从“植树问题”看模型思想的教学

1、从“植树问题”看模型思想的教学一、一道期末试题与原因分析小明从第1 棵树匀速走到第6 棵树用了3 分钟，那么以相同的速度从第一棵树走到第30 棵树需用几分钟？（每两棵树之间的距离相等）思路简析：很显然，这道题属于“植树问题”的拓展应用，解答这道题首先要知道“植树问题”的间隔规律（棵树比间隔数多1） ， 然后根据间隔规律分别推算第1 到第 6 棵树之间有5个间隔，每个间隔时间为3+5=0.6分钟。然后再根 据1到30棵树有29个间隔，将0.6X29求生共需要的时间。访谈中，我们了解到大多数学生对不同“植树问题”的间隔规律不是很理解，不清楚这道题要归结为哪一种模型的“植树问题”来解决。原因分析：

2、“植树问题”在人教版四年级下册已经学习过， 2014 年修订教材调整到五年级上册，按道理应该不难理解。可学生的得分率如此之低很是出乎笔者的意料。经过访谈，笔者了解到，大多数学生都能说出间隔数和植树棵树之间的关系，但是将植树问题模型与生活实际相关联不熟悉，笔者认为这可能与教师授课时的侧重点有关系。该班级的教师在四年级教学时，采用整体教学的办法，把“植树问题”的三种类型，即所谓的“两端都种” “只种一端”与“两端都不种”在一节课中同时呈现。并将“三种情况”的区分以及相应的计算方法（ “加一” “不加不减”与“减一”）看成一种“规律”，要求学生熟练记住，牢固掌握。由于时间紧张，该教师在比较三种类型后

3、没有时间进行把生活中的问题转化成“植树问题”的环节，课后也没有花时间进行专项训练， 致使学生对模型的理解仅仅停留在典型的 “植树问题”上。 有些学生虽然会解决这一问题，但这些学生尚不能把 “植树问题”的解决方法与生活中相似的现象进行知识链接，这就导致了能找到规律但不会熟练运用规律解决问题。二、对“植树问题”教学中问题的反思1. 教学时应注重“植树问题”的模型应用。“植树问题”的教学涉及两种层面的数学活动：其一，“植树问题”可区分出三种不同的数学模型，即 “两端都种”“只种一端”与“两端都不种”；其二，以“植树问题”为原型引出普遍性的“间隔现象”的思考模式，然后再利用这一模式去解决各种新的实际问

4、题，如“路灯问题” “排队问题” “锯树问题” “爬楼问题”等。在实际教学中，教师们往往过于重视第一个层面的教学活动，即注重三种不同模型的区分，而对第二个层面的教学活动缺乏应有的重视。这样就可能导致学生未能清楚地认识到上述现实问题都与“植树问题”有着相同的数学结构，可以被归结为同一个数学模式，这样的“植树问题”教学无疑是有问题的。本题较低的得分 率提醒我们： “模式应用”要比“三种情况的区分”有着更大的重要性。俞正强老师执教的“植树问题”一课。他在引导学生理解了“植树问题中的树是种在平均分的点上”后，随即提出一个问题让学生思考“除了植树人把树种在点上，还有什么人把什么也放在平均分的点上？”这个

5、问题很巧妙地将“植树问题”引入生活，让学生回到生活中找“植树问题”。学生列举这些例子：服务员杯子的放法，工人每隔几米打地基，路灯的建设，每隔40 米建一幢房子等都是放在平均分的点上。显然，学生所说都是比较平常的事例。此时，俞老师有意举出不同的例子： “高速公路，每隔 50 米设 1 个服务区”“美国选总统每 5 年选一次” “每隔一学期一张奖状”等引导学生理解这些例子与植树类似。在俞老师的拓展启发下，学生想出的生活例子更多了。最后俞老师小结： “生活中的植树问题，研究的是平均分中的点。 ”在这个环节中，俞老师花的时间比较多。其实就是从抽象的数学模型出发，联系生活实例，拓宽学生思路，不断加深对“

6、植树问题”这类数学模型的理解，取得了很好的教学效果。2. 改进“植树问题”的模型建构策略。策略一：从除法的意义入手建构模型。笔者认为，学生在学习“植树问题”之前已经学会用除法算式解决实际问题，那么，在解决“植树问题”的过程中可以基于学生的学习基础，从除法的意义入手，将“植树问题”作为用除法解决问题中的一类特殊情况加以处理，可以采用“一一对应”的思想，在理解“间隔数和棵树”这两者关系的基础上，引导学生逐步建构“商 +1 ，商，商-1 ”的植树问题模型，并在解决问题的过程中学会具体问题具体分析，判断数学模型，应用数学模型解决问题。俞正强老师分四个层次解决“植树问题”的建构问题。（ 1）从除法意义入

7、手。第一个问题：“ 20 米，每 5 米分一段，共分几段？”这个问题是二年级平均分的问题。学生一下就列由了算式：20 + 5=4 （段）。“为什么用除法来做？”“你什么时候会做这种题目的？”通过一连串问题，回归除法的意义，帮助学生复习一一用除法算式解决问题的最根本的意义是平均分。（ 2）变式思考。第二个问题：“ 20 米路，每5 米栽一棵树，共栽几棵树？”学生的普遍想法是： 20+5=4 （棵），都认为也是在把20 平均分，所以是4 棵。而只有一位学生的想法是不同的，他认为是“20 + 5+1=5 （棵）”，因为在0米时要种一棵。俞老师通过一连串追问，学生不断地进行思考与表述，最后通过画图得出

8、是5 棵。利用数形结合思想，帮助学生理解“树是种在哪儿的？”3）两题比较。俞老师追问： “这两题一样吗？不一样在哪里？”学生通过对问题的思考，区分出平均分是一段一段地分，而种树是种在段与段之间两端的点上。教师板书：点。 接着，教师不断追问： “点与段的差别在哪里？” “点多，还是段多？” “怎么个多法？”“ 1 段是 2 点， 2 段是 3点，3段是4点，4段是5点”当学生清楚地得由“棵（点）=1+平均分”时，教师小结： “植树是植在点上的。 ”（ 4）问题变式。如果把20 米改成 50 米，改成100 米，200 米呢？还能解决吗？ “不管换成多远， 方法都是一样的。”俞老师将例题引申到更为

9、普遍的现象中。策略二：从基本模型拓展到其他模型。前文提及，在“植树问题”中涉及“两端都种” “只种一端”与“两端都不种”这三种模型，笔者认为，这三种模型应该以“两端都种”为基本模型，教学中不应该对三种模型平均用力，可重点教学“两端都种”，在此基础上通过变式发展得到“只种一端”与“两端都不种”的数学模型。这样既把握了三种数学模型的内在联系，又避免了教学时间不足的矛盾。仍以俞老师执教的“植树问题”为例：教师在引导学生建立“ 20+5+1”这个数学模型后，巧设了两个变式情境，并做拓展。（ 1）一端不种。教师问： “某某小朋友，你扛着 5 棵树准备去种，如果其中一端被一栋房子挡住了，你怎么办？”在教师的引导下，学生得由方案：带回一棵树，即“ 20 +5+1-1 ”，也就是一端不种减1。（ 2）两端不种。教师又问：“某某小朋友，你也扛着 5棵树去种，两端都被房子挡住了，你怎么办？”此为呈现出另一种特殊情况，即两端不种，带回两棵。学生得出方案：“20 + 5+1-2”，即两端不种减 2。这两个模型则是在“ 20+5+1”这一经典模型的基础上演变出来的。带回1 棵就减 1，带回 2 棵就减2。清楚直观，不易混淆。（3）模式拓展。教师又追问：“除了种树外，什么情况下可以一端不种，什么情况下可以两端不种？”通过再一次的举例，学生对“植树问题”在生活中的应用有了更为深入的理解。