用割补法求面积

1、在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。例 1 求下列各图中阴影部分的面积：分析与解 ：（ 1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中弧所形成的弓形，其面积等于扇形 OAB 与三角形 OAB 的面积之差。AB 4 44-42=4.56 。（ 2）在题图虚线分割的两个正

2、方形中，右边正方形的阴影部分是半径为个圆，在左边正方形中空白部分是半径为 5 的四分之一个圆。5 的四分之一如下图所示， 将右边的阴影部分平移到左边正方形中。好等于一个正方形的面积，为55=25 。可以看出， 原题图的阴影部分正例 2 在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。分析与解 ：阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。（ 1）割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角（ 2）拼补法将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。积和平行四边行面积同时除以2，商不变。所以原题

3、阴影部分占整个图形面（ 3）等分法将原图等分成9 个小三角形（见右上图），阴影部分占3 个小三角形，注意，后两种方法对任意三角形都适用。也就是说， 将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。例 3 如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长 5 厘米、下底长 9 厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。分析与解 ：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（上页右下图），图中阴影部分是边长9 厘米与边长5 厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积

4、的 4 倍。所以所求梯形面积是（99-5 5） 4=14 （厘米 2）。例 4 在左下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。分析与解 ：题中给出了两个似乎毫无关联的数据，无法沟通与矩形的联系。我们给这个直角三角形再拼补上一个相同的直角三角形（见右上图）。因为A 与 A，B 与 B面积分别相等，所以甲、乙两个矩形的面积相等。乙的面积是46=24 ，所以甲的面积，即所求矩形的面积也是24。例 5 下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20 厘米，甲正方形比乙正方形的面积大 40 厘米 2。求乙正方形的面积。分析与解 ：如果从甲正方形中“挖掉 ”和乙正方形同样大的正方形丙，所剩的A ，B ，C 三

5、部分之和就是40 厘米 2（见左下图）。把 C 割下，拼补到乙正方形的上面（见右上图），这样A ，B， C 三块就合并成一个长20 厘米的矩形，面积是40 厘米 2，宽是 40 20=2 （厘米）。这个宽恰好是两个正方形的边长之差，由此可求出乙正方形的边长为（ 20-2 ）2=9（厘米），从而乙正方形的面积为99=81（厘米 2）。练习 221.求下列各图中阴影部分的面积：（1）（2）2.以等腰直角三角形的两条直角边为直径画两个半圆弧（见下图），直角边长4 厘米，求图中阴影部分的面积。3.在左下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部分是一个直角梯形（阴影部分）。已知梯形的面积为3

6、6 厘米 2，上底为3 厘米，求下底和高。4.在右上图中，长方形AEFD 的面积是 18 厘米 2，BE 长 3 厘米，求CD 的长。5.下图是甲、乙两个正方形，甲的边长比乙的边长长3 厘米，甲的面积比乙的面积大45 厘米 2。求甲、乙的面积之和。6.求下图（单位：厘米）中四边形ABCD 的面积。五年级奥数专题二十一 :用等量代换求面积一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽

7、的关系明朗化，找到解题思路。例 1 两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。分析与解 ：阴影部分是一个高为3 厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。因为三角形ABC 与三角形DEF 完全相同，都减去三角形 DOC 后，根据差不变性质，差应相等， 即阴影部分与直角梯形 OEFC 面积相等， 所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC 的面积。 直角梯形 OEFC 的上底为 10-3=7 （厘米），面积为（7+10 ） 22=17 （厘米 2）。所以，阴影部分的面积是17 厘米 2。例 2 在右图中，平行四边形ABCD 的边 B

8、C 长 10 厘米，直角三角形ECB 的直角边 EC 长 8 厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG 的面积大10 厘米 2 ，求平行四边形ABCD 的面积。分析与解 ：因为阴影部分比三角形EFG 的面积大10 厘米 2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD 比直角三角形 ECB 的面积大 10 厘米 2 ，所以平行四边形 ABCD 的面积等于10 82+10=50 （厘米 2 ）。例 3 在右图中， AB=8 厘米， CD=4 厘米， BC=6 厘米，三角形 AFB 比三角形EFD的面积大18 厘米 2。求 ED 的长。分析与解 ：求 E

9、D 的长，需求出EC 的长；求 EC 的长，需求出直角三角形ECB 的面积。因为三角形AFB 比三角形EFD 的面积大18 厘米 2 ，这两个三角形都加上四边形FDCB 后，其差不变，所以梯形ABCD 比三角形ECB 的面积大18 厘米 2。也就是说，只要求出梯形ABCD 的面积，就能依次求出三角形ECB 的面积和 EC 的长，从而求出ED 的长。梯形 ABCD 面积 =（ 8+4 ） 62=36 （厘米 2），三角形 ECB 面积 =36-18=18 （厘米 2），EC=18 62=6 （厘米），ED=6-4=2 （厘米）。例 4 下页上图中， ABCD 是 74 的长方形， DEFG 是

10、10 2 的长方形，求三角形BCO 与三角形EFO 的面积之差。分析：直接求出三角形BCO 与三角形EFO 的面积之差，不太容易做到。如果利用差不变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个图形的面积之差容易求出，那么问题就解决了。解法一：连结 B，E（见左下图） 。三角形 BCO 与三角形EFO 都加上三角形BEO ，则原来的问题转化为求三角形BEC 与三角形BEF 的面积之差。所求为4（ 10-7 ） 2-2 （ 10-7 ） 2=3 。解法二：连结 C，F（见右上图） 。三角形 BCO 与三角形EFO 都加上三角形CFO ，则原来的问题转化为求三角形BCF 与三角形ECF

11、 的面积之差。所求为4（ 10-7 ） 2-2 （ 10-7 ） 2=3 。解法三： 延长BC交GF于 H（见下页左上图）。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形 COFH ，则原来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积之差。所求为（ 4+2 ）（ 10-7 ） 2-2 （ 10-7 ）=3 。解法四： 延长AB ，FE交于H （见右上图）。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形 BHEO ，则原来的问题转化为求矩形BHEC与直角三角形BHF的面积之差。 所求为4（10-7 ） -（ 10-7 ） （ 4+2 ） 2=3 。例 5左下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4 厘米，

12、求三角形ABC的面积。分析与解 ：这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系。连结AD （见右上图），可以看出，三角形ABD 与三角形 ACD 的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等。因为三角形AFD 是三角形ABD 与三角形ACD 的公共部分， 所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABF 与三角形FCD 面积仍然相等。根据等量代换，求三角形ABC 的面积等于求三角形BCD 的面积，等于442=8 （厘米 2 ）。练习 211.左下图中，等腰直角三角形ABC 的腰为 10 厘米，以 C 为圆心、 CF 为半径画弧线EF ，组成扇形CEF 。如果图中甲、 乙两部分的面积相等，那么扇形所在的圆的面积是多少？2.右上图（单位：厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。3.左下图中，扇形 ABD 的半径是 4 厘米，甲比乙的