材料力学-6弯曲变形ppt课件

1、第六章第六章 弯曲变形弯曲变形6-1 6-1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题6-2 6-2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程6-3 6-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形6-4 6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形6-5 6-5 简单超静定梁简单超静定梁6-6 6-6 提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施目录6-1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题6-2 6-2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程一一.基本概念基本概念1 1、挠曲线方程：、挠曲线方程：)(xf由于小变形，截面形心在由于小变形，截面形心在x x方向的位移忽略不计方向的位移忽略不计4 4、挠度转角关系为：

2、、挠度转角关系为：dxd tan挠曲线挠曲线yxx挠度挠度转角转角2 2、挠度、挠度：截面形：截面形心在心在y y方向的位移方向的位移 向上为正向上为正3 3、转角、转角：截面绕中性轴转过的角度。：截面绕中性轴转过的角度。逆时针为正逆时针为正6-2二、挠曲线的近似微分方程二、挠曲线的近似微分方程zEIxMx)()(123222)(1 )(1dxdydxydx以上两式消去以上两式消去 ，得：，得：123222)(1 dxdydxydzEIxM)(小挠度情形下：小挠度情形下：1dxdyzEIxMdxyd)(22弯曲变形弯曲变形/挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程23222)(1 dxdydx

3、ydzEIxM)(yy符号规定：符号规定：MM022dxyd0MzEIxMdxyd)(22因而因而（挠曲线的近似微分方程）（挠曲线的近似微分方程）弯曲变形弯曲变形/挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程022dxyd0MzEIxMdxyd)(22由挠曲线的近似微分方程由挠曲线的近似微分方程积分一次：积分一次：CdxEIxMydxdyz)(（转角方程）（转角方程）积分二次：积分二次：DCxdxdxEIxMyz)(（挠度方程）（挠度方程）式中式中C C、D D为积分常数，由梁的约束条件决定。为积分常数，由梁的约束条件决定。6-3 6-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形悬臂梁：悬臂梁：xyA

4、B梁的边界条件梁的边界条件.0,00AAyx时，简支梁：简支梁：xyABL, 00Ayx时，. 0ByLx时，PABC梁的连续条件：右左CC右左CCffABlaCM右左时，CCyyax例如：写出下图的边界条件、连续性条件：例如：写出下图的边界条件、连续性条件：0, 0Ayx右左时，CCax右左时，CCyyaxkFyLxByB,0, 0Ayx右左时，CCax右左时，CCyyaxBDBlyLx,EAhFByALFCabBEAhDALFCabkBxy（1 1凡弯矩方程分段处，应作为分段点；凡弯矩方程分段处，应作为分段点；（2 2凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；凡截面有变化处，或材料有变

5、化处，应作为分段点；（3 3中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两 部分之间的相互作用力，故应作为分段点；部分之间的相互作用力，故应作为分段点；ABlaCMABlaCM（4 4凡分段点处应列出连续条件，根据梁的变形的连凡分段点处应列出连续条件，根据梁的变形的连 续性，对同一截面只可能有唯一确定的挠度和转续性，对同一截面只可能有唯一确定的挠度和转 角；在中间铰两侧虽然转角不同，但挠度却是唯角；在中间铰两侧虽然转角不同，但挠度却是唯 一的。一的。, 0, 0Ayx右左时，CCyyax, 0, 0Ax, 0,BylaxAqBLAy例例6-16-1悬臂

6、梁受力如图所示。求悬臂梁受力如图所示。求 和和 。Axyx取参考坐标系取参考坐标系Axy。解：解：1、列出梁的弯矩方程、列出梁的弯矩方程221)(qxxM)0(Lx2、22dxydzEIxM)(221qxyEI 积分一次：积分一次：CqxEIyEI361积分二次：积分二次：DCxqxEIy4241（1）（2）3、确定常数、确定常数C、D.由边界条件：由边界条件：0,Lx代入代入1得：得：361qLC0,yLx代入代入2得：得：481qLD代入代入1）（）（2得：得：)6161(133qLqxEI)86241(1434qLxqLqxEIyEIqLA630 x代入得：代入得：将将（与（与C C比较

7、知：比较知： ）CEIAEIqLyA84（与（与D D比较知：比较知： ）DEIyA常数常数C C表示起始截面的转角表示起始截面的转角刚度刚度(EI)(EI)因而因而常数常数D D表示起始截面的挠度表示起始截面的挠度刚度刚度(EI)(EI)例例6-2 6-2 一简支梁受力如图所示。试求一简支梁受力如图所示。试求 和和 。)(),(xwxmax,wAALFCabAyFByFyx解：解：1、求支座反力、求支座反力,LFbFAyLFaFByx2、分段列出梁的弯矩方程、分段列出梁的弯矩方程,)(1xLFbxFxMA,1xLFbyEI )(LxaBC段段x)0 (axAC段段B),()(2axFxLFb

8、xM),(2axFxLFbyEI ,21211CxLFbEIyEI)(LxaBC段段)0 (axAC段段,)(2222222CaxFxLFbEIyEI,61131DxCxLFbEIy,)(6622332DxCaxFxLFbEIy3、确定常数、确定常数由边界条件：由边界条件：0, 0Awx（1）0,ByLx（2）由光滑连续条件：由光滑连续条件：21 时，ax（3）21yyax 时，（4）可解得：可解得：)(6221bLLFbC,2C021 DD则简支梁的转角方程和挠度方程为则简支梁的转角方程和挠度方程为),(36)(2221bLxLEIFbx)(LxaBC段段)0 (axAC段段,)(6)(22

9、31xbLxLEIFbxy,2)()(36)(22222axFbLxLEIFbx)(6)(6)(32232axLxbLxLEIFbxy4、求转角、求转角0 x代入得：代入得：LEIbLFbxA6)(2201Lx代入得：代入得：LEIaLFabLxB6)(25、求、求 。maxy0dxdy由求得求得 的位置值的位置值x。maxy, 06)(22LEIbLFbA)(03)(1baLEIbaFabaxC段。在AC00)(36)(2221bLxLEIFbx则由则由解得：解得：322bLx)(1xy代入代入 得：得：EIbLFby39)(2322max2Lba假设假设 那么：那么：EIFLyyLx483

10、2max在简支梁情况下，不管在简支梁情况下，不管F F作用在何处支承除外），作用在何处支承除外）， 可用中间挠度代替，其误差不大，不超过可用中间挠度代替，其误差不大，不超过3%3%。maxy 一、叠加法前提一、叠加法前提挠度、转角与载荷如挠度、转角与载荷如P P、q q、M M均为一次线性关系均为一次线性关系轴向位移忽略不计。轴向位移忽略不计。6-4 6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形叠加原理：在小变形和线弹性范围内，由几个载荷叠加原理：在小变形和线弹性范围内，由几个载荷共同作用下梁的任一截面的挠度和转角，应等于每个共同作用下梁的任一截面的挠度和转角，应等于每个载荷单独作用下同一截面

11、产生的挠度和转角的代数和。载荷单独作用下同一截面产生的挠度和转角的代数和。例例6-4 6-4 知：知：q q、l l、 EIEI，求：，求：yC ,yC ,B B 第一类叠加法第一类叠加法wwwwww,2431EIqlBEIqlwC384541,33)(323EIqlEIlqlBEIqlwC48343,1616)(322EIqlEIlqlBEIlqlwC48)(32弯曲变形弯曲变形/用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形321BBBBEIql243EIql33EIql163EIql48113321CCCCwwwwEIql38454EIql4834EIlql48)(3EIql384114例例6-5

12、 6-5 怎样用叠加法确定怎样用叠加法确定C C和和yC ?yC ?wwwwww,631EIqlCEIqlwC841w,6)2(322EIlqBC2222lwwBBCEIlq8)2(422lBw21CCCwwwEIql84EIlq8)2(422lBEIql38441421CCCEIql63EIlq6)2(3EIql4874 第二类叠加法第二类叠加法逐段分析法逐段分析法将梁的挠曲线分成几段，首先分别计算各段梁的变形将梁的挠曲线分成几段，首先分别计算各段梁的变形在需求位移处引起的位移挠度和转角），然后计算在需求位移处引起的位移挠度和转角），然后计算其总和代数和或矢量和），即得需求的位移。在分其总和

13、代数和或矢量和），即得需求的位移。在分析各段梁的变形在需求位移处引起的位移时，除所研析各段梁的变形在需求位移处引起的位移时，除所研究的梁段发生变形外，其余各段梁均视为刚体。究的梁段发生变形外，其余各段梁均视为刚体。ABalFC例例6-6 6-6 ：ABalFC例例6-6 6-6 ：FABalCFaFaBC+1考虑考虑AB段段(BC段看作刚体段看作刚体)F作用在支座上，不产生变形。作用在支座上，不产生变形。BFa使使AB梁产生向上凸的变形。梁产生向上凸的变形。查表得：查表得：EIlFaB3)(那么那么1CwawBC1aEIlFa3)()(32EIlFa2考虑考虑BC段段(AB段看作刚体段看作刚体

14、)AFaBC2Cw)(332EIFawC所以所以21CCCwww)(3332EIFaEIlFaABalCFaB1Cw)(321EIlFawc刚度条件：刚度条件：,maxyymaxy许用挠度，许用挠度， 许用转角许用转角工程中，工程中， yy常用梁的计算跨度常用梁的计算跨度l l 的若干分之一表示，例如：的若干分之一表示，例如：对于桥式起重机梁：对于桥式起重机梁：750500lly 对于一般用途的轴：对于一般用途的轴：100005100003lly 在安装齿轮或滑动轴承处，许用转角为：在安装齿轮或滑动轴承处，许用转角为：rad001.0 静不定梁静不定梁未知力的数目多于能列出的独立平衡方程的数目

15、，未知力的数目多于能列出的独立平衡方程的数目，仅利用平衡方程不能解出全部未知力，则称为超静定问题或仅利用平衡方程不能解出全部未知力，则称为超静定问题或静不定问题）。静不定问题）。 静不定次数静不定次数=未知力的数目未知力的数目-独立平衡方程数独立平衡方程数BqL4 4个约束反力，个约束反力，3 3个平衡方程，个平衡方程，静不定次数静不定次数=16-5 6-5 简单超静定梁简单超静定梁1 1、确定静不定次数。、确定静不定次数。2 2、选择基本静定梁。、选择基本静定梁。静定梁静定梁(基本静定基基本静定基) 将静不定梁的多余约束解除，得到相应将静不定梁的多余约束解除，得到相应 的静定系统，该系统仅用

16、静力平衡方程就可解出所有反力以的静定系统，该系统仅用静力平衡方程就可解出所有反力以 及内力。及内力。 多余约束多余约束 杆系在维持平衡的必要约束外所存在的多余约束杆系在维持平衡的必要约束外所存在的多余约束 或多余杆件。或多余杆件。多余约束的数目多余约束的数目=超静定次数超静定次数BqL多余约束的数目多余约束的数目=1静定梁静定梁(基本静定基基本静定基)选取选取(2)(2)解除解除A A端阻止转动的支座反力端阻止转动的支座反力矩矩 作为多余约束作为多余约束, ,即选择两端即选择两端简支的梁作为基本静定梁。简支的梁作为基本静定梁。AMBqLAMA(1)(1)解除解除B B支座的约束支座的约束, ,

17、以以 替代，替代，即选择即选择A A端固定端固定B B端自由的悬臂梁端自由的悬臂梁作为基本静定梁。作为基本静定梁。ByFByFBqLA(2) 基本静定基要便于计算，即要有利于建立变形协调条基本静定基要便于计算，即要有利于建立变形协调条 件。一般来说，求解变形时，悬臂梁最为简单，其次件。一般来说，求解变形时，悬臂梁最为简单，其次 是简支梁，最后为外伸梁。是简支梁，最后为外伸梁。 基本静定基选取可遵循的原则：基本静定基选取可遵循的原则：(1) 基本静定基必须能维持静力平衡，且为几何不变系统；基本静定基必须能维持静力平衡，且为几何不变系统；ABqLByFBqLABqLAMA3 3、列出变形协调条件。

18、、列出变形协调条件。比较原静不定梁和静定基在解除约比较原静不定梁和静定基在解除约束处的变形，根据基本静定梁的一束处的变形，根据基本静定梁的一切情况要与原超静定梁完全相同的切情况要与原超静定梁完全相同的要求，得到变形协调条件。要求，得到变形协调条件。0By0A本例：本例： (1)(1)4 4、用积分法或叠加法求变形，并求出多余未知力。、用积分法或叠加法求变形，并求出多余未知力。仅有仅有q q作用，作用，B B点挠度为：点挠度为：EIqlyBq84仅有仅有 作用，作用，B B点挠度为：点挠度为：ByFEIlFyByBF33因而因而BqBFByyyEIql84EIlFBy330解得解得:)(83ql

19、FByByFBqlA5 5、根据静力平衡条件在基本静定梁上求出其余的约束反力。、根据静力平衡条件在基本静定梁上求出其余的约束反力。本例：本例： (1)(1)ByFBqLAAyFAxFAM0 xF, 0AxF0yF),(85qlFAy0AM281qlMA（ ）ByFBqLAAyFAxFAM(+)图sF(-)ql85ql83l85图M281ql21289qlBqL因而因而2max81qlMqlFQ85maxqlFQmax2max21qlM6 6、在基本静定梁上按照静定梁的方法求解内力、应力和变形。、在基本静定梁上按照静定梁的方法求解内力、应力和变形。 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCA

20、AFAyACFCBAFByFCBAA解解例例6 6 求梁的支反力，梁的抗弯求梁的支反力，梁的抗弯刚度为刚度为EIEI。 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA1 1判定超静定次数判定超静定次数2 2解除多余约束，建立相当系统解除多余约束，建立相当系统(d)ABCFByABFC0)()(ByFBFBByyy3 3进行变形比较，列出变形协进行变形比较，列出变形协调条件调条件4 4由物理关系，列出补充方程由物理关系，列出补充方程 EIFaaaEIaFyFB314)29(6)2()(32EIaFyByFBBy38)(303831433EIaFEIFaBy所以

21、所以FFBy474 4由整体平衡条件求其他约束反力由整体平衡条件求其他约束反力 )(43),(2FFFaMAyA 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA(d)ABCFByABFCA AM MA Ay yF F例例7 梁梁AB 和和BC 在在B 处铰接，处铰接，A、C 两端固定，梁的抗弯刚两端固定，梁的抗弯刚度均为度均为EI，F = 40kN，q = 20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。画梁的剪力图和弯矩图。 从从B B 处拆开，使超静定结构变处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。成两个悬臂梁。变形协调方程为：变形协调方程为：21BByyBBFFFByB