南航信号与系统3章-01_连续信号的正交分解

1、任课教师：王旭东任课教师：王旭东电话电话12510（办）（办）Email: 第三章 连续信号的正交分解知识要点：知识要点：周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数傅里叶变换傅里叶变换信号特性：信号特性：3.1 3.1 引言引言函函域域上上波波形形数数f(t),单元信号单元信号(t),子响应子响应h(t);1.时时2. 频域上：频谱表示，即信号分解成正弦（虚指数）频域上：频谱表示，即信号分解成正弦（虚指数）的组合的组合频谱分析频谱分析3.2 正交函数集与信号分解 2EA1122AC AE误差矢量误差矢量 1221cos( )C AA112121222222cos( )

2、cos( )AA AAACAA AAA120AA两矢量正交两矢量正交怎样分解，能得到最小的误差分量？怎样分解，能得到最小的误差分量？0 12 C即即方式不是唯一的：方式不是唯一的：12AA用用表表示示，1122AC AE一一矢量的正交分解矢量的正交分解2C AE2C AE正交分解 空间中任一矢量可分解为空间中任一矢量可分解为x,y,z三方向矢量。三方向矢量。 平面中任一矢量可分解为平面中任一矢量可分解为x,y二方向矢量，二方向矢量，一个三维空间矢量一个三维空间矢量 ，必须用三个正交，必须用三个正交的矢量来表示，如果用二维矢量表示就会出现误差：的矢量来表示，如果用二维矢量表示就会出现误差： hz

3、j yi xV 0 , hzVj yi xVe在三维空间的物理世界中，三维的正交矢量集是一个完在三维空间的物理世界中，三维的正交矢量集是一个完备的正交矢量集，而二维的则是不完备。备的正交矢量集，而二维的则是不完备。二信号的正交分解二信号的正交分解1t2t1t2t)(2tf00tt)(1tf )(),(21为为任任意意两两个个信信号号，设设tftf1122( )( )( )f tc ftt1122( )( ) f tc ft若若，1122( )( )( )tf tc ft2121121222( )( )d ( )dttttf tfttcftt误差函数误差函数则则2122121( )( )dttt

4、tttt分解原则分解原则方均误差最小方均误差最小：最佳相似系数最佳相似系数2( )( )( )( )( )( )( )( )()( )( )()()tttttttttttttt dttttft dtcf t f t dtcft dtttf t f t dtcf t ftf tcf tct dtt212221112121122212222121121211211211121120 比较两个相关系数211212( )( )dttAAf tf tt2122121( )( )dttttttt分解的原则对应分解的原则对应212222( )( )dttAAf tf tt121222AACAA2121121

5、222( )( )d ( )dttttf tfttcftt 对应对应 对应对应 2E对应对应 ( )( )dttcf t ftt2112120正交性正交性12120CAA对应对应两周期信号在同一周期内两周期信号在同一周期内(同区间内同区间内)正交的条件是正交的条件是c12=0，即：，即： 总结 0d)()(21 Tttftf两个信号不正交，就有相关关系，必能分解出另一两个信号不正交，就有相关关系，必能分解出另一信号。信号。对一般信号在给定区间正交，而在其它区间不一定对一般信号在给定区间正交，而在其它区间不一定满满足正交。足正交。例例3.2-13.2-1：)2(1)0(1)(tttf设矩形脉冲试

6、用正弦函数试用正弦函数sint sint 在区间（在区间（0 0，2 2 ）内来近似）内来近似表示此函数，使均方误差最小。表示此函数，使均方误差最小。412t014)(tftdttdttfc2022012sinsin)()sin(sin120dtttdt4所以所以ttfsin)(4解：解：在区间在区间 内近似为内近似为)(tf),(20tctfsin)(12例例3.2-23.2-2：试用函数：试用函数 在区间在区间 内近似表示内近似表示ttfsin)(1),(20ttfcos)(2解解：cossinttdtc122000也即也即costcost不包含不包含sintsint分量，或说分量，或说c

7、ostcost与与sintsint正交。正交。三正交函数集三正交函数集任意信号任意信号f(t)可表示为可表示为n维正交函数之和：维正交函数之和： 11221( )( )( )( )( )( )nrrnnrrrf tc g tc g tc g tc gtc g t原函数原函数近似函数近似函数 2121212( )( )d( )d( )( )d 3trtrtrttrtrf t g ttcgttf t g ttk 相相互互正正交交：tgtgtgr21,210,( )( ),tmntmmngtgt dtkmnr =0, 1, 2, . n基底函数基底函数分解原则还是误差函数方均值最小 21222112

8、1( ) ( )( )ntrrtrtf tc g tdttt ,222212 00003rncccc 令令可可得得式式理解2211212( )( )d( )( )d( )dttrrttrtrrtf t g ttf t g ttckgtt正交函数集规定：正交函数集规定： 所有函数应两两正交。所有函数应两两正交。 不能因一个函数集中某几个函数相互正交就说该不能因一个函数集中某几个函数相互正交就说该函数集是正交函数。函数集是正交函数。 是相互独立的，互不影响，计算时先抽取是相互独立的，互不影响，计算时先抽取 哪一个都可以，非正交函数就无此特性。哪一个都可以，非正交函数就无此特性。 12,nc cc此

9、公式是个通式，适合于任何正交函数集。此公式是个通式，适合于任何正交函数集。复变函数的正交特性 在区间在区间 内，内， 若复变函数集若复变函数集 满足以下关系满足以下关系 则此复变函数集为正交函数集。则此复变函数集为正交函数集。 ),(21tt( ) ,(0,1,2, )rg trn21*( )( )d0tijtg t g ttij21*( )( )d tiiitg t g ttk用用 表示表示 ，求分量系数，求分量系数 ( ) ,(0,1,2, )rg trn)(tf2121( )( )d( )( )dtrtrtrrtf t g ttcg t g tt定义定义1 1： 定义定义2 2： 四完备

10、正交函数集四完备正交函数集11221( )( )( )( )( )( )nrrnnrrrf tc g tc g tc g tc gtc g t 为为完完备备的的正正交交函函数数集集。，此此时时，则则下下降降，若若增增加加时时，当当tgtgtgtgnnnr2122,0 不不完完备备。数数集集于于此此正正交交函函数数集集，原原函函必必属属，则则有有如如果果存存在在函函数数tgtgtgtgtxttxtgtxnrttr21,0d)()(,21 2 , 1 , rtgr为完备的正交函数集为完备的正交函数集 tgr称为完备正交函数集的基底称为完备正交函数集的基底 一个信号可用完备的正交函数集表示，正交函数

11、集一个信号可用完备的正交函数集表示，正交函数集有许多，如有许多，如 正弦函数集正弦函数集 指数函数集指数函数集 walsh函数集函数集 正弦函数集有许多方便之处正弦函数集有许多方便之处,如易实现等，我们将讨如易实现等，我们将讨论如何用正弦函数集表示信号。论如何用正弦函数集表示信号。 常用正交函数集 一三角函数形式的傅里叶级数一三角函数形式的傅里叶级数cos,sinntnt 是一个完备的正交函数集是一个完备的正交函数集t在一个周期内，在一个周期内，n=0,1,. 11cossin0tTtntmt11,coscos20,tTtTmnntmtmn11,sinsin20,tTtTmnntmtmn 由积

12、分可知由积分可知1.三角函数集在满足狄氏条件时，可展成在满足狄氏条件时，可展成 ( )cossin01 12nnnaf tantbnt 直流分量直流分量( )dtTtaf ttT1102余弦分量的幅度余弦分量的幅度( )cosd112tTntaf tnttT 正弦分量的幅度正弦分量的幅度( )sind112tTntbf tnttT 称为三角形式的傅里叶级数，其系数称为三角形式的傅里叶级数，其系数2级数形式 2, f tTT周周期期信信周周期期基基波波角角 率率: : 号号 为为 频频 基波分量基波分量n次斜波分量次斜波分量其他形式22nnnAab nnnabarctan cosnnnaA si

13、n nnnbA 余弦形式余弦形式 ( )cosnnnaf tAnt01 22uAn是频率是频率n 的的偶函数，偶函数， n 是频率是频率n 的的奇函数。奇函数。周期信号能够进行傅里叶级数展开的一组充分条件：周期信号能够进行傅里叶级数展开的一组充分条件：(1)在一周期内在一周期内,信号是绝对可积的信号是绝对可积的,即即 等于有限值等于有限值.(2)在一周期内在一周期内,如果有间断点存在如果有间断点存在,则间断点的数目应则间断点的数目应是有限个是有限个.(3)在一周期内在一周期内,极大值和极小值的数目应是有限个极大值和极小值的数目应是有限个.|( ) |11tTtftd t 3. 狄利克雷(Dir

14、ichlet)条件4傅里叶有限级数与最小方均误差 cossin012nnnaf tantbnt)()12(tfN项项来来逼逼近近取取前前 cossin012NNnnnaSantbnt 误差函数误差函数 NNStft )( 方均误差方均误差( )( )d11221tTNNNtEtttT ( )2222201142NNNnnnaEtftab 例例3.2-33.2-3：()( )()Ttf tTt 102102试用它进行傅立叶展开试用它进行傅立叶展开1T2T2t0-1)(tf( )cosdTTnaf tnttT2220 /( )sindsindTTnTbf tnttTnttTn22202440 (

15、)dTTaf ttT20220( )sin()sin()sin()f tttt4113535 N很大时，该峰起值趋于一个常数，它约等于总跳变很大时，该峰起值趋于一个常数，它约等于总跳变吉布斯现象吉布斯现象中出现的峰起愈靠近中出现的峰起愈靠近f(t)的不连续点。的不连续点。项数越多，项数越多，值的值的9%， 并从不连续点开始以起伏震荡的形式逐渐衰并从不连续点开始以起伏震荡的形式逐渐衰减下去减下去f(t)9%tcossin012NNnnnaSantbnt 二指数函数形式的傅里叶级数二指数函数形式的傅里叶级数1 1复指数正交函数集复指数正交函数集,jntne 012 2 2级数形式级数形式3 3系数

16、系数( )ddtTjnttntTjntjnttf ttct1111eee ( )jntnnf tce 4 ( )dtTjn tntcf ttT111e 5 利用复变函数的正交特性利用复变函数的正交特性也可写为也可写为 ,jn t e周周期期信信可可分分解解上上的的指指信信的的性性合合。 说明 ( )jntnnf tce 4 ( ) ( )45ncf t如如出出 ，惟惟一一确确定定， 、 式式是是一一 ( )dtTjn tntcf ttT111e 5 号号 为为 区间区间 数数 号号 线线 组组 给给 对变换对对变换对结论结论(4)和和(6)相等，且相等，且三两种系数之间的关系三两种系数之间的关

17、系()()()( )nnnj n tj n tnnnj n tnnjn tnnaf tA eAAAeee-011221=21= (6) 2 余弦形式余弦形式 ( )cosnnnaf tAnt01 22比较于比较于 ( )jntnnf tce4 12nncA四函数的对称性与傅里叶级数的关系四函数的对称性与傅里叶级数的关系偶函数偶函数奇函数奇函数奇谐函数奇谐函数偶谐函数偶谐函数注：指交流分量注：指交流分量1偶函数信号波形相对于纵轴是对称的信号波形相对于纵轴是对称的)()(tftf )(tfOtTET ( )sindTTnbf tn ttT2220( )cosd2040Tnaf tn ttT 傅傅里

18、里中中不不含含正正弦弦分分量量，只只含含直直流流和和余余弦弦。叶级数叶级数项项项项2奇函数)()(tftf 对对称称的的：波波形形相相对对于于纵纵坐坐标标是是反反)(tfOtTT 11 0= d)(1 220 TTttfTa( )cosd2220TTnaf tn ttT ( )sindTTnbf tn ttT222 ( )sind2040Tf tn ttT 傅傅里里中中余余弦弦分分量量。叶级数叶级数无无0 6 , 4 , 2 nnban时时3奇谐函数, ,( )cosd2041 3 5 Tnnaf tn ttT ( )sind204Tnbf tn ttT f(t)的傅氏级数偶次谐波为零，即的傅氏级数偶次谐波为零，即)(tfOtTT 2T 2)(Ttf