数学初中竞赛：梅涅劳斯定理和塞瓦定理训练含答案

1、内居脸图与才建信舞屣3一整舞吟r的T1在回黝曲.3三重碎域融战时期归它礼的瞰£«堆厥珈01BCAB.M开.EF细1MAbmCFMhCDW；Kansas-abcf；e5-?og氏r。.eo、匚ow鸵交灯为及ef.bekedc-fb训练与解析:1.如图，在ABC,AB>AC内切圆。I与边BC切于点D,AD与OI的另一个交点为E,OI的切线EP与BC的延长线交于点P,CF/PE且与AD交于点F,直线BF与。I交于点MN,M在线段BF上，线段PM与OI交于另一点Q证明：/ENP=/ENQ证明：如图，设。I与ACAB分别切于点ST,连接STAI、IT,设ST与AI交于点GC则I

2、ELPE,IDPD故I、E、P、D四点共圆,.AS2=AE?AD=AGAI,上/EA©/DAI,.AE净AID, /AG号/AID, .E,GD,I四点共圆， I、GE、P、D五点共圆， ./IGP=/IEP=90,即IGPG P、ST三点共线，对直线PST截4ABC由梅涅劳斯定理知+'I.IF.LT二1)iLFD1A.AS=AT,CS=CDBT=BD,世迪T二，CD一'设BN的延长线与PE交于点H对直线BFH截PDE由梅涅劳斯定理知4,罂*坐LrUbr.CF/BEEFPC-一I'D一L'HECDBFPH=HEPri=hE=hmthnPHHN=.-1.

3、'PHNTMHP./HPIN=/HMP/NEQ./PEN=/EQN./ENP=/ENQ2.如图，ABC勺垂心为H,ADLBC于D,点E在ABC勺外接圆上，且满足黑关线ED交外接圆于点M求证：/AMH=90°证明：作高BRCQ连结MBMCMPMQPQBDDCSBMESACME-BE-sinZMBE丹CEd.n/MCE叫四CMAC翳骷甫憬由得:CMCP又/MBA=/MCA .MBQMCP 点MA、P、Q四点共圆，即点MA、P、QH五点共圆,又AH为直径， /AMH90.3 .如图，在四边形ABCDK对角线AC平分/BAD在CD上取一点E,BE与ACt目交于F,延长DF交BC于G求

4、证：/GAC=/EAC证明：如图，连接BD交AC于H,过点C作AB的平行线交AG的延长线于I,过点C作AD的平行线交AE的延长线于J.对BCD!塞瓦定理，可得CGBHDE，小方面下一L因为AH是/BAD勺角平分线,由角平分线定理知理望HD-AD代入式得4因为CI/AB,CJ/AD则式理望.ECCJ心Xe*曰CIABAD.代入式得前而百江从而CI=CJ.又由于ZACI=180-ZBAC=180°/DAC=/ACJ所以AC陷AACJ故/IAC=ZJAC即/GAC/EAC4 .如图，四边形ABF加，GE分别为BRDF上一点，且/BAC=/DAEBECD交于点G连接AG求证：/FAC=/GA

5、E1又因为/BAC/DAE所以/FAO/GAE5.梅涅劳斯定理是古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的.它指出，如果一条直线与ABC的三条边ARBCCA(或其延长线)分别交于F、DE,则有前即CE=1解答以下*DCPEA(1)如图1所示，AB=AC=6,D为BC中点，点E在AC上，CE=2,点F在AB的延长线上，求FB的长.(2)如图2所示，等腰直角三角形ABC,ZACB=90°,D是BC中点，E在AB上，AE=2EB连接ADCE求证：AD±CE解：（1）AC=6,CE=2,证明：根据三角形的面积公式知,BF-sinZFAEBC$a计AC*ginZCAB?GDS疝gAD*sinZD

6、AG所以=1.AD-sinZDAExAF-sinZFABxAC-ginZCAGAF-sinZFAEAC-sinZCABAD”in/DAG整理即可得至U-'injC_MuFAE本理即付到.£jnNDAGEn/FAB,两个问题:AFnn/FAECGsaaccAC-sinZCAG又根据梅涅劳斯定理知,DEXFBXCGEFXBCXGDAE=AC-CE=4,点D是BC的中点,.BD=CD .AB=6一, .AF=ABFB,根据梅涅劳斯定理得，制bdCE=1,*DC*EA6+FBFB2X1X4=FB=6;（2，）如图，过点B作BF±BC交CE的延长线于F, ./CBF=90,A

7、CB=90°,，/ACB/CBF=180,BF/AC ./ACE=/F,/CAE=/FBE.AC曰BFEAC_AEBF-BE-AC=2BF, 点D是BC的中点，.BC=2CD在等腰直角三角形ABC,ZACB=90°,.AC=BC.BF=CDMwb在ACcmCB叶MB=/CBF=90°,lCE=BF.AC挈CBF/CAD=/BCF.ZACEZCAD=ZACEZBCE=ZACB=90°,/AGC90°,ADLCE6.在梯形ABC珅，AB/CDACBD交于点E,ADBC的延长线交于点H,过点E作FG/AB交AD于点F,交BC于点G,求证：AGBF、E

8、H三线共点.证明：FG/AB.盟里世卫FAEQ'GHHE'=1,同理：瞿若=1,点£为HAB勺赛瓦点,.型.殁型'DAQB&翳=1.QB1=1,.HFAQBG-PAQBGR=1,.AGBF、EH三线共点.7.如图，在ABC中，AQ平分/BACQDLBC交BC于点D,在BC上取一点E,使彳导/BAD=ZCAE在AE上存在一点K,使彳导/KBC=2/BQD求证：Q辞分/BKC证明：如图，作/CBK勺角平分线交QKFI,延长AQAE交BQCQ于MN连接于X,连接BN交AC的延长线于Y,BNCM于F,AQ交BC于G,设/MAQ：/NAQ=3,.AQ¥

9、分/BAC.包萼，ACCGC帜AB的延长线BAM=/CAN=a,./KBC=/2/BQa2ZCBI,.QDLBC/DBQ/BQ&90=/DBQ/CBI,.BUBQ由同角的内、外角平分线互相垂直，得：BQ平分/XBC，型MBCMC'股Saabn研式门。'阅SAAjQjrAQsinP'由得,里国空MB.GC=1,由塞瓦定理的逆定理得，BNCMAQ交于一点F,点F对于ABC由塞瓦定理（延长线）得,星90XSGCA,AXABCY二'XBACYACY=XBACYAAX'AB.,姻W二也典二小皿0既MCS/UCM口卬+2内），an(Cl+23)BN-YA我/

10、由二加式的BNSAABNABsin(a+25)sinClJN-ABsinCa+23=BN-YA由得,Xb,ACJWABbc,AX-BN-YAAX虹示厂|J由得，P，'YNmBNMMcyy由角平分线的逆定理得，CQ平分/BCY.Q>AKBCW旁心,.QKW/BKC8 .如图，已知ABC43,M是BC的中点，AD平分/A,B在AD上的射影为E,EB交AMFN,求证：DN/AB.证明：延长BEAC交于点F,连接ME如图:.AE平分/BACAEE!BE.BE=EF,.BM=CM.EM/AF,对于BD截线AMN由梅涅劳斯定理可得兴坐噜虫,MUAeNi>DN/AB证毕.9 .如图，在梯

11、形ABCD勺对角线AC的延长线上任取一点P,过点P与梯形两条底边的中点的连线分别交腰ABCD于点MN,求证：MN/AD/BCBK证明：又于ABCF口截线MKP由梅涅劳斯定理可得:AMBKCPMBKCPA.BK=CK.AMPA-,BMCF'对于ACDF口截线PNL由梅涅劳斯定理可得：务瞿二L=l,uPr®LA-.AL=LD,PAND.二一,MDN111'.MIN/AD/BC10 .如图，RtABC中，ZC=90°,D点和E点在ACAB边上，且DEJIBCP为线段DE上一点，使得/CPB=90°,CP的延长线交AB于点M延长AP交BC于点Q过Q作PB的

12、平行线交PCT点H,交AC于点ST为BC延长线上一点，且满足朱普=也专，UiU1UiLH证明：如图，连接DTET连接TS求证：TSLDQ.DE/BC*里,CFEB，理典.DPCCTPE二AP二DFBQ-AQCQ，迪旦里、KBTCHM由梅涅劳斯定理的逆定理可知E、HT三点共线,，区里10期PEPHBQFE'.CT=DP.CT/DP.TCPD1平行四边形，DT/CP.QSPB,CPLPB,QShDT.DChTQ，5是4丁口廓勺垂心，.TS±DQ证完.11 .如图，设P为？ABCDJ任意一点，过P作EF/ABGH/BCEF交A,BCT点E,F,GH证明：设ACEHf交于点K,迪ED

13、CKKACKAEDHBZ)对于CADW截线EHK由梅涅劳斯定理可得：.ABC匿平行四边形，且EF/ABGH/BC里更少.FCHCGBAGBF1函而-L由梅涅劳斯定理的逆定理可知GF、K三点共线，.ACGFEH相交于一点.12 .如图所示，已知D,E分别是ABC勺边BCAB上的点，AQCE交F,BF,DE交于G,过G作BC的平行线MN交ABCEAC于MH,N,求证：GH=NH解：过点E作ES/BC交AC于点S,CS8E.=NM/BCFGFH.I，对于4ABF及截线EGD由梅捏劳斯定理可得:ADFGBE,DFGBEA'.悝但二二,DFHCSA1由梅捏劳斯定理可知：S、HD共线,.GHEGS

14、N即CDEDSCCD'.GH=HN13.在ABC,D,E分别为ABAC上一点，DE交AF于HHGLBC连接DGGE(1)证明：GHDGE勺一条平分线;对于直线CBKa得ADE由梅涅劳斯定理得:MN,证明：GH为MNG勺一条角平分线.1,abodkoec?BDKECA对于点F与4ADE由塞瓦定理得:1,ABODHOEC(BDHECh:得:DKDHKEHE，线段DE被点HK调和,由调和点列结论1得，GHF分/DGE即GHDGE勺一条平分线;(2)延长NgBC于S,连接AM延长，交BC于T,对于直线STCa得AMN由梅涅劳斯定理得:对于点尸与AME由塞瓦定理得:;得,MSJH-SNHN/KGH90,由调和点列结论1得，GH¥分/MGN即GWMNG勺一条角平分线.14 .定理3（梅涅劳斯（Menelaus）定理）：一条不经过ABC任一顶点的直线和三角形三边BCCAAB（或它们的延长线）分别交于P,QR证明:即0QAR,PCQARBL证明：如图，由三角形面积的性质，有由xx，得A15 .由矩形ABCD勺外接圆上任意一点M向它的两对边引垂线MCWMP向另两边延长