线性规划知识复习、题型总结

1、精选优质文档-倾情为你奉上线性规划基础知识：一 1.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+By0+C=02. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax0+By0+C>0;当B<0时，Ax0+By0+C<03. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax0+By0+C<0;当B<0时，Ax0+By0+C>0注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同, （2）在直线Ax

2、+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反,即：1.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)>02.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)<0二.二元一次不等式表示平面区域:二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不包括边界;二元一次不等式Ax+By+C0（或0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+B

3、y+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地, 当C0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，

4、否则是另一侧区域为需画区域。方法二：利用规律：1.Ax+By+C>0,当B>0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），当B<0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）;2.Ax+By+C<0,当B>0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）当B<0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上）。四、线性规划的有关概念：线性约束条件： 线性目标函数：线性规划问题： 可行解、可行域和最优解：典型例题一-画区域1. 用不等式表示以，为顶点的三角形内部的平面区域分析：首先要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出，然后结合图形考虑三角形内部区域应怎

5、样表示。解：直线的斜率为：，其方程为可求得直线的方程为直线的方程为的内部在不等式所表示平面区域内，同时在不等式所表示的平面区域内，同时又在不等式所表示的平面区域内（如图）所以已知三角形内部的平面区域可由不等式组表示说明：用不等式组可以用来平面内的一定区域，注意三角形区域内部不包括边界线2 画出表示的区域，并求所有的正整数解解：原不等式等价于而求正整数解则意味着，还有限制条件，即求依照二元一次不等式表示的平面区域，知表示的区域如下图：对于的正整数解，容易求得，在其区域内的整数解为、3设，；，用图表示出点的范围分析：题目中的，与，是线性关系可借助于，的范围确定的范围解：由得由，得画出不等式组所示平

6、面区域如图所示说明：题目的条件隐蔽，应考虑到已有的，的取值范围借助于三元一次方程组分别求出，从而求出，所满足的不等式组找出的范围4、已知x,y,a,b满足条件：,2x+y+a=6,x+2y+b=6（1）试画出（）的存在的范围； （2）求的最大值。典型例题二-画区域，求面积例3 求不等式组所表示的平面区域的面积分析：关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来，判断其形状进而求出其面积而要将平面区域作出来的关键又是能够对不等式组中的两个不等式进行化简和变形，如何变形？需对绝对值加以讨论解：不等式可化为或；不等式可化为或在平面直角坐标系内作出四条射线：， ，则不等式组所表示的平面区域如图，由于与、与

7、互相垂直，所以平面区域是一个矩形0ABC（图1）根据两条平行线之间的距离公式可得矩形的两条边的长度分别为和所以其面积为典型例题三-求最值一、与直线的截距有关的最值问题 1.如图1所示，已知中的三顶点，点在内部及边界运动，请你探究并讨论以下问题：在 点A 处有最大值 6 ，在边界BC处有最小值 1 ；在 点C 处有最大值 1 ，在 点B 处有最小值0ABC（ 图2 ）0ABC2若、满足条件求的最大值和最小值分析：画出可行域，平移直线找最优解解：作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图所示作直线，即，它表示斜率为，纵截距为的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线过点A时，取得最大值，

8、当过点时，取得最小值 注：可化为表示与直线平行的一组平行线，其中为截距，特别注意：斜率范围及截距符号。即注意平移直线的倾斜度和平移方向。变式：设x,y满足约束条件分别求：(1)z=6x+10y，(2)z=2x-y,(3)z=2x-y，的最大值，最小值。二、与直线的斜率有关的最值问题 表示定点P（x0,y0)与可行域内的动点M(x,y)连线的斜率.例2设实数满足，则的最大值是_ 解析：画出不等式组所确定的三角形区域ABC，表示两点确定的直线的斜率，要求z的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值0ABC（图1）可以看出直线OP的斜率最大，故P为与的交点，即A点故答案为3.如图1所示，已知

9、中的三顶点，点在内部及边界运动，请你探究并讨论以下问题：若目标函数是或，你知道其几何意义吗？你能否借助其几何意义求得和？三、与距离有关的最值问题（配方）的结构表示定点Q （x0,y0)到可行域内的动点N(x,y)的距离的平方或距离。1.已知，求的最大、最小值分析：令，目标函数是非线性的而可看做区域内的点到原点距离的平方问题转化为点到直线的距离问题解：由得可行域(如图所示)为，而到，的距离分别为和 所以的最大、最小值分别是50和2.已知求的最小值 解析：作出可行域如图3，并求出顶点的坐标A（1，3）、B（3，1）、C（7，9）而表示可行域内任一点（x，y）到定点M（0，5）的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足在线段上，故z的最小值是练习：1.给出平面区域如右图所示，若使目标函数z=ax+y (