数学所有不等式放缩技巧及证明办法

1、高考数学所有不等式放缩技巧及证明方法,、裂项放缩精心整理iif!-2!yr4m:2k-12k+1/CC*社+1)M(片一1)n(n-1)?t(n-l)电扁h)白鬲诵,白(12)：11(111J>7/v'M(M-1X«'M(n-V)；M(M+1)Jn+1-V'm-I、金】J1Jw+l+玄口JJ2Gi+l(15)M，'-1-«J*-1_i'-J'_，-ji-j-07n6-i-V?+i)v?-i-V7-i例1.(1)求的值;(2)求证：JM.精心整理例2.求证:,1112F卜一+32522二(2n-1)2612(2n-1)(n

2、_2)(2)求证:111112416364n2214n求证:113135135(2n"：、2n1-12242462462n(4)求证:12(n1-1)：二111-13n:二2(2n1-1)例3.求证:6n(n1)(2n1)<111：549n23精心整理例4.（2008年全国一卷）设函f(x)=x-xlnx.数列,满足0<ai<1.an+=f(sn).设bg）,整数支.证明：例5.已矢nm”x>_16=1m+2m+3mi+nm,求证:nm1(mg(n1)m1-1精心整理例6.已矢q=4n-2n»2na1a2-an证:T2T3Tn求证:例7已知QiXnd

3、Uy.'.1'，L,n1(n=2k,kwZ)”1一二一1.-12(n1-1)(nN*)444冷X3X4X5X2nX2n1、函数放缩iIInln2In3In4.In32343n例8.求证:5n6_*(nN)例9.求精心整理ln2ln3Inn2n2-n-1zLrI1Ia>2,+<(n之2)2:3:n2(n1)例10.求证：5+23111:ln(n1)<1n12n例11.求证：（1(1+/e和(1例12.求证：(1+1父2)(1+2M3)1+n(n+1)十例14.已知,2（1+六）an+.证明精心整理2ane例16.（2008年福州市质检）已知函数f(x)=xlnx

4、.若a0b0,证明f(a)(ab)ln2_f(ab)-f(b).:、分式放缩例19.姐妹不等式:(11)(11)11)(12n1和（1-权1T（1-6）呜焉也可以表ZK成为!2462n-市和135(2n-1)135：(2n-1)12462n,2n1精心整理例20.证明：(1+i)(i+/+1广(1+e)标1.四、分类放缩例21.求1n2n-12证:例23.(2007年泉州市高三质检)已知函数f(x)=x2+bx+c(b2：1,csR),若“X)的定义域为1,0,值域也为1,0.右数歹!)也满足f(n)*bn=T(nwN)n)记数列bn的前n项和为Tn，问是否精心整理存在正常数A,使得对于任意正

5、整数清B有？并证明你的结论。例24.（2008年中学教学参考）设不等式组：表示的平面区y<nx+3n域为、设，内整数坐标点的个数为an.设TX,当n“时，求an1an2a2n证:工工工工71.3i3293a2n36.精心整理五、迭代放缩例25.已知黑“，求证：当时,1例26.设&=里十警十十snn!,求证：对任意的正整数k,若knn恒有:|S+k&|<-21222nn.Gy.1i.jr-J.|I-二IIIiI六、借助数列递推关系精心整理例27.求证:135(2n-1)246：2n:二2n2-1例28.求证:以+爱135(2n"L2n1-12462n证:例2

6、9.1若n+1,求111_2(.n1-1)&a?an精心整理七、分类讨论例30.已知数列向的前“项和S满足s-证明：对任意的整数.m>4/(=|1+<7&a5am8卜II八、线性规划型放缩例31.设函数叱筌.若对II一切X,-3vaf(x)+b求a-b的最大值。精心整理九、均值不等式放缩例32.设0=麻+、国+所.求证n(n1)23S-(：1)Sn、_1_若1a2bx)/2例33.已知函数力仁，且,(X)在0,1上的最小值为2,求：f(1)+f(2)+f(n)>n+声T例135.求证C：+C2+C：+C：>n2'1肝N)例36.已知3ex+e,求

7、精心整理证:例37.已矢,1f(x)=x-x,nf(1)f(2)f(3)f(n).(en11)，工正:f(1)f(2)f(3)f(2n)2n(n优例38.若Q7,求证：+七梳例39.已知f(x)=a(x-x1)(x->2)求精心整理tZE:f（o）f（i）一有.例40.已知函数f(x)=x2(1)k21nx(kCN*).k是奇数，nN*时，求证:f'(x)n2n1f'(xn)>2n(2n-2).例41.（2007年东北三校）已知函数f(x)=ax-x(a1)（1）求函数他）的最小值，并求最小值小于0时的取值范围;精心整理令S(n)=C：f'(1)C2f

8、9;(2)C,f'(n-1)求证：S>(2n-2)f'g)例43.求证:1=+-一n1n23n1产II十、二项放缩例44.已知n+=(1+会证明an<e2.i.r-J1"f"8-.|I-二I一I例45.设Fn,求证：数列g单调递增且“精心整理例46.已矢-a+b=1,a>0,b>0,aan+bnz21H例47.设in,求证0E)晨.例49.已知函数f，x)的定义域为0,1,且满足下列条件：Q.1i对于任意xw0,1，总有f，且IIij!IIf1=4；若x*0小0x+%M1则有fX1X2-fX1f(X2)-3.精心整理（i）求f，0）的

9、值；（n）求证:f（X）W4；（ID）当xW（n=1,2,3,）时,试证明：f（X）3x+3.例50.已知求证:a+a2NI+an=ia>0(i=1,2n)22224也.上川.anj.一Jaia2a2a33n4anana12精心整理十二、部分放缩（尾式放缩）例55.求证:1114+<例56.设5:a"求证："2例57.设数列外满足a+=a2-na+1nwN+)兰3132132nJ17小时证明对所有nzi,有an2n+2；1111(ii)11-1<11a11a21an2精心整理1、添加或舍弃一些正项（或负项）例1、已知Xi"求证:n12一3a1a2

10、，+_2-a2a3a。*n(nN).an12、先放缩再求和（或先求和再放缩）1i例2、!函数f”为，求证：f+f1 1*2 2）+f（n）>n+（nN）.2n23、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）精心整理nk-例3、已知an=n,求证：着2a一<3.4、放大或缩小“因式”；例4、已知数列an满足2,032:一外力孤2;.k-1325、逐项放大或缩小例5、设an=£122334.n(n1)求证:精心整理6、固定一部分项，放缩另外的项；4v|lGVKz"i71iiii761222321H常447、利用基本不等式放缩X：/II例7、已知、证明：不等式k一中>1对任何正整数m,n都成立.<<L_'|一；|-71./构造函数法证明不等式的方法一、移项法构造函数精心整理【例1】已知函数f（x）=l,求证:当x>_1时,恒有Jmx+DMX2、作差法构造函数证明例2已知函数fT+lnx.求证:在区间（）上，函数f（x）的图象在函数二，"家的图象的下方；;I'&q