2.1利用等价无穷小量代换求极限ppt课件

1、设在某一极限过程中, ) ( lim 或为若a . limlim 则, , 第七节第七节 利用等价无穷小量代换利用等价无穷小量代换求极限求极限证综上所述, , lim 则设a , limlimlimlimlimlima , 0 , 0lim , lim 的情形即则设a . lim , 0lim 故于是 . limlim限过程中的第三个变量.z 是该极 设在某极限过程中, limlimzz( 或为 ), 那么假设, limaz zz lim lim，a由定理 1, 得0 1limz, 故 lim z = . 综上所述,设 那么, limaz z limlim那么设 ， 0 1lim z, lim

2、 z证 limlimzz设在某极限过程中, , , 那么 .传递性无穷小量可以用其等价无穷小量替代.定理告诉我们:在计算只含有乘、除法的极限时,例例 .21sintanlim 30 xxxx直接计算可得 如果在加减法中用等价无穷小量替代, 则会产生错误: . 0limsintanlim3030 xxxxxxxx ) .sin ;tan , 0 (xxxxx时将常用的等阶无穷小列举如下: xx sinxx tan2cos12xxxx )1ln( mxxm11211xx nxxn1)1 (xex1axaxln12sintan3xxx xx arcsinxx arctan 当 x 0 时 , , ,

3、 0 .mnNa其中xxx53lim053xxx5sin3tanlim0 xxx5sin3tanlim0求例解xxx1sinlim2xxx1sinlim2求xxx1lim2xxlim例解xxxxtansin21lnlim0 xxx21lim0 xxxxtansin21lnlim0求xxxtan)1ln(21lim0 xxxtansin2lim0 xxx2lim0212例7解3221lnlimxxx02limxx3221lnlimxxx求322limxxx例解例例.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当 30)2(limxxxx 原式原式. 0

4、 解解,0时时当当 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 错错 解例 . ),cos1 (1)1 ( , 0 312axaxx求常数时已知 ,2cos1 ;1 , 0 2得时由xxnxxxn ,322 3 limcos11)1 (lim12203120axaxxaxxx.23 a故小结小结等价无穷小的代换等价无穷小的代换:求极限的又一种方法求极限的又一种方法, 注意适用条件注意适用条件.一、一、 填空题：填空题：1 1、xxx2sin3tanlim0=_.=_.2 2、mnxxx)(sinarcsinlim0=_.=

5、_.3 3、xxx)21ln(lim0 =_.=_.4 4、xxxxxarctan1sin1lim20 =_.=_.5 5、nnnx2sin2lim =_.=_.6 6、xaxnx1)1(lim10 = =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .练练 习习 题题7 7、当、当0 x时，时，)0(3 aaxa 对于对于x是是_阶无穷小阶无穷小 . .8 8、当、当0 x时，无穷小时，无穷小xcos1 与与nmx等价，则等价，则 ._,nm 二、求下列各极限：二、求下列各极限：1 1、xxxx30sinsintanlim ；2 2、 eelim；3 3、xxxx sinsinlim0 ；4 4、axaxax tantanlim；三、三、 证明：若证明：若 ,是无穷小，则是无穷小，则)(0 . .四、设四、设 f(x)=f(x)=1)cos(2sinlim212 nnnxbxaxx 求：求：1 1、)(xf的表达式的表达式 . . 2 2、确定、确定ba,的值的值, ,使得使得)1()(lim1fxfx ， )1()(lim1 fxfx . .一、一、1 1、23； 2 2、 nmnmnm, 1, 0；3 3、2 2； 4 4、 ； 5 5、x； 6 6、na； 7 7、3 3； 8 8、21, , 2.2.二、二、1 1、21； 2 2、 e； 3 3、 ； 4 4、