人教版高中数学选修（2-1）-3.1《空间向量的正交分解及其坐标表示》教学课件1

1、3.1.4 3.1.4 空间向量的正交分解空间向量的正交分解及其坐标表示及其坐标表示,p,xypxayb.a ba b 如果两个向量不共线，则向量 与向量共面的充要条件是存在实数对 ， ，使共线向量定理共线向量定理:共面向量定理共面向量定理:0/ /a.a b babb 对空间任意两个向量 、 （），的充要条件是存在实数 ，使 1211212212e eaaee .e e 如果 ，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， ，使 （ 、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.）xyoaijaxiy j(1,0),(0,1),0(0,0).ij 我们知道，平

2、面内的任意一个向量我们知道，平面内的任意一个向量 都可以用两个不共都可以用两个不共线的向量线的向量 来表示（平面向量基本定理）来表示（平面向量基本定理）. .对于空间任意一对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？个向量，有没有类似的结论呢？, a b p xyzOijkQPp 给定一个空间坐标系和向量给定一个空间坐标系和向量 且设且设 为空间两两垂直的向量，为空间两两垂直的向量，设点设点Q Q为点为点P P在在 所确定平面上的所确定平面上的正投影正投影p ,ij k , i j 由平面向量基本定理有由平面向量基本定理有,zkOQ实数存在所确定的平面上在, ,i jx y 在所确定的平面上 存

3、在实数jyi xOQ使得kzOQOP使得kzjyi xkzOQOPxyzQPp Oijk 由此可知由此可知, ,如果如果 是空间两两垂直的向量是空间两两垂直的向量, ,那么那么, ,对空间对空间任一向量任一向量 , ,存在一个有序实数组存在一个有序实数组 x,y,zx,y,z使得使得 我们称我们称 为向量为向量 在在 上的分向量上的分向量. ., ,i j k P .pxiy jzk ,xi y j zk, ,i j k p 都叫做都叫做基向量基向量, ,a b c , , , ,. , , .a b cP Pxaybzc x y zRa b ca b c 如果三个向量 , ,不共面,那么所有

4、空间向量组 成的集合就是这个 集合可以看做是由向量生成的故叫做空间的一个基底注注: : 如果三个向量如果三个向量 不共面不共面, ,那么对空间任一那么对空间任一向量向量 , ,存在有序实数组存在有序实数组x,y,zx,y,z使使, ,a b c P .pxaybzc 探究：探究：在空间中在空间中, ,如果用任意三个不共面向量如果用任意三个不共面向量 代替两两代替两两垂直的向量垂直的向量 , ,你能得出类似的结论吗？你能得出类似的结论吗？, ,a b c , ,i j k （1 1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底. .特别提示：特别提示：对

5、于基底对于基底a,b,c,a,b,c,除了应知道除了应知道a,b,ca,b,c不共不共面面, ,还应明确：还应明确：（2 2）由于可视）由于可视 为与任意一个非零向量共线为与任意一个非零向量共线, ,与任意两与任意两个非零向量共面个非零向量共面, ,所以三个向量不共面所以三个向量不共面, ,就隐含着它们都就隐含着它们都不是不是 . .00（3 3）一个基底是指一个向量组）一个基底是指一个向量组, ,一个基向量是指基底中一个基向量是指基底中的某一个向量的某一个向量, ,二者是相关连的不同概念二者是相关连的不同概念. .推论：推论：设设O O、A A、B B、C C是不共线的四点，则对空间任一点是

6、不共线的四点，则对空间任一点P P，都存在唯一的有序实数组，都存在唯一的有序实数组x,y,zx,y,z，使，使 当且仅当当且仅当x+y+z=1x+y+z=1时，时，P P、A A、B B、C C四点共面。四点共面。.OPxOAyOBzOC 二、空间直角坐标系二、空间直角坐标系 单位正交基底：单位正交基底：如果空间的一个基底的三个如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为基向量互相垂直，且长都为1 1，则这个基底叫做，则这个基底叫做单位正交基底单位正交基底, ,常用常用e e1 1 , e , e2 2 , e , e3 3 表示表示 空间直角坐标系：空间直角坐标系：在空间选定一点在空间选

7、定一点O O和一个单位和一个单位正交基底正交基底 e e1 1,e,e2 2,e,e3 3 , ,以点以点O O为原点，分别以为原点，分别以e e1 1,e,e2 2,e,e3 3的的方向为方向为x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴的正方向，建立一个空间直角轴的正方向，建立一个空间直角坐标系坐标系O-xyzO-xyzxyze1e2e3O121323112233,.e e e e eee e ee ee 计算单位正交基之间的数量积 在空间直角坐标系在空间直角坐标系O-xyz中，对空间任一向中，对空间任一向量量 ,平移使其起点与原点平移使其起点与原点o重合重合,得到向量得到向量OP=P由空间向量基

8、本定理可知由空间向量基本定理可知,存在有序实数组存在有序实数组x,y,z使使 P =xe1+ye2+ze3 此时向量此时向量P的坐标恰是点的坐标恰是点P在在直角坐标系直角坐标系oxyz中的坐标中的坐标(x,y,z)，其中，其中x叫做点叫做点P的横坐的横坐标，标，y叫做点叫做点P的纵坐标，的纵坐标，z叫叫做点做点P的竖坐标的竖坐标.xyzOP(x,y,z)e1e2e3P 123, , , , .x y zPe e ePx y z 叫做向量 在单位正交基底下的坐标 记做 在空间直角坐标系在空间直角坐标系O x y z 中，对空间任一点中，对空间任一点P, 对应一个向量对应一个向量 ,于是存在唯一的

9、有序实数组于是存在唯一的有序实数组 x, y, z,使使 (如图如图).OP 123OPxeyeze 显然显然, 向量向量 的坐标，就是点的坐标，就是点P在此空间直角在此空间直角坐标系中的坐标坐标系中的坐标(x,y,z).OP xyzOP(x,y,z) 也就是说也就是说, ,以以O O为起点的有向为起点的有向线段线段 ( (向量向量) )的坐标可以和终点的的坐标可以和终点的坐标建立起一一对应的关系坐标建立起一一对应的关系, ,从而从而互相转化互相转化. . 我们说我们说,点点P的坐标为的坐标为(x,y,z),记作记作P(x,y,z)，其中，其中x叫叫做点做点P的的横坐标横坐标,y叫做点叫做点P的的纵坐标纵坐标,z叫做点叫做点P的的竖坐标竖坐标.e1e2e3例题讲解例题讲解11