金属自由电子气模型

1、 金属自由电子理论 Free Electronic Theory of Metals电磁学期末报告报告人：杨麒麟 学号： 1210261 1Outline1、引言2、经典电子自由理论 特鲁德模型、电导率、导热率 魏德曼弗兰兹定律 经典模型的缺陷3、现代电子自由理论 索菲尔模型 费米-狄拉克统计 费米能4、总结回顾2选题原因1、固体中原子核与电子的分布对于我们研究电磁学和固体物理起到至关重要的作用。2、金属具有良好的导电性、导热性、延展性。3、对金属晶体结构和物性的研究在固体物理中起到至关重要要的作用。3经典电子自由理论 1900年，特鲁德首先将金属中的价电子与理想气体类比，提出了金属电子气理论

2、。 1904年，洛伦兹将麦克斯韦-玻耳兹曼统计分布规律引入电子气，据此就可用经典力学定律对金属自由电子气体模型作出定量计算。 这样就构成了特鲁德-洛仑兹自由电子气理论，称为经典自由电子理论vO vfvvv d vv ddfNN 麦克斯韦速率分布曲线4孤立原子金属晶体中原子结构特鲁德的葡萄干模型56四点前提1、自由电子近似 忽略电子与离子实之间库伦作用2、独立电子近似 电子之间彼此独立3、碰撞假设 电子与离子实碰撞瞬间完成，忽略电子间碰撞4、弛豫时间近似特鲁特自由电子模型7特征参量：自由电子密度n 单位体积内的自由电子数称为自由电子密度。MNznA每个电子平均占据的体积及其等效球的半径3413s

3、rnNV 3143 nrs 金属密度为原子价为z原子量为M阿伏伽德罗常数为NArs10-10m，金属中自由电子气的密度比经典理想气体的浓度(250C时空气的分子密度为: 2.461025个/m3)大1000倍左右(约为:10281029个/m3)。8右表列出了一些金属元素的自由电子密度元元 素素zn/1028m-3rs/10-10mrs/a0Li14.701.723.25Na12.652.083.93K11.402.574.86Cu18.471.412.67Ag15.861.603.02Mg28.611.412.66Ca24.611.733.27Zn213.21.222.30Al318.11.

4、102.07In311.51.272.41Sn414.81.172.22Bi514.11.192.25经计算，rs10-10m，习惯上用玻尔半径a0=0.0529nm为单位作为度量单位描述=9有外电场时金属中自由电子的运动规律(1)在外电场E的作用下, 金属中的电子在电场的反方向上将获得附加速度;(2)当电子与正离子发生碰撞时, 电子将失去附加速度;(3)碰撞后由于外场的继续作用, 电子又会获得定向运动速度而自由的前进。 这个过程在周期性晶体点阵中反复不断的进行。eE=-1=2evamvvjnevjE 平平2()2enejEm22enem金属的电导率10金属的热导率dsdtdzdTdQz0单位

5、截面积单位时间传热1() 26xedTdQnvmC lSdtd利用热力学中推导导热系数的方法，不难得出13eC lv平金属的热导率11魏德曼魏德曼弗兰弗兰兹定律兹定律 (洛仑兹关系洛仑兹关系)1.电导率和热导率之间的关系 实验表明：金属的电导率越高，则其热导率也越高。2.魏德曼弗兰兹定律 在不太低的温度下，金属的导热系数与电导率之比正比于温度，其中比例常数的值不依赖于具体的金属。 vvmlnelCVe,e232 22ekmBv LT 洛仑兹常数与具体的金属和温度无关。洛仑兹常数洛仑兹常数)/K(W102.23e3kL2822B12经典理论的自洽性经典理论的自洽性由之前的推导nm平均自由程的量级

6、约0.1，与金属原子间距离相近，证明经典理论本身是自洽的22enem不难算出22=emne弛豫时间 l=v平平均自由程 关于电阻率的思考1321()EdFmaEmeeJne vne anne由之前的推导可以得到：电阻率貌似是一个与温度无关的量。然而，事实是这样么？经典理论的局限性141、无法解释电阻率随温度变化的现象。2、实际测量的电子平均自由程比经典理论估计值大许多；3、电子比热容测量值只是经典理论值的百分之一；4、无法解释半导体、绝缘体导电性与金属的巨大差异。 现代金属电子理论15索菲尔（Sommerfeld）模型索菲尔在量子理论和费米-狄拉克统计的基础上，重新建立了金属电子论，即索菲尔模

7、型经典模型波色子现代模型费米子是否符合泡利不相容原理v 电子按能量的分布遵从电子按能量的分布遵从FermiDirac统计；统计；v 电子的填充满足电子的填充满足Pauli不相容原理；不相容原理； 自由电子的量子理论Em222rk ier0)(平面波形式的解平面波形式的解 :其中其中为电子的位置矢量，为电子的位置矢量， 为波矢量为波矢量.rkmkE222kpE是电子的能量本征值P为电子的动量本征值单个电子的运动状态可由单个电子的运动状态可由波函数表示波函数表示满足薛定谔方程满足薛定谔方程（Schrodinger equation）16周期性边界条件周期性边界条件：周期性边界条件：)3()()()

8、2()()()1()()(rLrrLrrLrzyx将边界条件与将边界条件与金属电金属电子的波动方程联立得：子的波动方程联立得：1xxLike, 2, 1, 0,2xxxxnnLk, 2, 1, 0,2yyyynnLk, 2, 1, 0,2zzzznnLk能级)(222222222zzyyxxLnLnLnmE在金属的自由电子论中，它不完全自由，它的位在金属的自由电子论中，它不完全自由，它的位置受金属边界的限制置受金属边界的限制经过数学推导，得到经过数学推导，得到17费米费米狄拉克统计狄拉克统计11)(TkEEBFeEf 电子气电子气中的粒子满足泡利不相容原理，服从中的粒子满足泡利不相容原理，服从

9、费米费米狄拉克统计，在平衡时，能量为狄拉克统计，在平衡时，能量为E的能级的能级被电子占据的几率为：被电子占据的几率为：EF称为费米能量费米能量或者化学势化学势系统的吉布斯自由能随某一组分的物质的量的变化率Fermi- Dirac 分布分布0lim( )Tf E1,FEE0,FEE接近于绝对零度情景下系统中电子总数可以表示为系统中电子总数可以表示为g(E) 是电子的态密度是电子的态密度323202323FVmNE000( ) ( )( )FENf E g E dEg E dE2323220223322FNEnmVm FFF0211)(EEEEEEEfT0在时，可以采用同样的方法费米分布函数发生费米分布函数发生变化变化dEEEfENCdEEfCENE025023)(52)(1021)(dEEfCEN)(1251 532020FBFETkEE费米面费米面&费米球费米球费米能级在k空间的等能面费米面；绝对零度下，金属中电子态被占据和未被占据的能级分界面；费米能级是绝对零度下电子的化