水利工程测量观测误差的基本知识

1、水利工程测量太原理工大学水利科学与工程学院1第五章第五章 观测误差的基本知识观测误差的基本知识 水利工程测量太原理工大学水利科学与工程学院21.1.测量误差概述测量误差概述2.2.偶然误差特性偶然误差特性3.3.衡量精度的标准衡量精度的标准4.4.误差传播定律误差传播定律6.等精度观测的平差等精度观测的平差7.7.不同精度观测的平差不同精度观测的平差 5 5.测量精度分析举例测量精度分析举例水利工程测量太原理工大学水利科学与工程学院35.1 5.1 测量误差概述测量误差概述 测量对象的量是客观存在的，称为测量对象的量是客观存在的，称为。对未知量进行测量的过程称为观测。每次观测所得的结果，对未知

2、量进行测量的过程称为观测。每次观测所得的结果，称为称为。 当对某未知量进行多次观测时，观测值之间往往存在当对某未知量进行多次观测时，观测值之间往往存在一定的差异，这种差异实质上表现为观测值与其真值之间一定的差异，这种差异实质上表现为观测值与其真值之间的差异，称为的差异，称为。 设观测对象的真值为设观测对象的真值为x ，观测值为，观测值为l ，则观测值与真，则观测值与真值的差值为值的差值为，即，即 。 测量工作的实践表明，只要是观测值必然含有误差。测量工作的实践表明，只要是观测值必然含有误差。同一人用同一台经纬仪对某一角度观测若干个测回，同一人用同一台经纬仪对某一角度观测若干个测回，各测回的观测

3、值均不相等；各测回的观测值均不相等； 水利工程测量太原理工大学水利科学与工程学院4 1、仪器误差：由于仪器制造和校正不完善引起的误差。、仪器误差：由于仪器制造和校正不完善引起的误差。 2、观测误差。、观测误差。 3、外界条件的影响。、外界条件的影响。 以上三个方面通常称为以上三个方面通常称为。观测条件的好坏决定了。观测条件的好坏决定了观测质量的高低，观测条件相同所进行的各次观测称为观测质量的高低，观测条件相同所进行的各次观测称为等精度等精度观测观测；观测条件不相同的各次观测，称为；观测条件不相同的各次观测，称为不等精度观测不等精度观测。三、测量误差分类三、测量误差分类 按照对观测成果影响的性质

4、不同，可分为按照对观测成果影响的性质不同，可分为。1、系统误差：、系统误差： 定义：在相同观测条件下，对某一未知量进行一系列的定义：在相同观测条件下，对某一未知量进行一系列的 观测，若误差出现的大小和符号均相同或按照一定的规律变化。观测，若误差出现的大小和符号均相同或按照一定的规律变化。这种性质的误差称系统误差。主要是由于测量仪器和工具构造这种性质的误差称系统误差。主要是由于测量仪器和工具构造不完善或校正后的剩余误差所引起。不完善或校正后的剩余误差所引起。5设用一把设用一把l0=30m，l实实=30.003m的钢尺进行距离丈的钢尺进行距离丈量，那么每量一整尺段就会产生量，那么每量一整尺段就会产

5、生3mm的误差，这种误差的误差，这种误差的大小、符号是固定的，误差的大小与所量距离成正比。的大小、符号是固定的，误差的大小与所量距离成正比。特性：累积性。特性：累积性。消除或减弱的方法：消除或减弱的方法： 采用计算改正的方法：如尺长误差和温度对尺长的影响； 采用一定的观测方法：如水准测量中采用前后视距相等的方法消除视准轴误差、横轴不垂直于竖轴的误差、度盘偏心差、地球曲率差等的影响。 测回法观测水平角的视准误差，竖盘指标差等。水利工程测量太原理工大学水利科学与工程学院6 定义：在相同的观测条件下，对某量进行一系列观测，定义：在相同的观测条件下，对某量进行一系列观测，若误差出现的符号可正可负，数值

6、可大可小，从表面看若误差出现的符号可正可负，数值可大可小，从表面看无任何规律性，这种性质的误差称为偶然误差。其产生无任何规律性，这种性质的误差称为偶然误差。其产生的原因往往是不固定的和难以控制的。的原因往往是不固定的和难以控制的。 例：测角时的照准误差、估读误差等。例：测角时的照准误差、估读误差等。 特特 性：性： 偶然误差从表面上看，似乎没有任何规律，但随着对偶然误差从表面上看，似乎没有任何规律，但随着对同一量观测次数的增加，呈现一定的统计规律性，且观同一量观测次数的增加，呈现一定的统计规律性，且观测次数越多，规律越明显的。测次数越多，规律越明显的。 消除或减弱的方法：无法消除，只能根据其特

7、性来合消除或减弱的方法：无法消除，只能根据其特性来合理地处理观测数据，以减少偶然误差对测量成果的影响。理地处理观测数据，以减少偶然误差对测量成果的影响。水利工程测量太原理工大学水利科学与工程学院7 即错误。是由于观测者操作错误或粗心大意所即错误。是由于观测者操作错误或粗心大意所造成的，如读错记错数据、瞄错目标等，观测成果中造成的，如读错记错数据、瞄错目标等，观测成果中是不允许存在的。为了杜绝粗差，除认真仔细作业外，是不允许存在的。为了杜绝粗差，除认真仔细作业外，还必须采取必要的检核措施。还必须采取必要的检核措施。 对距离进行往返丈量，对角度重复观测对距离进行往返丈量，对角度重复观测。水利工程测

8、量太原理工大学水利科学与工程学院8一、举例：对一个三角形内角进行观测，由于观测存在一、举例：对一个三角形内角进行观测，由于观测存在 误差，三角形各内角观测值之和误差，三角形各内角观测值之和 l l 不等于其理论值不等于其理论值180，其观测值与真值之差真误差，其观测值与真值之差真误差 = l-180 = l-180 现观测了现观测了358个三角形，按上式计算可得个三角形，按上式计算可得358个真误差个真误差，按其大小和一定的区间统计如下表：，按其大小和一定的区间统计如下表：a ab bc ci i=a=ai i+b+bi i+c+ci i-180-180（i=1,2, 358）5.2 5.2

9、偶然误差的特性偶然误差的特性水利工程测量太原理工大学水利科学与工程学院9误差的区间误差的区间 为正值为正值 为负值为负值个数个数k频率频率k/nk/n*d个数个数频率频率k/n*d00.2210.1300.650210.1300.6500.20.4190.1170.585190.1170.5850.40.6150.0930.465120.0740.3700.60.890.0560.280110.0680.3400.81.090.0560.28080.0490.2451.01.250.0310.15560.0370.1851.21.410.0060.03030.0180.0901.41.610.

10、0060.03020.0120.0601.6以上以上000000800.4950.101820.5050.099水利工程测量太原理工大学水利科学与工程学院10 图图5-1中，横坐标表示误差大小，纵坐标为各区间误中，横坐标表示误差大小，纵坐标为各区间误差出现频率除以区间间隔差出现频率除以区间间隔K/n*d ，长方条面积代表该区，长方条面积代表该区间的间的频率。频率。 误差出现在区间的个数成为频数，用误差出现在区间的个数成为频数，用K表示，表示，频数除以总个数称为频率频数除以总个数称为频率水利工程测量太原理工大学水利科学与工程学院11结结 论论偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。偶然误差的绝对值不

11、会超过一定的限值。有限性有限性绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多。绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多。 小误差密集型小误差密集型绝对值相等的正负误差出现的机会相等。绝对值相等的正负误差出现的机会相等。对称性对称性偶然误差的平均值随观测次数的增加而趋于零，即偶然误差的平均值随观测次数的增加而趋于零，即 抵偿性抵偿性,偶然误差最本质的统计特性。凡是有抵偿偶然误差最本质的统计特性。凡是有抵偿性的误差，原则上都可按偶然误差处理。性的误差，原则上都可按偶然误差处理。 0limlim21nnnnn水利工程测量太原理工大学水利科学与工程学院12二、误差概率分布曲线二、误差概率分布曲线 继续增

12、加观测次数，当观测次数趋于无穷大时，各误差出现频继续增加观测次数，当观测次数趋于无穷大时，各误差出现频率将趋于一个完全确定的值，这个值就是误差出现在各区间的频率。率将趋于一个完全确定的值，这个值就是误差出现在各区间的频率。当误差区间无限缩小，那么直方图中长方条顶边所形成的折线将成当误差区间无限缩小，那么直方图中长方条顶边所形成的折线将成为一条光滑的曲线，称为为一条光滑的曲线，称为误差分布曲线误差分布曲线，如图，如图5-1 b所示。所示。水利工程测量太原理工大学水利科学与工程学院13三、分析标准差三、分析标准差1. 与观测误差及偶然误差概率密度与观测误差及偶然误差概率密度f()的关系的关系222

13、21ef水利工程测量太原理工大学水利科学与工程学院142. 2. 与误差分布曲线拐点的关系与误差分布曲线拐点的关系y=f()y-+标准差是分布曲线拐点的横坐标，可由标准差是分布曲线拐点的横坐标，可由f()的二阶的二阶导数等于导数等于0零求得。零求得。水利工程测量太原理工大学水利科学与工程学院153.3.标准差标准差 的概率值的概率值P P（ ） P P（- - ）=68.3%=68.3% P P（- 2 - 2 2 2 ）=95.4%=95.4% P P（- 3 - 3 3 3 ）=99.7%=99.7%+y=f()y-+水利工程测量太原理工大学水利科学与工程学院161 1、标准差、标准差的计

14、算公式的计算公式nDnlim22 2、中误差就是标准差、中误差就是标准差，以，以m m表示，用来衡量观测值精度的表示，用来衡量观测值精度的高低。与高低。与的不同在于观测个数的差异。的不同在于观测个数的差异。 在相同的观测条件下，对某未知量进行在相同的观测条件下，对某未知量进行n n次观测，其观次观测，其观测值为测值为l1、 l2 、 、l n，若该未知量的真值为，若该未知量的真值为x x，由可得相，由可得相应的真误差应的真误差1 1、2 2、n(n(注：注：i=li-x)i=li-x)。则中误差。则中误差可由各真误差平方的平均值进行计算：可由各真误差平方的平均值进行计算： 5.3 衡量精度的标

15、准衡量精度的标准是指在对某一量的多次观测中，各个观测值之是指在对某一量的多次观测中，各个观测值之间的离散程度。若观测值非常集中，则精度高；反之，则间的离散程度。若观测值非常集中，则精度高；反之，则精度低。精度低。水利工程测量太原理工大学水利科学与工程学院17nm22221n 由上式可见，中误差与与真误差的关系，它不等于真误由上式可见，中误差与与真误差的关系，它不等于真误差，只是一组观测值的精度指标，中误差越小，误差分布得差，只是一组观测值的精度指标，中误差越小，误差分布得越密集，相应的观测成果的精度就越高，中误差越大，误差越密集，相应的观测成果的精度就越高，中误差越大，误差分布得越离散，相应的

16、观测成果的精度越低。分布得越离散，相应的观测成果的精度越低。式中：式中： 中误差的估算值的计算公式中误差的估算值的计算公式水利工程测量太原理工大学水利科学与工程学院18例：设有例：设有A、B两个小组，对一三角形进行了十次观测，两个小组，对一三角形进行了十次观测， 分别求出真误差为：分别求出真误差为： A：-6、+5、+2、+4、-2、+8、 -8、-7、+9、-4 B：-11、+6、+15、+23、-7、-2、 +13、-21、0、-18 试求试求A、B两组观测值的中误差。两组观测值的中误差。解：解： 可见可见A组观测精度比组观测精度比B组高。组高。 在观测次数在观测次数n有限的情况下，中误差

17、的计算公式首先直接有限的情况下，中误差的计算公式首先直接反映出观测成果中是否存在着大误差，如上例反映出观测成果中是否存在着大误差，如上例B组就受到几个组就受到几个较大误差的影响。较大误差的影响。 0 . 6nmA8 .13nmB水利工程测量太原理工大学水利科学与工程学院19二、相对误差：二、相对误差：真误差、中误差和容许误差，仅真误差、中误差和容许误差，仅仅表示误差本身的大小，称为绝对误差。在某仅表示误差本身的大小，称为绝对误差。在某种情况下，用绝对误差来评定值的精度，不能种情况下，用绝对误差来评定值的精度，不能反映出观测的质量。反映出观测的质量。 例：丈量两段距离，例：丈量两段距离，D1=1

18、00m，m1=1cm，D2=30m，m2=1cm ，虽然两，虽然两者的中误差相等，但不能它们的丈量精度相同，者的中误差相等，但不能它们的丈量精度相同，显然前者精度较高。这时中误差已不能反映出显然前者精度较高。这时中误差已不能反映出观测的质量，必须用相对误差来评定。观测的质量，必须用相对误差来评定。水利工程测量太原理工大学水利科学与工程学院20三、容许误差：三、容许误差：l在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不应超过的限值，用在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不应超过的限值，用来衡量观测值是否被采用的标准。又称限差。通常取来衡量观测值是否被采用的标准。又称限差。通常取2-3倍倍中误差作为偶然误差的

19、容许值中误差作为偶然误差的容许值,lP（- 2 2 ）=95.4%lP（- 3 3 ）=99.7%m或m容容32绝对误差的绝对值与相应量之比，它是一绝对误差的绝对值与相应量之比，它是一个无名数，以分子为个无名数，以分子为1的分数形式来表示。上例中，的分数形式来表示。上例中， 可直观发看出，后者的精度高于前者。可直观发看出，后者的精度高于前者。 10000101. 0100111111mDDmk3000101.030112222mDDmk水利工程测量太原理工大学水利科学与工程学院215.4 5.4 误差传播定律误差传播定律 对于能直接观测的量对于能直接观测的量(如角度、距离、高差等如角度、距离、

20、高差等)，经过多，经过多次观测后，便可通过真误差或改正数计算出观测值的中误差，次观测后，便可通过真误差或改正数计算出观测值的中误差，作为评定观测值精度的标准。作为评定观测值精度的标准。 但在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接进行但在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算观测，而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来，这些未知量即为观测值的函数。例如，在水准测量中，出来，这些未知量即为观测值的函数。例如，在水准测量中，两点间的高差两点间的高差h=a-b，则，则h是直接观测值是直接观测值a和和b的函数；在三角的函数；在三角高

21、程测量的计算公式中，如果觇标高高程测量的计算公式中，如果觇标高v等于仪器高等于仪器高i，则，则h=l tan，这时，高差，这时，高差h就是观测值就是观测值l和和的函数，等等。的函数，等等。 本节所要讨论的就是在观测值中误差为已知的情况下，如本节所要讨论的就是在观测值中误差为已知的情况下，如何求观测值函数中误差的问题。阐述观测值中误差与函数中何求观测值函数中误差的问题。阐述观测值中误差与函数中误差之间数学关系的定律，称为误差之间数学关系的定律，称为误差传播定律误差传播定律。水利工程测量太原理工大学水利科学与工程学院22一、一、 线性函数线性函数1 1、一般线性函数、一般线性函数 设有函数设有函数

22、Z=KZ=Kx xK K2 2x xk kn nxnxn 式中，式中，K K、K K2 2k kn n为常数为常数;x;x、x xxnxn为独立观为独立观测值，其相应的中误差分别为测值，其相应的中误差分别为m m、m mm mn n。水利工程测量太原理工大学水利科学与工程学院2322m22k21m21k2zm可得：n2x12k1k2n2）2x（ 22kn2）1x（ 21kn2n，有n以等号两号两边平房求和n）2x（2kn）1x（1knZ.2）2x（2k2）1x（1k2Z1）2x（2k1）1x（1k1Z次 观观测，可n均 进进行2x、1x对2x2k1x1kZ关系式：）2x2x（2k）1x1x（1

23、kZ Z ，有式Z必有真误，2x、1x为的2x、1x若2x2k1x1k Z可得真误差差则函数真误差独立观测值进行讨论为了推导简便，以两个水利工程测量太原理工大学水利科学与工程学院24推广之，可得线性函数中误差的公式为：推广之，可得线性函数中误差的公式为： m m2 2（k km m）（k km m）（k kn nm mn n) )2 2水利工程测量太原理工大学水利科学与工程学院25 2 2、倍数函数、倍数函数 设有函数设有函数 Z=KxZ=Kx 式中：式中：x x为直接观测值，其中误差为为直接观测值，其中误差为m m x x；为常数；为常数；Z Z为观测值为观测值x x的函数。的函数。 若对若

24、对x x作作n n次同精度观测，则有：次同精度观测，则有： m m2 22 2m mx x2 2 或或 m mm mx x 上式表明：对于倍数函数，函数的中误差等于观测值中上式表明：对于倍数函数，函数的中误差等于观测值中误差的误差的K K倍。倍。水利工程测量太原理工大学水利科学与工程学院263 3、和、差函数、和、差函数 设有函数设有函数 Z=xZ=x1 1x x2 2 式中，式中，x x1 1、x x2 2为两个相互独立的观测值，均作了为两个相互独立的观测值，均作了n n次观测，次观测，其中误差分别为其中误差分别为m1和和m2。用同样的方法可推导出。用同样的方法可推导出: :4 4、算术平均

25、值、算术平均值 设有函数设有函数Z=1/2(x1+x2)Z=1/2(x1+x2)，则，则22212mmmz222121mmmz).().(),.,(),.,(221122112121xxxxxxxxxxxxnnnnnnxfxfxfZxfxfxffZZfZ故按台劳级数展开设独立观测值的函数为2.22.131321222222212211121nnnnxxxfxxxfxxxfZNnnxfxfxfxxfxxfxxf得个关系式平方后再总和将二、二、 非线性函数非线性函数mxfmxfmxfmxfmxfmxfxxfxxfxxfxnxxZxnxxZnnnnmmNNZN22222212222222122222

26、222122.212121或时当得两边除以时当例例1-21.1.量得某圆形建筑物得直径量得某圆形建筑物得直径D=34.50m,D=34.50m,其中误其中误差差 , ,求建筑物得园周长及其中误差。求建筑物得园周长及其中误差。解：圆周长解：圆周长)(03. 038.10803. 0)01. 0(1416. 338.10850.341416. 3mPmmmDPDP结果可写成中误差差及其中误差。两点间的高求中误差得高差到从中误差得高差进行到水准测量从CAmmCBmmmhmhhBCBChABAB,009. 0,747. 5,012. 0,476.15 B,A 2.)(015. 0223.21015.

27、0223.21747. 5476.15009. 0012. 02222mmmhmmmhhhAChBChABhACBCABAC解：例例33.用长用长30m得钢尺丈量了得钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的中误差为个尺段，若每尺段的中误差为5mm，求全长，求全长D及其中误差。及其中误差。)(016.030016105.30010301021mDmmnmmDmDlDlll但解：全长例例4mmDmsDmsDsDsDDmmmsssDsm048.020626503)9410.12(05.09659.09410.1215sin50sin9659.015coscoscos,0300001505.0,00.50.4

28、22222222 解：及其中误差。求相应水平距离，其中误差并测得倾斜角其中误差丈量倾斜距离水利工程测量太原理工大学水利科学与工程学院325.5 5.5 测量精度分析举例测量精度分析举例一、有关水准测量的精度分析一、有关水准测量的精度分析 （1 1） 一个测站高差的中误差一个测站高差的中误差 （2 2） 水准路线的高差中误差及允许误差水准路线的高差中误差及允许误差 读站m2m站mnmhmmm3站L12 153LmhL40 10nf允水利工程测量太原理工大学水利科学与工程学院33二、有关水平角观测的精度分析二、有关水平角观测的精度分析 用用DJ6DJ6型经纬仪观测水平角，设望远镜在盘左或盘右型经纬

29、仪观测水平角，设望远镜在盘左或盘右观测一个方向的中误差为观测一个方向的中误差为m m方方, ,一个方向观测一个测回一个方向观测一个测回的中误差为的中误差为 ，则有公式，则有公式 即即6 26方m 5 . 862 方m（1）半测回所得角值的中误差）半测回所得角值的中误差 2125 . 82 方半mm（2）上下两个半测回的限差）上下两个半测回的限差 以两个半测回角值之差来衡量，两个半测回角值之以两个半测回角值之差来衡量，两个半测回角值之 差的中误差为差的中误差为 712122 半mm水利工程测量太原理工大学水利科学与工程学院34取两倍中误差为允许误差，则有取两倍中误差为允许误差，则有437122

30、mf允（3）测角中误差）测角中误差 5.82212 半mm（4）测回差的限差）测回差的限差 两个测回角值之差为测回差，它的中误差为两个测回角值之差为测回差，它的中误差为 2125 . 82 mm测回差取两倍中误差作为限差取两倍中误差作为限差422122 测回差测回差mf水利工程测量太原理工大学水利科学与工程学院355.6 5.6 等精度观测的平差等精度观测的平差 最小二乘法原理是平差应遵循的原则。最小二乘法原理是平差应遵循的原则。一、求最或是值一、求最或是值 设对某量进行了设对某量进行了n n次等精度观测，观测值为次等精度观测，观测值为L Li i （i=1i=1、2 2n n）, ,最或是值

31、为最或是值为 ，v vi i为观测值的为观测值的改正数，则有改正数，则有上式两边平方求和得上式两边平方求和得 LiiLLv 22221)(.)()(nLLLLLLvv水利工程测量太原理工大学水利科学与工程学院36 根据最小二乘原理，必须使根据最小二乘原理，必须使 最小，将最小，将 对对 取一阶二阶导数，有下式取一阶二阶导数，有下式L vv 02);(2.)(2)(2221nvvLddLLLLLLvvLddn二阶导数大于零，因此一阶导数等于零时，二阶导数大于零，因此一阶导数等于零时， 为最小，为最小，由此，求得最或是值：由此，求得最或是值： vv nLLLLLLLnn或,.21如果将式如果将式

32、求和得：求和得：iiLLv0LnLnLLnv此式可作为校核改正数是否有错的依据。此式可作为校核改正数是否有错的依据。 vv水利工程测量太原理工大学水利科学与工程学院37二、观测值的中误差 由式 可推得式 nm1nvvm三、算术平均值中误差三、算术平均值中误差 根据误差传播定律，等精度观测由观测值中误差根据误差传播定律，等精度观测由观测值中误差m求得求得算术平均值中误差算术平均值中误差 为为Lm)1(nnvvnmmL水利工程测量太原理工大学水利科学与工程学院385 .19151520 m7 . 855 .19 LmL平均值观测次序观测值LiVvv计算185 42 20-14 196285 42

33、00+636385 42 00+636485 41 40+26676585 42 30-24576 =8542 06v=0vv=1520例例:水利工程测量太原理工大学水利科学与工程学院39一、权（用一、权（用 p p 表示）表示） 权是表示观测值可靠程度的一个相对性数值权是表示观测值可靠程度的一个相对性数值权的特性权的特性权愈大表示观测值愈可靠权愈大表示观测值愈可靠权是相对数值，故单独一个值无意义权是相对数值，故单独一个值无意义权始终取正号权始终取正号权可以用一数乘除其意义不变权可以用一数乘除其意义不变5.6 5.6 不等精度观测的平差不等精度观测的平差水利工程测量太原理工大学水利科学与工程学

34、院40怎样定权怎样定权取中误差定权取中误差定权2iimp从实际出发从实际出发iiLp测角取测回数测角取测回数iinp二、求不同精度观测值的最可靠值二、求不同精度观测值的最可靠值( (最或是值最或是值) ) 加权算术平均值加权算术平均值加权算术平均值：加权算术平均值：水利工程测量太原理工大学水利科学与工程学院41三、最可靠值（最或是值）的精度评定三、最可靠值（最或是值）的精度评定 pplppplplplpLnnn212211 （一）最或是值的中误差（一）最或是值的中误差 pmL加权加权平均值的中误差平均值的中误差 （二）单位权观测值中误差（二）单位权观测值中误差 pplppplplplpxnnn2122111npvv水利工程测量太原理工大学水利科学与工程学院42例：ABChBE=-2.330mhCE =1.782mhAE=1.538mE已知：已知：A,B, C为三个已知水准点，如下图所示，为三个已知水准点，如下图所示，高高程分别为程分别为HA=20.145、HB=24.030、