错位相减法求和附答案

1、错位相减法求和专项错位相减法求和适用于an'bn型数列，其中an,bn分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意：项的对应需正确；相减后应用等比数列求和部分的项数为(n-1)项；若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为11. 已知二次函数j二邛的图象经过坐标原点，其导函数，数列的前项和为，点均在函数订m的图象上.(I)求数列的通项公式；(H)设證：七、七，是数列的前项和，求，.解析考察专题：，；难度：一般答案(I)由于二次函数的图象经过坐标原点,则设m，加宁於，,又点h只卜均在函数:s的图象上，.-.当】时，|心沁|川:厂血门|”】又=冷：，适合上式，-=+1（7分）I,（n）由（i

2、）知，.iii上面两式相减得：-rri=32l+2+2S+*r）-（2岬+1卜2*1=2整理得几二卩甘1卜2曲42（14分）2. 已知数列''的各项均为正数，是数列；的前n项和，且45=;/24加一3njtn（1）求数列的通项公式；（2）已知叽"丫求匚二也"曲*A机的值.答案查看解析I2I3解析（1）当n=1时，r解出ai=3,又4Sn=an+2an31当-时4sn1=+2an-13+2（%-叫J,即疋-疋“-2（心+J）=°5”"e-),:数列如是以3为首项，2为公差的等差数列，6分二aK=3+2(«-1)=2+1(2)J&#

3、176;，_L*八1又:-："21I)J'!<,-/2T；一3/玄22,小(加4)2一玉冬寻一：-疋証/>“=F矿1+212分3. (2013年四川成都市高新区高三4月月考，19,12分)设函数I，.''1,数列：前项和，匕二.二二I：,数列，满足'-.(I)求数列：的通项公式；(n)设数列.的前.项和为i,数列：的前；项和为：,证明：叫4钓口-.答案(1)由翠如一甕，二随，得一：一二，Jl"R是以.为公比的等比数列，故:.(n)由-'I.得r1.?比r.(注：此题用到了不等式：III-,-i进行放大.)4. 已知等差数列

4、：中，;是与的等比中项.(I)求数列'''的通项公式：(n)若sI、.求数列的前,项和解析(I)因为数列是等差数列，是"与的等比中项.所以',又因为，设公差为，则''1,所以陆-卜恣：啥公制，解得，或：,当/=2时口i=2叫=2十(斤1卜2二2円.当'时.所以或.(6分)(n)因为.，所以，所以；,所以、二I*V二I丁工：二:所以.工二丁*二T-£二2(尹寸，十2口Ji一刃22匕2_/7才|两式相减得',所以、'.(13分)5. 已知数列的前"项和=,，叫“一以工小包；,等差数列；中'

5、，且公差.：.(I)求数列、；的通项公式；(H)是否存在正整数'，使得'''''''若存在，求出：'：的最小值,若不存在，说明理由fr-nLt-t/、Ji1Ii-i|斗1T'丿X2,fj二QW.+1L|-tr-,z|-r解析(I)时，相减得：碣*1二Z2)卫w细+1=3二込二3曲，乂,数列：是以1为首项，3为公比的等比数列，.=b.+=5/.h,=3b=2?+1z八、乂，(6分)(n)二-：心人吒=3買I+3囂3+7咒3、L*(加1)衣釘上斗(2卄1工3(37；=3x3+5xi-+7xi'+L+(2/;-l

6、)x3J'-'(2/jl)xy_得.31+2（3+3'+L十3"）i工口十I）菽萨:匚"萨,x3>60n，即3ff>60,当丹玄3,苗c60，当沦4。亍60.的最小正整数为4.（12分）6. 数列满足H'"；二，等比数列；：满足二=込.（I）求数列，：的通项公式；（n）设，求数列的前:项和.解析（I）由，所以数列是等差数列，又，所以W二g"=8由二",：；.二迟，所以，：，所以，即',h=¥所以（6分）（n）因为,所以则':-;'二所以.丨：二、:：；.2两式相减的,

7、所以''.（12分）7.已知数列满足皆.汕，其中为数列的前，项和.(I)求的通项公式；A="(n)若数列满足：-(甘汕)，求的前项和公式.解析I)2'-各-m:丁，一得，又心|时，；!-巧咲晁宀GW寅(5分)-：T.-=1k23+ix：T+-+(rr-nM2*-bf/x两式相减得，代斤M価一1口74:t”町bT(13分)8. 设d为非零实数,an珂昭d+2(：d2+(n-1)唱dn-1+罔dn(nN*).(I)写出ai,a2,a3并判断an是否为等比数列.若是，给出证明；若不是，说明理由；(n)设bn=ndan(nN*),求数列bn的前n项和S答案(I)由已知

8、可得a1=d,a2=d(1+d),a3=d(1+d)当n2,k>1时，=,因此由此可见,当dz-1时,an是以d为首项,d+1为公比的等比数列当d=-1时,ai=-1,an=0(n>2),此时an不是等比数列.(7分)ni(n)由(I)可知，an=d(d+1)-,从而bn=nd2(d+1)n-1,S=d21+2(d+1)+3(d+1)2+(n-1)(d+1)n-2+n(d+1)n-1.当d=-1时，Sn=d2=1.当dz-1时，式两边同乘d+1得(d+1)Sn=d2(d+1)+2(d+1)2+(n-1)(d+1)n-1+n(d+1)n.，式相减可得22n-1n.-dSn=d1+(d

9、+1)+(d+1)+(d+1)-n(d+1)化简即得Sn=(d+1)n(nd-1)+1.综上，Sn=(d+1)n(nd-1)+1.(12分)9. 已知数列an满足a1=0,a2=2,且对任意m,nN都有a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n)(I) 求as,a5；(n)设bn=a2n+1-a2n-1(nN),证明:bn是等差数列；(川)设Cn=(an+1-an)q-(qzo,nN),求数列cn的前n项和S.答案(I)由题意，令m=2,n=1可得a3=2a2-a计2=6.再令m=3,n=1可得a5=2a3-ai+8=20.(2分)（n）证明：当nN时,由已知（以n+2代替m）可得a2

10、n+3+a2n-i=2a2n+i+8.于是a2（n+1）+1-a2（n+1）-1-（a2n+1-a2n-1）=8,即bn+1-bn=8.所以，数列bn是公差为8的等差数列.（5分）（川）由（I）、（n）的解答可知bn是首项b1=a3-a1=6,公差为8的等差数列则bn=8n-2,即a2n+1-a2n-1=8n-2.另由已知（令m=1）可得，an-(n-1)那么,an+1-an211+1211-1Sil-2:T-2n+仁2-2n+仁2n.n-1是,cn=2nq.当q=1时，Sn=2+4+6+2n=n(n+1).012n-1当ql时，Sn=2q+4q+6q+2nq两边同乘q可得123qS=2q+4

11、q+6q+2(n-1)n-1n-q+2nq.上述两式相减即得(1-q)Sn=2(1+q3q2+qn-1)-2nqVq1'l-n+l)qn-Hnqn，1bQ-2nqn=2n=2所以S=2n(n+l)(q-1)$综上所述,s2®(12分)10. 已知数列an是公差不为零的等差数列,a1=2,且a2,a4,a8成等比数列（1）求数列an的通项公式求数列an答案设数列an的公差为d(d丰0),2由条件可知：(2+3d)=(2+d)(2+7d),解得d=2.(4分)故数列an的通项公式为an=2n(nN*).(6分)由知an”=2nx3n,设数列an心'的前n项和为S,贝US=

12、2X32+4X34+6X36+2nX32n,32Sn=2x3+4x3+(2n-2)X32n+2nX32n故-8Sn=2(32+34+36+32n)-2nX32n+2,(8分)伽叫9所以数列an3'的前n项和Sn=畀.(12分)11. 已知等差数列林:J满足A又数列中,且(1)求数列：，：的通项公式(2) 若数列：，的前：项和分别是，且:.-亠丄_亠求数列：的前"项fl和i;若i：对一切正整数一恒成立，求实数答案(1)设等差数列：的公差为,则有-,、卩坷十4")-2(曲+a|=3.解得.数列：是以知二？为首项，公比为.1的等比数列.二九=3x3,“"3厂屮）

13、.4分由可得迄"一；w;（3-*_343）*ac二=iyil.fln+t；-i+，1-/-2m、“/w、.丨：mn=ix3"+2崑亍十3x3坨+（2）F硏判X1II.、得ft10分厂沆二X口-y-；：:比-;“二©n汀沐;-当7时，取最小值，叫八,9>91°8-4当厂I时,当I'时,4即实数附的取值范围是*切也弋一或删I14分12. 设二为数列；':的前川项和，对任意的Xi,都有-：3'为常数,且从(1)求证：数列Ii是等比数列；(2) 设数列；*；的公比/-,"ji,数列"满足；s-爲"m池，

14、求数列；的通项公式；11(3) 在满足(2)的条件下，求数列的前项和5.答案188.(1)当；丨时，|、3w,解得'1.当n>2时，比二叫,即；IX.数列m是首项为1,公比为】I小的等比数列.?0m（2）由（1）得，I门川I心，人二匚.'-,ITWPJ-I01m+'可一匚7（q2）?.円丄是首项为二，公差为1的等差数列."加1（肚“）.9分n2”1孙-丄亍一巩2-1）（3）由（2）知，贝U'7；2'1+23+25+-+21k（2m-3）+2flk（2zj-1）2ax1t2x342"x5+-42J（2丹一得7B=2fl,lx（2/i-l）-2-22M2'14x13. 设等差数列an的前n项和为S,且S4=4S2,a沪2吊+1.(I)求数列an的通项公式；%+u*求数列Cn(n)设数列bn的前n项和为Tn,且Tn+：=入(入为常数),令Cn=b2n(nN),的前n项和R1.答案(I)设等差数列an的首项为ai,公差为d