整理幂级数的应用

1、曷级数的应用将函数展开成幕级数，从形式上看，好像把问题复杂化了，但是由于幕级数的前n项部分和是x的多项式，而多项式是最简单的函数之一，因此用幕级数代替某个函数，实际上为函数的多项式逼近创造了条件。正是由于这个原因，函数的幕级数展开式有着应泛的应用。一、函数值的近似计算利用函数的幕级数展开式可以近似计算函数值，即在展开式的收敛敬意上,函数值可以近似地利用这个级数按精确度要求计算出来.例1计算常数e,精确到小数第四位.nX斛利用e一，令x1,有n0n!e11111non!2!3!11rn_n!(n1)!为达到这个精确度，可观察余项1/11-1n!n1(n1)(n2)111111一1一-n!nnn!

2、.1(n1)(n1)!1n一，11右取n8,则r8-4,故计算出77!104111e112.7183.2!38!例2计算痂精确到小数第四位.解因为524552432535223512%352355245311_2_4_±L-5l2-10532!53由于这是一个交错级数，故其误差可利用|rn|Un1确定.取n2,这时,32311212'故得出5.24531-255353.0049.例3计算In2的值，精确到小数第四位.解如果利用ln(1x)的展开式：1In2ln(11)1-理论上可计算In2,但这是一种“内耗”很大的交错级数，其误差不超过第n1项的值.欲使|rn|104,n至少

3、要取9999项,这太麻烦了，需要去掉带负号的项，故寻找收敛速度较快的级数来代替.减去ln(1x)xln(1x)其差是ln12,解出1x一代入上式,3ln211111335352n132n1其误差rn(x)2n132n12n332n3(2n1)32n13234(2n1)32n4(2n1)32n1这时故得出11|r4|74937787321111111233335八5rN3731ln20.6931.104二、定积分的近似计算利用幕级数不仅可以计算一些函数的近似值，而且还可以计算一些定积分的近似值，具体地说，如果被积函数在积分区间上能展开成幕级数，那么把这个幕级数逐项积分，用积分后的级数就可计算出定

4、积分的近似值.1计算0绘dx,精确到小数第四位.x由于limx0虫1,因此所给积分不是广义积分，如果定义皿在x0处的值为1,那么它在积分区间0,1上连续.由于犯的原函数不能用初等函数x表示，因此需要通过幕级数展开式来计算.利用正弦函数的展开式sinx3!5!,两边同除以x,得到sinx3!5!再逐项积分1sinx.一dxdx013xxdx03!4x7dx33!5!7!这是收敛的交错级数，其误差|rn|3,有77!工，故104sinx,/dx1x33!55!0.9461.11x2例5计算工e2dx,精确到小数第三位.20解易见e2的原函数不能用初等函数表示，因此考虑用幕级数展开式计算.利用展开式

5、x2n2n(1)x故有0n!n0n!2dx2!226x3dx3!23一-22!253!237取前四项的和作为近似值，误差为故得出1rnl24!24910310.3412.3361x211d11edx1-,2o,2640以上例题说明，幕级数在函数值及定积分的近似计算中有着广泛应用.对于用幕级数近似计算函数值，其思路和以前学过的用微分近似公式或泰勒公式近似求值的思路相似.对于用幕级数近似计算定积分，特别是在某些被积函数的原函数不能用初等函数表示时，便显示出幕级数方法的优越性.利用幕级数进行近似计算的重要一步是根据精确度要求确定展开式的项数n,这可通过估计余项7的误差得到：一种方法是将余项式子的各项

6、放大，使之成为几何级数，从而利用几何级数的和来确定n值（如例1,例3）,另一种方法是利用收敛的交错级数的特点：|rn|un1,由此来确定n值（如例2,例4,例5）.二、欧拉公式说明数学中重要的欧拉公式的最后应用复变量的指数函数的幕级数展开式,形成与推导过程.在复变量的理论中，我们定义指数函数ez（z为复变量）为ez123zzz1!2!3!nzn!(|z|,即z属于整个复平面）当zxi时，上式成为XIexi1一1!(xi)2(xi)32!3!(xi)nn!注意到i231,I.4I,I51,I即有xie1一2!4!cosxIsinx6x6!5x5!7x7!eXIcosxIsinx.把上式x换成x,又有exlcosxisinx.(2)将(1)(2)两式两边相加且同除以2,得xlxlcosxe-(3)2将(1)(2)两式两边相减且同除以2i,得xlxlee,、slnx(4)2l上述的一(4)都称为欧拉公式，它们建立了实三角函数和复指函数之间的联系.在(1)中，取x,可得el10克莱茵(Kleln,1849-1925彳惠国)认为，这是数学中最漂亮的公式之一.有人把(5)列为10个最优美的数学定理之首，它把数学中最重要的5个数0,1,l,e用一个等式联系起来，显示了数学中的统一美，(5)显示了