能循环。要求定义项中不能直接或间接地包含被定义项。例如：定义“互相垂直的两条直线所成的角叫做直角”，犯了循环定义的逻辑错误，因为，用已经“直角”定义“垂直”，现在又用“垂直”定义“直角”。（3）定义必须简明。要求下定义的词语必须简明准确，也就是说定义中不应列举非本

31、质属性或多余的条件。例如：定义“两组对边分别平行且相等的四边形叫做平行四边形”，是不简明的，因为“两组对边分别平行”与“两组对边分别相等”是可以互相推出的。（4）定义一般不用否定形式。例如：定义“不是有理数的实数叫做无理数”，既不揭示无理数的内涵，也不易确定它的外延，达不到下定义的目的，所以这样否定形式的定义不恰当的，也是没有意义的。当然，有的概念的本质属性正好应该缺少某个属性，此时定义这样的概念可以用否定的形式。例如：定义“在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线”c5、数学概念的分类（1）分类。分类是根据一定的标准，把一个外延较大的种概念，分为若干个外延较小的不相容的属概念。这是明确概念外延

32、的逻辑方法。通过对概念的分类，一方面可以使有关概念的知识系统化、完整化；另一方面对该概念的外延得到更深刻的认识。在数学教学中，常用分类的方法对有关概念进行系统复习，以便更好把握概念之间的联系。逻辑方法的分类必须按一定的标准进行，任何分类包括三部分：月殍角角角三三三边边暖等*不春角母一一一<母项（属概念）、子项（各个种概念）和标准。例如：概念“三角形”可以按边的大小和角的大小这两种标准进行分类：子项3形（子项）（标准：边的大小）形形形角角角-边腰角毒纯，多项？形项角母三£.子项5（子项）（标准：角的大小）（2）分类的规则。正确的分类必须遵守以下几条规则：分类要相称：即要求各子项的

33、外延之和正好等于母项的外延（不漏）而且这些子项的外延集合互不相交（不重）。这样才能保证分类不遗漏、不重复，这是基本规则。例如，;平行四边形简单四边形I矩形，这一分类是不相称的，因为平行四边形包含了矩形，即平行四边形与矩形有重复部分，而且遗漏了非平行四边形。分类必须按同一标准。例如，函数偶函数单调函数I可微函数这一分类是按多个标准进行，使分类混乱；且分类也不相称。分类不能越级。即被分类的属相概念必须是分类的各个种概念的最邻近的属概念。例如:整数次数，分数I无理数这是越级分类，因为无理数与整数、分数不同在同一层次上，越级分类使概念的系统产生混乱，这种分类也不相称。(3)分类的方法。二分法。就是把被

34、分类的属概念逐次地分为两个相互矛盾的种概念，直到不能再分为止，这种分类方法叫做二分法。这种分类方法特点：每一次都是分为两类，简单易行，符合分类规则，便于掌握概念之间的关系，是学习和研究中常用的重要分类方法。例如，单项式I有理式I整式1多项式心才广至人分式代数式1、无理式正棱柱菱形!直接柱底面非正多边形的直棱柱l斜棱柱一般分类方法。有时，为了便于研究问题，需要把概念分为三类或更多的类。例如：负判断复合岁叫联G判断'选言判断假言判断第三节判断与数学命题一、判断L判断的意义判断是对思维对象有所断定的思维形式。这里所说的“断定”，就是肯定或否定。例如，“J2不是有理数”；“1是质数”；“零既不

35、是正数，也不是负数”等都是判断。判断有两个基本特征：第一，有所断定。无断定的思维形式则不是判断。例如，“后是什么数”；"ABC是直角三角形吗”等都不是判断。第二，有真假之分。如果断定的内容符合思维对象的实际情况，那么这个判断就是真的，否则就是假的。例如，“«2不是有理数”这个判断是真的；而“1是质数”这个判断是假的。2.判断的种类数学中常用的判断可按其本身是否还包含有其他判断分为简单判断和复合判断。简单判断。简单判断是不包含有其他判断的判断。简单判断可按所断定的是对象的性质还是关系分为性质判断和关系判断。性质判断是断定某事物具有（或不具有）某种性质的判断。性质判断由主项、谓

36、项、量项、联项四部分组成。主项表示判断的对象，通常用字母S表示。谓项表示主项具有（或不具有）的性质，通常用字母P表示。量项表示主项的数量，反映判断的量的差别，有全称与特称之分：全称量项常用“所有”、“一切”、“每一个”等全称量词表述，在判断的语言表达中可以省略，如“（所有）菱形是平行四边形”；特称量项常用“有些”、“至少有一个”、“存在”等存在量词表述，在判断的语言表达中决不能省略，如“有些直角三角形不是等腰三角形”。联项表示主项与谓项之间的肯定或否定关系，反映判断的质的差异，通常用“是"、“有”或“不是”、“没有”等表述。根据量项的“全称”或“特称”的量，以及联项的“肯定”或“否定

37、”的质，性质判断可以分为四种基本形式：全称肯定判断，记作Ao其逻辑形式是：“所有S都是P"，简记为SAP;全称否定判断，记作E。其逻辑形式是：“所有S都不是P"，简记为SEP;特称肯定判断，记作I。其逻辑形式是：“有些S是P"，简记为SIP;特称否定判断，记作0。其逻辑形式是：“有些S不是P"，简记为SOP。此外，还有单称肯定判断，如“兀是无理数”；单称否定判断，如“3.1416不是无理数”。A、E、I、0这四种判断之间有以下四种真假关系：SAP和SEP不能同真，可以同假。这种关系称为反对关系。SIP和SOP不能同假，可以同真。这种关系称为下反对关系。S

38、AP和SOP、SEP和SIP不能同真，也不能同假。这种关系称为矛盾关系。SAP和SIP、SEP和SOP之间，若全称判断为真，则特称判断必真；若全称断为假，则特称判断真假不定；若特称判断为假，则全称判断必假；若判特称判断为真,则全称判断真假不定。这种关系称为等差关系。上述四种关系可用逻辑方阵表示，如图3-1。利用逻辑方阵，在一定情况下可由一种判断的真假，判定其他判断的真假。EPS等差关系矛矛等差关系SIP图3-6SOP关系判断是断定事物与事物之和耍麻阑断。关系判断由主项、谓项和量项三部分组成。主项又称关系项，是指存在某种关系的对象；谓项又称关系，是指各个对象之间的某种关系；量项表示主项的数量，与

39、性质判断一样,特称和单称三种。关系判断的量项也有全称、例如，“一切正数大于零项，“大于”是谓项，“一切间”是一个单称的关系判断，与之间”。是一个全称的关系判断，其中,是主项“正数”的量项。又如,“正数”和“零”是主“点A在点B与点C之其主项是“点A”、“点B”和“点C”，谓项是“复合判断。复合判断是包含有至少一个其他判断的判断。复合判断可按组成它的各个简单判断的组合形式和性质分为：负判断。其逻辑形式是“并非p”。例如“并非所有实数都是有理数”10联言判断。其逻辑形式是“p且q”。例如“3是质数且是奇数”。选言判断。其逻辑形式是“或者p或者q"。例如“ABC是直角三角形或4ABC是等腰

40、三角形”。假言判断。其逻辑形式是“如果p,那么q”、“p当且仅当q"。例如“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”；“一个整数是偶数，当且仅当它能被2整除”。判断是概念的发展，是由概念组成的，它有形式与内容两方面的问题。形式逻辑专门研究判断的形式，而不管判断的具体内容。在数学中既要研究判断的形式也要研究判断的内容，把判断的形式和内容统一起来，成为数学判断。数学判断的形式取真值，内容也符合实际，才是真实的数学判断。如果它的形式与内容中有所不真，都不是真实的数学判断。二、数学命题L数学命题的意义判断是用语句表达的，表达判断的陈述语句称为命题。表示数学判断的陈述语句或符号的组合称为数学命题

41、。例如：2和3都是质数；3>2；（a+b）2=a2+2ab+b2；ABCs'A'B'C'等都是数学命题。但在数学中有一类语句的表达是没有真假可言的。例如，含有变量的“x2=7D“x5”，就是无法判断真假的句子。只有变量取定值以后，这两个句子才成为可分真假的判断，才成为命题。判断有真假之分，命题也相应地有真假之分。一个数学命题，非真即假，不能既真又假。在命题逻辑中，通常用字母A、B、C或p、q、r等表示命题，如果p是真命题，就说p的真值等于1,记作p=1;如果p是假命题，就说p的真值等于0,记作p=0。与判断的分类相对应，命题也有简单命题和复合命题之分。简单

42、命题是本身不再包含其他命题的命题，简单命题又可以分为性质命题和关系命题；复合命题是本身还包含有其他命题的命题，复合命题又可以分成负命题、联言命题、选言命题和假言命题。数学中研究的大部分是复合命题。为此，下面介绍有关命题运算的基本知识。2.命题的基本运算命题的运算，就是通过命题的符号化、形式化，由若干命题构成新的命题。其关键是逻辑联结词的运用。因而，命题运算实际上是命题的逻辑联结。命题的基本运算有：否定、合取、析取、蕴涵、等价等，与之对应的逻辑联结词分别是：非（）、与（八）、或（V）、若则（T）、当且仅当（修）等。否定。一个命题p,它与逻辑联结词“非”构成新命题“非p”，记作p。p称为p的否定式

43、或负命题。显然，p与p的真值恰好相反，其真值表如表3-1所示。例如，“5是无理数”是一个真命题，它的否定式“（并）非是无理数”，即“J2不是无理数”是一个假命题。合取。两个命题p、q用逻辑联结词“与”联结起来得到的新命题“p与q”,记作“pnqpnq称为p、q的合取式或联言命题，p、q称为合取项或联言支。当且仅当p、q都为真时，pAq为真，其他情况都为假，其真值表如表3-2所示。例如，“15是3的倍数”、“15是5的倍数”都是真命题，其合取式“15是3与5的倍数”也是真命题。析取。两个命题p、q用逻辑联结词“或”联结起来得到的新命题“p或q”,记作“p"qpVq称为p、q的析取式或选

44、言命题，p、q称为析取项或选言支。只有当p、q至少有一个为真时，pvq才为真，否则为假，其真值表如表3-2所示。例如，假命题“2>2”与真命题“2=2”的析取式“2>2”是一个真命题。蕴涵。把两个命题p、q用逻辑联结词“若则”联结起来得到的新命题“若p则q”，记作“ptq”。ptq称为p、q的蕴涵式或充分条件假言命11题，p称为前件或前提，q称为后件或结论。只有当p为真而q为假时，PTq才为假，其他情况都为真，其真值表如表3-2所示。在逻辑学中，蕴涵式的真值表只考虑前件、后件真假值在形式上的意义，而不管它们在内容上的联系。在数学中，蕴涵式命题“若p则q”不仅要考虑思维形式的真假、前

45、件与后件内容的真假，而且更要考虑前件与后件之间是否有实质性的内在联系。只有蕴涵式命题“pTq”既符合逻辑上的要求，又符合前、后件具有实质意义上的内在联系，才是数学的真命题。例如，“若5V6,则J2是无理数”符合思维形式正确、前件与后件内容都是真的，因而它是逻辑学中的真命题；但由于它的前、后件内容没有实质意义上的联系，不能作为数学的真命题。当然，在思维形式上不符合逻辑学要求的数学命题绝对不会是数学真命题，正因为这样，在本节中仅就命题形式详细讨论，还是很有必要的。等价。把两个命题p、q用逻辑联结词“当且仅当”联结起来得到的新命题“p当且仅当q”，记作“p修q”。p修q称为p、q的等价式或充要蕴涵式

46、或充要假言命题。只有p、q同真或同假时，pHq才为真，否则为假，其真值表如表3-2所示。例如，“2+3=6”、“4X7=30”都是假命题，其等价式“2+3=6当且仅当4X7=30”是一个真命题。pqp八qpuqp-*qpiq000011010110100100111111表3-1表3-23.复合命题的真值复合命题的真值取决于构成它的简单命题的值，可以利用真值表来计算一个复合命题在各种条件下的真值。为了省略括号，我们约定，逻辑联结词“、八、V、T、H”的结合力依次减弱。例如，可以将（pAq）Tr记作pAqT。反过来，为了改变运算顺序，可增加括号。例1求下列复合命题的真值：pq>r-q>

47、;(p>r)解（1）(2)pqpTqprqq0011010111010010000012pqrPAqp/vqtrptrq->(ptr)p八qTr。qT(pTr)0000111100101111010011110110111110001011101011111101000111111111个命题A在任何情况下都为真，则称为恒真命题，记作A=1;6,个命题A在任何情况下都为假，则称为恒假命题，记作0。如例1中，为恒假命题，记作P->qAq三0；为恒真命题，记作PAq-*riqT(pTr)三1。如果两个复合命题AB的真值表完全相同，则称AB逻辑等价(或称AB为等价命题)，记作A三B

48、,式子“A三B”称为等值式,读作“A等值于B"。如例1(2),PAqT三qT(PTr)o注意，逻辑等价与等价式不一样，前者是指两个命题AB之间的关系A三B,后者是由两个命题A、B构成的新命题AlB,当且仅当AlB是恒真命题时，才有A三B。4.命题运算律把复合命题变为等值命题的过程叫做命题运算。命题运算中常用的定律有：双重否定律：p三p。哥等律：PP三P；PAP三P。交换律：Pq三qP；P/vq三qP。结合律：(P¥q)"r三pv(qvr)；(PAq)Ar三pA(qAr)o分配律：P”(qr)三(pvq)A(p"r)；PA(qvr)三(pAq)v(pAr)

49、o吸收律：P(pAq)三p；pA(pvq)=po德摩根律：Pq=Pq；pq=Pqo同一律：PO三p；PA1po0-1律：PW三1；P八0三0。(10)否定律：PVP1；P'P三0。(idp'qpq。p、q=(p，q)(q>p)=(pq)(pq)o以上定律，利用真值表都可以证明，这里从略。在命题运算中，还要用到代换原则：命题的任何一部分能用与其真值相同的命题去代换，所得到的新命题与原命题同值。例2证明PT(qTr)三pAqTr证明：P*(q*r)=p>(qr)=p(qr)=(pq)r=pqr13三pAqTro三、数学命题的四种形式及其关系数学命题通常都可用蕴涵式“pT

50、q”给出。对于同一素材，一般可以作出四种形式的命题：原命题Ptq；逆命题qtp；否命题ptq；逆否命题qtp。这四种命题之间存在着互逆、互否、互为逆否三种关系。如图3-2。可以看出：ptq三qTp；qTp三ptq。这就是说，具有互为逆否关系的两个命题等价。上面的两个等值式也可以用命题的运算律证明：pTq三pq三qvp三qVp三qTp.qTp=qvp=pvq=pvq=pq。如果一个命题的前提和结论都是简单命题，则其逆命题、否命题和逆否命题都是容易确定的。如果原命题的前提或结论是复合命题，那么在制作与它相关的三种命题时，必须把前提和结论看成一个整体，利用命题运算律确定其具体内容。例3试作出命题“若

51、a+b是奇数，则a、b之中的一个是奇数，另一个是偶数”的逆命题、否命题和逆否命题。解设p：a是奇数；p：a是偶数；q:b是奇数；q:b是偶数；r：a+b是奇数；r：a+b是偶数。则原命题为r-*(pAq)v(pAq)o逆命题为(p八q)"pAqLro14即“a、b之中的一个是奇数，另一个是偶数，则a+b是奇数”。否命题为r>(pq)(pq)三F>pqpq三rT(pVq)A(pVq)三rTpA(pVq)VqA(pVq)三rT(pAp)V(pAq)V(qAp)V(qAq)三rt0V(pAq)V(qAp)V0=rt(paq)V(pAq)o即“若a+b是偶数，则a与b都是偶数或a

52、与b都是奇数”。逆否命题为(p八q)(pAq)Tr三(p八q)v(pAq)T：。即“若a与b都是偶数或a与b都是奇数，则a+b是偶数”。数学中大多数命题的前提或结论含有量词。命题中的量词有两个，一个是表示思维对象的全体的全称量词：“对所有的x"，记为Vx；另一个是表示思维对象的部分的、或存在的特称量词：“存在x”，记为Hxo对含有量词的命题作否定，有下述关系成立：X/x(p(x)三三x(p(x)；x(p(x)=x(p(x)。事实上，这两个等值式的意义是明显的，合乎情理的。它们分别说明了：对所有对象都不真的p(x),等价于对有些对象p(x)不真；而对有些对象不真的p(x),也等价于对所

53、有对象p(x)不真。2.一一一一例4求命题对任一实数x,x+1>0”的否命题。22解命题“对任一实数x,x+1>0”可用符号表不为x=R(x+1>0),其否命题是Vx£R(x2+1>0)三三xWR(x2+1>0)三版乏R(x2+1W0)一2即“存在实数x,使x+1W0”。显然，这个命题是假的。第四节数学推理与数学证明一、数学推理1、推理定义1：从一些已知的命题A1,A2,，An出发，按一定规则推得一个新命题B的过程，称为为推理。记为：A1,A2,AnkBA1,A2,An称为推理的前提，新命题B称为推理的结论。例如，等腰三角形的两底角相等，ABC是等腰三角

54、形，所以ABC是两底角相等。就是一个推理，前面的两个判断为是前提，后一个所得的新判断为结论。推理A1,A2,An|-B可以通过运算A,一还原成一个命题：A1AA2AAAn一B。定义2:若A1AA2/V/An'B=1即为恒真命题，而不论A1，A2,，An是真还是假，则称称推理A1，A2,AnkB为正确推理。2、推理规则推理规则就是正确的推理形式，遵守这些形式就能保证合乎逻辑，中学数学中常用的推理规则有：15PTppTp(p>q)p>q(p，q)(q>r)>(p>r)(4)(p，q)(q,r)，(p,r)(p，q)p>q(6) (p>q)(q>p)>(pq)(p>q)>(q>p)(8) (p>q)q>p(9) (pq)p>q以上推理规则的正确性完全可以通过真值表或命题公式的推演证得，正确应用推理规则是掌握推理的关键。2、推理种类推理的种类很多，数学中常用的推理有归纳推理、类比推理和演绎推理三种。归纳推理归纳推理或称归纳法，是由特殊到一般的推理，是从个别或特殊的事物所作的判断扩大为同类一般事物的判断的思维过程。根据归纳推理的前提与结论所作判断的范围是否相同，归纳