数列压轴题高考

1、高考数列压轴题选讲一、填空题1 .已知数列an中，ann2n,且4是递增数列，求实数的取值范围(答：3)；2 .首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是(答：8d3)33 .函数f(x)由下表te义：右ai1,a25冏2f(an),nN则22008的值.x12345f(x)3452112.14.1. 正偶数按如图所示的规律排列：2468101214161820则第n(n>4)行从左向右的第4个数为._210.nn85.根据下面一组等式：S11,s2235,S345615,s47891034,S5111213141565,S6161718192021111,可得S

2、1s3s5S2n1n4.12.本题是课本中的习题.考查推理与证明中归纳猜想，数学能力是观察、归纳意识.方法一：S11,S1S316,S1S3S581L,猜想sS3L&n1n4.方法二：先求出S2n1(2n1)(2n22n1),然后求和(对文科学生要求较高，不必介绍)6 .13.五位同学围成一圈依次循环报数，规定，第一位同学首次报出的数为2,第二位同学首次报出的数为3,之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出数的乘积的个位数字，则第2010个被报出的数为.13.47 .把数列碍的所有项按照从大到小，左大右小的原则写成如图所示的数表，第k行有2k1个数，1第k行的第s个数（从左数起）记为

3、（k,s）,则氤可记为.1211461111_8101214111111618202224"（第7题图）8.（1）正整数按下列方法分组：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,.记第n组中各数之和为An；由自然数的立方构成下列数组：0,13,13,23,23,33,33,43,.记第n组中后一个数与前一个数的差为Bn则AnBnn,2n31n1n2n一.、设n2,nN,（2x一）（3x一）a0axa?xanx,将ak（0kn）的最小值23，_11_11_._记为Tn,则T20,T3-,T40,T5-,Tn,其中Tn=.23332535解析：本题主要

4、考察了合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，属容易题13 .（10,494）13(4).观察下列等式:32102112122132212222232242252262272362372382392402412422432442由此得到第个等式为9.数列an中,an1*、an1-(n2,nN),23一an一，刖n项和Sn2n=(答：ai3,10.设等差数列an的首项及公差均是正整数，前n项和为Sn,且ai1,a46,S312,则a2010=12.【4020】11.设等差数列an的前n项和为3,则S6的取值范围11.12,42【解析】由题知1a14d4,2a15d3则S66a115d15a14d

5、9a15d由不等式性质知S612,42或线性规划知识可1a14d4得，令z2a15d3S66al15d同样得S612,42.12 .等差数列an中，a。30,50,则通项an(答：2n13 .设数列an中，a12,an1ann1,则通项an14 .已知等差数列an的首项a1及公差d都是整数，前n项和为Sn(nN).若ai1,a43,839,则通项公式ann+115 .数歹Uan满足：ai2,41一(n2,3,4,),若数列4有一个形如a1anAsin(n)B的通项公式，其中A、B、均为实数，且A0,0,|或，则an.(只要写出一个通项公式即可)14#sin红n-3321 .1斛.a12,a2,

6、a31,a5,a61故周期为32 214.数列an满足a12,an1pan2nN，其中p为吊数.右存在头数p,使得数列3n为等差数列或等比数列，则数列an的通项公式an.14.2n【解析】本题是等差等比数列的综合问题，可采用特殊化的方法来解决。由题意可知：a22P2,a3=p(2p+2)+4。若an是等差数列，则2a2=a1+a3彳导p2-p+1=0;若an是等比数列，则(2p+2)2=2p(2p+2)+4,解得p=2.故an=2n.点评：对于客观题可以采用特殊化的方法，避免复杂的计算。求前n项和8n16.设an是等比数列，公比q丘,8n为an的前n项和。记Tn178n&n,nN*.设

7、Tn为an10数列Tn的最大项，则n0=。【答案】4【解析】本题主要考查了等比数列的前17a/1(2)na/(、.2)2nr1212na1(-2)n1-?(2)n16n17n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题。1?(2)2n17(,2)n161.2'(、2)n1-2(-2)因为('.2)n16，一一rn=8,当且仅当(扬n=4,即n=4时取等号，所以当n0=4时Tn有最大值。【温馨提示】本题的实质是求Tn取得最大值时的n值，求解时为便于运算可以对（J2）n进行换元，分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解17.设f(n)2八4八7"0222

8、23n10(nN),则f(n)等于18.在等差数列an中,若a1005a1006a10073,则该数列的前2011项的和为201119.在数列an,若对任意的n均有anan1an2为定值（nN）,且a72,a93,a98则此数列an的前100项的和S100.299解：此数列只有三个数:2;9;3循环20.已知数列an的前n项和Sn12nn2,求数列|an|的前n项和Tn(答:Tn12n2n2_*n2(n6,nN)12n72(n6,nNTn算法流程图已知an|a21L|an|(nN）.某学生设计了一个求Tn的部分（如图），图中空白处理框中是用n的表达式对Tn赋值,则空白处理框中应填入：Tn210

9、.n9n4021.设2是等差数列，求证：以a1a2bn=an-n设N*为（第10题图）通项公式的数列bn为等差数列。22.等差数列an中，Sn是其前n项和，a12011,S20122012S201020102,则S2011的值为13.2011;23.已知a,b,c（abc）成等差数列，将其中的两个数交换,色得到的三数依次成等比数列，则的值为b214.2024 .设等比数列an的前n项和为Sn,若S2n3(a1a3a2n1),a1a2a38则an=分析：本题要求等比数列an的通项an,可以先由aa2a38求出a2,再利用S2n3(a1a3a2n1)求出公比q.思路正确，问题在怎样求出q?如果将S

10、2n3(a1a3a2n1)的两边分别求和，得到q的方程，再解方程求出q,显然计算量大,容易出错.如果仔细观察命题，可以发现S2n是等比数列前2n项的和，S2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)其中a1a3a2n1是前2n项中所有奇数项的和，a2a4a2n是前2n项中所有偶数项的和，从整体考虑，可以发现在等比数列中a2a4a2n=(a1a3a?n1)q,利用这个关系可使结构简单，便于求解解：由an是等比数列，得a1a3a2,因为a1a2a38,所以a2=2.由S2n3(a1a3a2n1),a2a4a2n=2(a1a3a2n1),因为a2a4a2n=(a1a3a2n1)q,所以q=2.an22

11、5 .若数列an满足：对任意的nN,只有有限个正整数m使得am<n成立，记这样的m的个数为(an),则得到一个新数列(an).例如，若数列an是1,2,3，n,，则数列(an)是0,1,2,，n1,已知对任意的nN,4n2,则(as),(an)1管案】L3【解析】因关以5,而=ESFUA所以出y=2.因为S。二o,(勺yL(巧广=L(4)*L(叫尸=24%=入3)=二值>*=2QT=2t'(%)*二3,血。二3,4)=3P(u)*-3,(al4)*-3,(<?|5)*-3,(a2i)*-3,崎(6万厂=1,K%)，.=&(9。.厂=g，(%),=1&，

12、猜想(%)'=不乙【金施意图本题以数列为背景,通过新定义考察学生的自学能力、创新能力、保完能力,属难题.，26 .已知数列aj满足：ai1,a2x(xN),an2an1an，若前2010项中恰好含有666项为0,则x的值为.14、8或9*解：必然存在一个n°N,当nno时，数列an为0,1,1,0,1,10,1,1,0,1,1,右a20100,a20091,a20081,则a20106653a150,a29x；右a20101,a20091,a20080,a21,不成立；a14右a20101,a20090，a20096653a,27 .已知数列an满足a133冏1an2n,则的

13、最小值为.n-21【答案】212【命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=21+2+(n-1)+33=33+n2-n所以且邑n1nn3333设f(n)n1,令f(n)2-10,则f(n)在(J33,)上是单倜递增，在(0,33)nn上是递减的，因为nCN+,所以当n=5或6时f(n)有最小值。又因为冬53空6355'664,所以，曳的最小值为曳仝2n6228.数列an满足下列条件:a11,且对于任意的正整数n，恒有a2nann,

14、则a2100!的值为495014.229.设函数f(x)的点，向量anXx2uuuuujrAkA，向量的最大整数13.3an,A0为坐标原点，An为函数y=f（X）图象上横坐标为n(ni=n为向量an与向量的夹角,则满足tan1uuujuirAkAkuuuuOAnn,ntantank1，又n11,是关于n1n的单调递减函数，所以2单调递增,=1,2,3时25一，满足题意，当n=435.一，-,从而当n3ntank15.一,一5的最大整数3n是3.30.设an是公比为q的等比数列,|q|1，令ban1(n1,2,L）若数列bn有连续四项在集合53,23,19,37,82中，则6q【解析】将各数按

15、照绝对值从小到大排列，各数减1,观察即可得解.31.设首项不为零的等差数列an前n项之和是Sn,若不等式an2STa；对任意an和n正整数n恒成立，则实数的最大值为112.一5解：由不等式得an2由于ai0,所以52*2a12ana14242an15an11所以a144455*2(nNn(aia?)22n25包14al232.在数列an中，ai11,且3an1),则该数列中相邻两项乘积的最小值为.33J等腰直角三角形纸片ABC上，按图示方式剪下两个正方形，其中BC2,A90°,则这两个正方形的面积之和的最小值为13. 634、已知函数yf(x)是定义在R上恒不为0的单调函数，对任意的

16、fxfyfxy成立.若数列an的n项和为Sn,且满足a1f(0),fan1N),贝USn=.14、Sn2010(a21)1335.已知等差数列an的刖n项和为Sn,右(a21)3(a20091)2010(a20091)1,则下列四个命题中真命题的序号为.S20092009；S20102010；a2009a2；S2009S36.数列an满足a11,an141(nN),记Sna；afa；,若,anmmS2n1Sn对nN恒成立，则正整数m的最小值为3018.1037、等比数列an中，aJ3,a636,函数f(x)x(xa)(xaz)L(xae),则f'(0)22一38、设等差数列an的刖n项

17、和为Sn,右mn,Smm,Snn,则Smn、解答题1、已知函数f(x)10g3(axf(n)b)的图象经过点A(2,1)和B(5,2)，记an3(),nN.求数列an的通项公式;(2)设bnbib2bn,若Tnm(mZ),求m的最小值;(3)求使不等式(11一)(1a11、)a2(11对一切nN*均成立的最大实数p.解:(1)由题意得10g3(2a10g3(5ab)b)(2)解得abf(x)10g3(2x1)an310g3(2n1)2n1,n由(1)得bn2Tn12112111222222n12n3Tn322Tn2212n22n2n232212n21设f(n)2n32n-1n得f(n)2n3-

18、2，n又Tnm(mZ)恒成立,(3)由题意得p1记F(n).2n(12n52n32n122n112n1222n12n2n2n2n13252"2n2n1112n1F(n1)F(n)12n一(131,2n12n32n,则由f(n'f(n)1)2n22n随n的增大而减小mmin(11(1工)(11)(1a1a22n32n2n32n112n12n2n12n12(2n3)22n3时,Tn(1),则an11)(1一)anan1111(1-)(1一)(1一)an1,)对nNan2n2恒成立2(n1).(2n1)(2n3),4(n1)212(n1)2(n1)F(n)0,F(n1)F(n),即

19、F(n)是随n的增大而增大F(n)的最小值为F(1)2x/3,p2北，即Pmax-V3.3332、设数列an的前n项和为8n,对一切nN*,点nSn都在函数f(x)x曳的图象，n2x上.(i)求a1，a2,a3的值，猜想an的表达式，并用数学归纳法证明；(n)将数列an依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(a1)，(a2,a3),(a4,a5,a6),(a7,%,a9,a畿)；(an),(a2,a13),(44,加,蛛),(a”,队,a19,a?。)；(a21),，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为bn,求b5b100的值；(出)设An为数列a1的前n项积

20、，是否存在实数a,使得不等式a/77f(a)a3an2a对一切nN都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.解：(I)因为点n,8n在函数f(x)x旦二的图象上，n2x故§n,n曳，所以Snn2an.n2n21一令n1,得&13al，所以a12；1令n2,信a1a24-a2,所以a24；21 一一令n3,得&a2氏9一%，所以a36.2由此猜想：an2n.用数学归纳法证明如下：当n1时，有上面的求解知，猜想成立.假设nk(k1)时猜想成立，即ak2k成立,则当nk1时，注意到8H故11(kSkk*2两式相减，得ak12k112an(n1一ak21二ak，

21、2*N),所以ak14k2ak.由归纳假设得,ak2k,2ak4k22k2(k1).这说明nk1时，猜想也成立.由知，对一切nN,an2n成立./、_*，一-，一(n)因为an2n(nN),所以数列an依次按1项、2项、3项、4项需环地分为(2),(4,6),(8,10,12),(14,16,18,20);(22),(24,26),(28,30,32),(34,36,38,40);(42),.每一次循环记为一组.由于每一个循环含有4个括号,匕00是第25组中第4个括号内各数之和.由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20.同理，由各组第4个括号中所有第2个数

22、、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20.故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80.注意到第一组中第4个括号内各数之和是68,所以b1006824801988.又b5=22,所以b5bioo=2O1O.1,1一，故An1一an“1.11L1-a2an所以A、,an1a11工a21J2n1.ana3又f(a)a2aanan3故An.an1f(a)2aan2a2a3.,一一对一切nA2a*N都成立，就是11a11工an.2n3a一对一切nN都成立.2a设g(n)11ai1La2anJ2n则只需g(n)max3-a即可.2a由于g(n1)11J2n32n1

23、，2n3J4n28n31g(n)ani.2n12n22n1f4n28n4一.、3所以g(n1)g(n),故g(n)是单调递减，于是g(n)maxg(1).2人33日口(a3)(2a.3)3n.-va,即0,斛仔a0,或ay3.2 2aa2综上所述，使得所给不等式对一切*一nN都成立的实数a存在，a的取值范围是T0)U(石).3、已知点列Anxn,0满足:自从？人人1a1,其中nN,又已知xo1,x11,a1.若xn1fxnnN，求fx的表达式;(2)BAnnN，且anan成立，试求a的取值范围;设（2）中的数列an的前n项和为Sn,试求:Sn解：(1)Ao(1,0),A(1,0),AAAAn1

24、(xn1)(41),1)(xn11)xnaf(xn)；xn1(2)BAn(Xna,0)anxnan1f(xn)-a7而xn1(a1)xn1flxn<a(da1)xnda(a1)an，要使an1an成立，只要而11,即1a4a(1,4为所求.3 3)an1(4a1)Xn<a|(Ja1)2Xn1<a(Ja1)nXi间(7a1)n1,an(1a1尸Snaa2an(a1)(.a1)2(a1)n(、a1)1(,a1)n2a-1a4,0石11,0(Va1)n1Sn.a12.a4、已知f(x)在(1,1)上有定义,1且满足x,y(1，1)时有f(x)f(y)f(y),1xy若数列xn满足x

25、11,4122xn1xn2(1)求f(0)的值，并证明f(x)在(1,1)上为奇函数;(2)探索f(xn1)与f(xn)的关系式，并求f(xn)的表达式;(3)是否存在自然数m,使得对于任意的nN*,有111ll1m8恒成立?若存在，求出m的最小值，若不存在,f(xjgf(%)f(xn)4请说明理由。(1)令xyf(0)0,令x0f(0)f(y)f(0y)f(y)10yf(y)f(y)f(x)在(11)上为奇函数.(2)Qf(xn1)f(-2xn2)fjn(,"f(xn)f(xn)2f(xn)1xn1xn(xn)工("2(常数)f(xn)为等比数列，f(xn)'一1

26、又f(x»f(-)1,q22n1f(xn)2.(3)假使存在自然数m满足题设，则=2-m161而mI448了1LL)fZ)8对于任意的对于任意的nm165、数列an即m的最小值为16.1一满足a1,an12(I)求数列an的通项公式;(n)设数列解：(I)方法一:11f(xn)nN*成立,N*成立,12anan的前n项和为Sn,证明an1Sn(2)2lLnnln(2(2)n12).所以1an11anan112an1an1所以an是首项为12,公差为1的等差数列.所以an1an方法二：a22323334a4猜测an下用数学归纳法进行证明.1当n1时，由题目已知可知a1-,命题成立;假设

27、当nk(k1,kN)时成立，即ak112ak2kk1也就是说，当nk1时命题也成立.综上所述，数列4的通项公式为an(n)设F(x)ln(x1)x(x0)则F(x)x1广0(x0)函数F(x)为(0,)上的减函数，所以F(x)F(0)0,即ln(x1)x(x0)从而in(1)工,11ln(1二)，n1n1n1n11an11ln(n2)ln(n1),n1Sn(1in3in2)(1in4in3)K1ln(n2)ln(n1)n2、Snnln(-2)6、已知二次函数f(x)x2axa(xR)同时满足：不等式f(x)wo的解集有且只有一个元素；在定义域内存在0x1x2,使得不等式f(x1)f(x2)成立

28、，设数列an的前n项和Snf(n).(1)求函数f(x)的表达式；(2)设各项均不为0的数列bn中，所有?茜足bibi10的整数i的个数称为这个数列bna-的变号数，令bn1一(nN),求数列bn的变号数；ann1(3)设数列Cn满足：Cn，试探允数列Cn是否存在最小项？右存在,1a(ai1求出该项，若不存在，说明理由.解(1).不等式f(x)<0的解集有且只有一个元素2a4a0解得a0或a42当a0时函数f(x)x在(0,)递增，不满足条件当a4时函数f(x)x24x4在(0,2)上递减，满足条件综上得a4,即f(x)x24x4.22(2)由(1)知Snn24n4(n2)2当n1时，a

29、1S11当n>2时anSnSn1=(n2)2(n3)2=2n5一an1,(n1)2n5.(n2)由题设可得bn3,(n1)4-.(n2)2n50,b21450,b330,i1,i2都满足bbi10bn14bn2n542n(2n5)(2n3)即当n数列bn递增,1工2n55,可知i4满足bibi1，数列的变号数为3.由（2）可得:对于函数，函数1aia1a1a2a2a3anan(1)22(12时数列11-(1-)23/11()L352n512n3)/)43n2n|(2n3)2n312(2n3)cn递增，当Cn存在最小项C242x2时,aiai(1)43x2x33x31&a2112(

30、13)a2a3a3a42时,C22最小,C2，anan-，由（2）1可得:2n511)=2-(12n322n3)43n2n33(2x3)2(43x)(2x3)2,3在（鼻，）上为增函数，当n2时数列Cn递增,C22最小,又C11c2,，数列Cn存在最小项C227、已知数列an的前n项和Sn满足：Sn；(ana11)(a为常数，且a0,a1(I)求an的通项公式;(n)设bn沮1,若数列bn为等比数列，求a的值;an(m)在满足条件(n)的情形下，设11an1一，数列cn的前n项和为Tn.1an11求证：Tn2n3a解：(I)QS1(a11),a1a,a1当n2时，an6&1-ana1a

31、nan1a,即an是等比数列.(n)由(I)知，bn-(an1)1na(3a1)an则有b22*b1b3,而匕3比an(a1)23a22a22a空，若>为等比数列,2aa再将a所以a11-代入得31-.3bn3n成立,(III)证明：由(n)an1n(3)n,所以11(1)n133n3n3n13n113n3n11113n3n13n13n113n11由六所以cn13n11_13n11从而TnC1(3n+1c2L/日1得丁3n3n11)21(311勺1713n113n1歹)，11*,2(32/L28、(n解:2n(3即Tn2n已知f(x)*N)且21白1.3j4口数列an的前x1,an0.(

32、1)求数列an的通项公式;111)2n()2n3n133n1n项和为Sn,点Pn(an,1)在曲线yf(x)上an1数列bn的前n项和为且Tn满足口a是等差数列;(3)求证:Sn1.4n11,nN2an1f(an)1-42且ananan112an12an112an1、，数列1是等差数列，首项an12an12Tn4(nTn216nan1N*)1公差d=48n3,设定bi的值使得数列bn4(n1)4n3an1.an(n3N*)(2)由anTn1一，23an16n28n3得(4n3)Tn11)Tn(4n3)(4n1)1工4n14n3Tn4n3T1n1Tn(4n3)(T1n1)若bn为等差数列，则11

33、0,Ti1即bi1.bn8n7nN*an14n322、4n32.4n3,4n1.4n14n3_1,Snaa2an(%51)(；：9_5)211(.4n1,4n3)%4n11<4n11nN*222,9、已知函数f(x)的定义域为0,1,且同时满足：对任意x0,1,总有f(x)f(1)3;若X10,X20且X1X21,则有f(X1X2)f(X1)f(X2)2.(1)求f(0)的值；(2)试求f(x)的最大值；1.(3)设数列an的前n项和为Sn,且满足a11,Sn-(an3)nN*231求证：f(ajf(a?)f(an)-2n1.223n1解:(1)令X1X20,则f(0)2,又由题意，有f

34、(0)f(0)2X2,贝U0<X2X11f(X2X1)2f(X2)f(X2X1X1)f(X2X1)f(X1)2f(X1)f(x)的最大值为f(1)31一(3)由a11,Sn-(an3)nN*Sn121又由anSnSn1(n2)2口2口3一-一1,数列an为首项为1,公比为的等比数列，3当n1时，f(a1)f(1)3-2223一1、当n2时，f(a2)f(-)31111111f(1)f(11A)f(I)f(，)23f(1)3333333f(a1)f(a2)f(1)咱31=22332(an13)n21(n2)1an.n1不等式成立,14,f(-)不等式成立2321假设nk时，不等式成立。f(

35、ai)即f(ai)f(a2)则当nk1时,f(aki)f+31f(7TT)3,11f()3k373rf(a2)i0、已知函数yf(ak)2k13k1f(3f4)3f(*)3f(ak13k2产i)I43432k13k1)1f(/)313k1i3k,13f(-F7)31-f(-k-r)33,1、4(3)3k432123,4,12k3k2(ki)nk时，不等式成立又nN*,原不等式成立。的图象按向量x2(2,i)平移后便得到函数f(x)的图象,数列满足anf(ani)*、(n>2,nN).ai数列0满足bn1an1,求证：数列0是等差数列;(n)数列4中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大

36、项与最小项，若(出)解：f(x)不存在,说明理由;廿/右iai2,试证明:anan1*、(n>2,nN).bnan1Tan1an，bn11an11an1an1i(n>2,n1an11*N).数列6是等差数列.(H)由(I)知，数列灯是等差数列，首项bi1a1157则其通项公式bn-(n1)1n-,22由bn得an1-1-，故an1an1bnn7222n7一.一2一4构造函数y1,则y一上丁0.2x7（2x7）2函数y12在区间（2x7,夕，4）上为减函数.,72一,当X时，y11,且在(22x7,.72一，7当x时，y11,且在(722x72,7）上递减，故当n2）上递减，3时，bn取最小值h故当n4时，bn取最大值b43.故存在.（ID）先用数学归纳法证明13n2,再证明3n13n.当n=1时，1a12成立,假设n=k时命题成立，即一，11则当n=k+1时，一一1,2ak综合有，命题对任意nc1aman2an2a&1ak2,-13、一一一，ak12一(1,),则1ak1