数学模型人在雨中奔跑速度与淋雨量的关系

1、人在雨中奔跑的速度与淋雨量的关系摘要：本文通过对人在雨中奔跑速度与淋雨量的分析，运用统计分析和分类讨论的方法，得出人在雨中奔跑时最佳的奔跑速度与淋雨量的关系。因此从以下方面分析：一，设降雨淋遍全身不考虑雨的方向，经简化假设得人淋雨面积为前后左右及头顶面积之和。二，雨迎面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。因各个方向上降雨速度分量不同，故分别计算头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量。据此可列出总淋雨量W与跑步速度v之间的函数关系。分析表明当跑步速度为Vmax时，淋雨量最少。并计算出当雨与人体的夹角8=0、8=30°时淋雨量三，雨从背面吹来，雨线与跑步方

2、向在同一平面内，人淋雨量与人和雨相对速度有关。列出函数关系式分析并求解，可知当人速度v=2m/s时淋雨量最少四，列出淋雨量W和跑步速度v之间的函数关系式，利用MATLAB画出a分别为0°,10°，.90°的曲线图。五，雨线与人跑步方向不在同一平面内，则考虑人的淋雨面积为前后左右以及头顶。分别列式表示，总的淋雨量即为三者之和。1、问题的重述要在雨中的一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且保持方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快淋雨量越少。将人简化为一个长方体，高a1.5m/s（颈部以下），宽b0.5m,Bc0.2m,设跑步距离d1000m,跑步最大速度Vm5m/s

3、,雨速u4m/s,降雨量w2cm/h,记跑步速度为v。问题一，不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。问题二，雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为，如图1,建立总淋雨量与速度V及参数a，b，c，d，u，w，之间的关系，问速度多大，总淋雨量最少，计算0，30°时的总淋雨量。问题三，与从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为a,如图2.建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，w，之间的关系，问速度多大，总淋雨量最少，计算30°时的总淋雨量。问题四，以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对（3）作图（考虑a

4、的影响），并解释结果的实际意义。问题五，若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么样的变化。2、问题的分析问题一，将人体简化成长方体，雨以降雨量w均匀地淋遍全身，求出人接受雨的总面积，人以最大速度跑步，并计算淋雨时间、单位时间、单位面积上的降雨量，求出人跑完全程的总淋雨量W问题二，雨迎面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内且与人体夹角为9,如图1所示。根据分析可以得到人在头部及身体前面淋雨，计算模型中长方体的面积，再根据人的速度和跑步路程得出时间t，进而求出在人体总的淋雨量.据此可得W与v之间关系，并能求出8=0和8=30°时的总淋雨量。问题三，雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同

5、一平面内且与人体夹角为a,如图2所示。左右方向上淋雨量为00头顶上单位时间内接收雨的量W1与雨速垂直方向上的分量成正比，Wi为头顶面积bc与时间的d/v以及wi之积。当vusin时，前方不受雨，前后方向上单位时间内淋雨量W2与人前进方向上人相对于雨的速度（usin8-v）成正比,据此推算出W2；而当vusin时，后方不受雨，由于人速已经高于雨速，这时前面会向前撞上雨滴，即W2与vusin成正比。W2为人体前面积ab和跑步时间d/v顶淋雨量以及W2之积。由此可计算出总的淋雨量。WW,W2,据此可得W与v之间关系，并能求出a=30°时的总淋雨量。问题四以总淋雨量W为纵轴、速度丫为横，针对

6、问题三的求解，利用MATLAB当a分别为0°,10°,20°,30°,40°,50°,60°,70°,80°,90°时的曲线图并加以分析。问题五，如图三，为人体模型的俯视图。需要分三部分计算，在前后面上，雨垂直方向分速度为ucos,相对速度为vusincos,乘上垂直受雨的面积ab以及时间9v即为前后侧受雨量W20因为垂直于左右面人的分速度为0,左右两面上相对速度为usinsin乘上面积ac以及时间极为左右受雨量W3.而头顶受雨与雨速和人速夹角v大小无关，因此Wi仍按（2）、（3）问的算法做。由

7、WW,W2W3可得雨量求法公式。1csin3bcos33、模型的假设与符号说明、模型的假设1、把人体视为长方体，人体行走过程中的震荡引起的误差可忽略不计。丫大小与方向包定，即沿直线匀速前进。2、问题1中不考虑雨下落的方向，假设为自由落体。人体各个方向均匀接受雨量，即单位时间、单位面积上接受雨量恒定。3、问题2、3雨线与跑步方向在同一平面内，并且雨线与人体夹角不变。在此过程中左右两侧因与雨速平行而不沾雨。4、假设雨的密度相同，雨滴大小、形状相同，雨速均匀不变5、假设单位时间内接收雨的量与雨速成正比。、符号说明h：人的身高w:宽度d:厚度v:速度:降雨下落方向与人的夹角W:淋雨总量I:降雨大小（降

8、雨强度）D:路程4、模型的建立与求解问题一：不考虑雨的方向，因为降雨量w均匀地淋遍全身，所以在将人体简化成长方体的情况下，忽略次要因素，人以最大速度跑步，根据淋雨时间、单位时间、单位面积上的降雨量等有关条件，列出总淋雨量W的求解公式如下：W2abbc2acw-d-,禾I用vmaxMATLA褊程求解，可得：W0.0024m3问题二：将降落在人体上的雨滴分成两部分，s1（顶部）S2（前面），人体接收的雨量和头顶面积、头顶部分与雨滴垂直下落方向分量u1、行走时间有关。列式求解如下:头顶：u1ucos0Sibc假设降雨量w与与点密度（均匀不计）淋雨量与人相对速度有关，所以:wUiw1wcos0正面：v

9、2vsin0Ww1sltdwcos0bcvbcdw八cos。vW2vsinOuvsin0w2s2tvsin0+1uabdw-vbdwcv当v=5m/s时，淋雨量Wft小；当0=0°时,m3,当8=30时，W=m3av.sin。au利用MATLA踹程求解，可得:问题三:将降落在人体上的雨滴分成两部分,s1（顶部）S2（前后两面），s1面积为s1bc假设：w1与雨点密度，雨点与人的相对速度成正比而雨点均匀分布头顶:W1V1ViucosS1W1tw1wcos,dbcw-cosv正面：当usin<v时，人速大于垂直于人前后面的雨速，雨会沾到人的前面w2V2V2vusinvusinwuv

10、usinW2wabdv当usin8V时，人速小于垂直于人前后面的雨速，雨会沾到人的后面W2V2V2usinvusinvwuW2因为WWiW2编程求解可得:为m3o问题四:合速度总淋雨量若ccos最小。（如下图）bcwcosusinVbcwcosduvusinv.d一wabv,d一wabvusin>vsin当V=2m/s时，总淋雨量最少;雨线方向与人体夹角为30°v时，淋雨量usinvbcwcosdWvbcwcosd-asin<0,即：tanusinuvusinV.6-wabvd-wabvusinusin>c/a,贝v=usin时,Wft小。否则,vV=VmBWQQ当

11、a=30°,tan>,v=2m/s,W升最小，可与v=Vm,升相比。分析结果的实际意义可知，当雨从背面吹来，只要不太小，满足tan>c/a,即：>时，v=usin,W最小。此时人体背面不淋雨，只有顶部淋雨。问题五：顶部淋雨量W1=bcdwsincos/v该问题中，只举例研究雨从正侧面吹来。设雨线与跑步速度方向夹角为。作图如下:雨速水平分量ucos(方向与v相反)合速度ucos+v单位面积时间的淋雨量(ucos+v)/u迎面淋雨量W2=abd(ucos+v)/uv侧面淋雨量W3=acdwsinsin/v所以，总淋雨总量:W=W1+W2+W3=bcdwscos/v+abdw(ucos+v)/uv+acdwsinsin/v由以上式子可知，当v最大时，W最小。其他情况与问题二处理类似，利用速度分解和合成，可以解决。本质并无区别。5、模型的评价、模型优点通过模型的建立，对雨的各个方向进行了讨论，比较客观得出了人的速度与淋雨量的关系。同时应用了matlab等软件的得到了比较准确的结果，并与实际情况相比较，忽略次要干扰，得到了