第三章离散小波变换

1、第三章 离散小波变换3.1 尺度和位移的离散化方法对于连续小波而言，尺度a、时间t和与时间有关的偏移量都是连续的。如果利用计算机计算，就必须对它们进行离散化处理，得到离散小波变换。本章主要内容尺度和位移的离散化方法小波框架理论二进小波变换3.1 尺度和位移的离散化方法为了减小小波变换系数的冗余度，我们将小波基函数 的a、限定在一些离散的点上取值。)(1)(,atata离散化方法（1）尺度的离散化。目前通行的做法是对尺度进行幂数级离散化。即令a取2 , 1 , 0),(, 0,02000jtaaZjaaajjj对应的小波函数是：离散化方法（2）位移离散化。通常对进行均匀离散取值，以覆盖整个时间轴

2、， 满足Nyquist采样定理。在a=2j时，沿轴的响应采样间隔是2j 0，在a0=2情况下，j增加1，则尺度a增加一倍，对应的频率减小一半。此时采样率可降低一半而不导致引起信息的丢失。00jka因此在尺度j下，由于 的宽度是 的 倍，因此采样间隔可扩大 ，而不会引起信息的丢失。 可写成：离散小波变换的定义为：)(0taj)(tja0ja0) (,ta)(002000020ktaakataajjjjjZkjdtttfkaWTkajfj，, 2 , 1 , 0,)()(),(00,00一般，取a0=2，则a=2j，=2jk0，则采样间隔为=2j0当a=2j时，的采样间隔是 2j0 ，此时， 变为

3、：)(,taZkjtktkjjj；即, 2 , 1 , 0),(),2(2,02一般，将0归一化，即0=1，于是有：此时，对应的WTf为：)2(2)(2,kttjjkjdtttfkjWTkjf)()(),(,离散化过程中的两个问题一、离散小波能否完全表征函数f(t)的全部信息。二、是否任何函数f(t)都可以表示为以 为单位的加权和。即如果可以，系数 如何求？)(,tkjZkjkjkjtctf,)()(kjc,3.2 小波的框架理论1 框架的定义在希尔伯特空间H中有一族函数 ，如果存在0AB，对所有的fH，有：称 是H中的一个框架。常数A、B的意义。Zkk222|,|fBffAkkZkk框架的定

4、义若A=B，则称为紧致框架，此时：如果A=B=1，则 此时， 是正交框架，若 ， 则 是规范正交基。ZkkZkkkkfAf22|,|kkff22|,|12k2.对偶框架的定义对偶函数： 的对偶函数 也构成一个框架，其框架的上下界是 上下界的倒数。即：kkkBAfBffAk0 ,1|,|12223. 通过框架对原函数进行重建重构定理：令 为其对偶框架，则f(t)通过下式重构：如果A=B=1，这时 是一组正交基，所以重建公式为：的一个框架，是HHtfZkk,)(Zkk)(,)(,)(tftftfkkkkkk)(,)(tftfkZkkk通过框架对原函数进行重建在紧框架情况下，如果 ，我们定义算子S如

5、下：求逆，得：这时，只有 ，重构公式才成立。当 的时候，如果A，B越接近，上式的误差越小。)(,1)(tfAtfkZkkBAZkkktftSf)(,)(kZkkZkkkSftfStf11, )(,)(kkS1BA4. 框架和Riesz基Riesz基的定义：设有 满足下列要求：便意味着 ，也就是要求 是一组线性独立族。则称 为一组Riesz基。Zkk时，当0)2() 1 (22ZkkkZkkZkZkkkkccBccA0kcZkkZkk1.小波框架的定义：如果当基本小波函数（t）经伸缩和位移引出的函数族具有如下性质：Zkjkttjjkj,),2(2)(2,BAfBffAjkkj0 ,|,|22,2

6、我们称 都成了一个框架，上式为小波框架条件。其频域表示为： 的对偶函数 也构成一个框架。 Zkjkjt,)(0 ,| )2(|2Zjj)(,tkj)2(22,ktjjkjBAfBffAjkkj0 ,1|,|122,22.小波框架的性质（1）满足框架条件的 ，其基本小波必定满足容许性条件。（2）离散小波变换具有非收缩时移共变性。（3）离散小波框架 存在冗余性。)(,tkj)(tZkjkjt,)(3.离散小波变换的逆变换如果离散小波序列 构成一个框架，上下界为A和B，根据上节讨论的函数框架重建原理，当A=B时，离散小波的逆变换为：当 时，但二者比较接近时，作为一阶逼近，可取)(),(1)(,)(,

7、tkjWTAtftfkjkjfkjkjkjBA)(2)(,tBAtkjkjZkjkj,所以重建公式近似于：同样，A和B越接近，误差就越小。在紧框架情况下，)(,2)(,tfBAtfkjZkjkjjkkjxtkjWTAtf)(),(1)(, 点的WT为：将f(t)代入上式有：式中),(00kjdtttfkjWTkjf)()(),(0,000dtkjWTkjkjKAkjWTjkff),(),;,(1),(0000)(),()()(),;,(0000,*,00ttdtttkjkjKkjkjkjkj3.3 二进小波变换二进小波的表示形式。)2(2)(2,2kkttk令小波函数为 ，其傅立叶变换为 ，若

8、存在常数A，B，当 ，使得此时， 才是一个二进小波，上式为二进小波的稳定性条件。)(t)(BA0ZkkBA2| )2(|)(t定义函数 的二进小波变换系数为：其中：设 的傅立叶变换为 ，由卷积定理得：)()(2RLtfdtttfttfWTRkkkk)2()(2)(*)()(2,22)2(22,2kktk)(2jWT)(2jWT)2(2)()(22kjjeFWTj对 ，总有关系式：此式说明二进小波 构成了 的一个框架，所以它的小波逆变换公式是存在的。二进小波的重建公式为：)()(2RLtf222)(fBWTfAZkj)(,2tj)(2RLdtWTtfjkZkR)()()(,22（1）二进小波满足小波母函数容许性条件，即二进小波必为基本小波。（2）二进小波是冗余的。由框架理论知：当不满足A=B=1时，框架是冗余的，也就是二进变换系数之间具有一定的相关性。二进变换系数之间的关系满足重建核方程。由重建核方程，可知，不是任意函数序列都可以作为某一函数的二进小波变换，只有当它们都满足重建核方程时，才能看做某一函数的二进小波变换。