电工电子第2章4

1、3.2换路定则与初始值的确定SR暂态uC+U-+UiC- uCCo(b)t图(b)合S前:稳态= 0 ,uC= 0iC合S后： uC 由零逐渐增加到U所以电容电路存在暂态过程产生暂态过程的必要条件：(1) 电路中含有储能元件 (内因)(2) 电路发生换路 (外因)若 uc 发生突变，换路:电路状态的改变。如：= duCÞ ¥则i电路接通、切断、 短路、电压改变Cdt一般电路不可能！产生暂态过程的原因：由于物体所具有的能量不能跃变而造成在换路瞬间储能元件的能量也不能跃变12 u i= C 储能：W2Cu不能突变CCC12 L储能：W=2LLi不能突变LL2. 换路定则设：t=

2、0 表示换路瞬间 (定为计时起点)t=0- 表示换路前的终了瞬间t=0+表示换路后的初始瞬间（初始值）&L ( 0 + ) =&L ( 0 - )u C ( 0 - )电感电路：电容电路： u C ( 0 + ) =注：换路定则仅用于换路瞬间来确定暂态过程中uC、 iL初始值。3. 初始值的确定初始值：电路中各 u、i 在 t =0+ 时的数值。求解要点：(1)1)2)uC( 0+)、iL ( 0+) 的求法。先由t =0-的电路求出 uC ( 0 ) 、iL ( 0 )；根据换路定律求出 uC( 0+)、iL ( 0+) 。(2) 其它电量初始值的求法。1)2)由t =0+的

3、电路求其它电量的初始值；在 t =0+时的电压方程中 uC = uC( 0+)、t =0+时的电流方程中 iL = iL ( 0+)。例1暂态S过程C初始值R 的确定2已知：换路前电路处稳态，C、L 均未储能。试求：电路中各电压和电流的初始值。t=0+U-LR1(a)解：(1)由换路前电路求uC (0- ),iL (0- )iL (0- ) = 0uC (0- ) = 0,由已知条件知uC (0+ ) = uC (0- ) = 0&L(0+ ) = &L(0- ) = 0根据换路定则得：例1:暂态过程初始值的确定i(0 ) u(0 )u (0 )+_C+C+2+SRC2i (0

4、)R2i1(0+ )L+t=0+U-+u_ 1(0+)_uL(0+)R1ULR-1(a) 电路(b) t = 0+等效电路(2) 由t=0+电路，求其余各电流、电压的初始值uC (0- ) = 0, 换路瞬间，电容元件可视为短路。&L (0- ) = 0,换路瞬间，电感元件可视为开路。) = 0)iC 、uL 产生突变) = Ui& (0 ) =i& (0( &(0-+1+CCRu2 (0+ ) = 0(uL(0- ) = 0)u (0 ) = u (0 ) =UL+1+例2： 换路前电路处于稳态。试求图示电路中各个电压和电流的初始值。RR2W iU8V2WR2

5、iR34WR2iR34WL+_+t =0 iiiC1LLC4W4WU8V+R+R+_1uC1 uCuuiC4W4W_C_C1_ L_ Lt = 0 -等效电路解：(1) 由t = 0-电路求 uC(0)、iL (0)换路前电路已处于稳态：电容元件视为开路；由t = 0-电路可求得：电感元件视为短路。R1U4U(0 ) =´=´= 1 Ai-4´ 4LR + RR R4 + 4R +132 +13R1 + R34 + 4例2： 换路前电路处于稳态。试求图示电路中各个电压和电流的初始值。R2WR2iLR34WL+_t =0 icc4WU8V+R1+4W u_cu_uL

6、i1CiL (0- ) = 1 AuC (0- ) = R3iL (0- ) = 4´1 = 4 V由换路定则：iL (0+ ) = iL (0- ) = 1 AuC (0+ ) = uC (0- ) = 4 V解：(1)换路前电路处稳态。试求图示电路中各个电压和电流的初始值。例2：iRR2W2WU8VR2iR34WiR2iR34W+_+t =0iCLL4W4WCU+R+_8V1uu1AiCLR14VCL4W_C_1_ Lt = 0+时等效电路uc (0+)解：(2) 由t = 0+电路求 iC(0+)、uL (0+)iL (0+)U = Ri(0+ ) + R2iC (0+ ) +

7、 uC (0+ )i(0+ ) = iC (0+ ) + iL (0+ )8 = 2i(0+ ) + 4iC (0+ ) + 4i(0+ ) = iC (0+ ) + 1由图可列出带入数据例2： 换路前电路处稳态。试求图示电路中各个电压和电流的初始值。iRR2W2WicR2iR34WR2iR34W+_+t =0iiCLL4W4WU8VU+R+_8V1uui1A4WR14V_C1_ L1t = 0+时等效电路解：解之得 iC (0+ ) = 3 A并可求出uL (0+ ) = R2 iC (0+ ) + uC (0+ ) - R3 iL (0+ )= 4 ´ 1 + 4 - 4

8、80; 1 = 1313VR计算结果：2WR2iLR34W+_t =0iC4WU8V+R1+4W u_Cu_uLi1换路瞬间，uC、iL 不能跃变，但 iC、uL可以跃变。电量uC / ViL /AiC /AuL / Vt =0-4100t =0+41131 13结论1.换路瞬间，uC、 iL 不能跃变,变。换路前, 若储能元件没有储能, 换路瞬间(t=0+的等效电路中)，可视电容元件短路，电感元件开路。但其它电量均可以跃2.3. 换路前, 若uC(0-)¹0,换路瞬间 (t=0+等效电路中),电容元件可用一理想电压源替代, 其电压为uc(0+);换路前, 若iL(0-)¹

9、0 ,在t=0+等效电路中,电感元件可用一理想电流源替代，其电流为iL(0+)。3.3RC电路的响应一阶电路暂态过程的求解方法一阶电路仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性电路,路。求解方法1. 经典法:且由一阶微分方程描述，称为一阶线性电根据激励(电源电压或电流)，通过求解电路的微分方程得出电路的响应(电压和电流)。2. 三要素法求初始值稳态值 时间常数（三要素）3 .3 .1RC电路的零输入响应t = 0R 2零输入响应: 无电源激励, 输R1+入信号为零, 仅由电容元件的c初始储能所产生的电路的响应。U 实质：RC电路的放电过程-uC (0- ) = U图示电路换路前电路已处稳态u

10、C (0- ) = Ut =0时开关 S ® 1 , 电容C 经电阻R 放电1. 电容电压 uC 的变化规律(t ³ 0)uR + uC= 0(1) 列 KVL方程一阶线性常系数齐次微分方程= C duCu= &Ri&CRdtRC duC+ u= 0代入上式得Cdt+ u u +iC C(2) 解方程： RC duC+Aept=0=u通解:uCCdt1+1=0 P=-特征方程 RCPR-CtRC=uAe齐次微分方程的通解：C常数 A由初始值确定根据换路定则( ，0t = )=)时，u(C0+U 可得,+=UA(3)电容电压 uC 的变化规律t- t-tRC=

11、 (uC0)euUet ³=0+C电容电压 uC 从初始值按指数规律衰减，衰减的快慢由RC 决定。2.电流及电阻电压的变化规律电容电压uC放电电流- tRC= U euC- tduURCiC= C= - C dteOtRu电阻电压：uR = iC R = -U eRt-iRCCuC 、iC3.、变化曲线4.时间常数: S令:A × s= s(1) 量纲V时间常数 t 决定电路暂态过程变化的快慢(2) 物理意义- tU eRCU-1(Ct ) =u当t =t 时u时间常数=e=36.08UC0等于电压 uC衰减到初始值U0 的36.080所需的时间。t=RC时间常数的物理意义

12、- t-ttRC = RCuC= Ue= UeucU0.368U0tttt231越大，曲线变化越慢，uC达到稳态所需要的时间越长。t1 <t2 <t3(3) 暂态时间理论上认为 t ® ¥、uC ® 0电路达稳态® 0电容放电基本结束。工程上认为t = (3 5)t 、uC- t t 随时间而衰减e当 t =5t 时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。t2t3t4t5t6t- te te-1e-2e-3e-4e-5e-6uC0.368U0.135U0.050U0.018U0.007U0.002U3.3.2RC电路的零状态响应siRt = 0零

13、状态响应:储能元件的初+_ uCU始能量为零， 仅由电源激励所产生的电路的响应。C_实质：RC电路的充电过程分析：在t = 0时，合上开关s， 此时, 电路实为输入一个阶跃电压u，如图。与恒定电压不同，其uC (0 -) = 0uUtt < 0t ³ 0u = ì0O阶跃电压电压u表达式í Uî3.3.2RC电路的零状态响应iRs1. uC的变化规律t = 0+U+u(1) 列 KVL方程CuR + uC= U_c_d u+ uC= URCCu(0 -) = 0d tC方程的通解 =方程的特解 + 对应齐次方程的通解uC (t) = uC¢

14、; + uC¢即一阶线性常系数= U 非齐次微分方程(2) 解方程d u+ u C：RC C d t求特解 u'CdK设： u'C= KU = RC+ K代入方程 ,dt解得： K = U即： u'C= U- tuC= uC¢ + uC¢ = U + AeRC方程的通解:求特解u'C（方法二）(C t ) =uC(¥=)u'UuC¢求对应齐次微分方程的通解duC+=0 的解- teARC通解即：RCuCdtpt其解u： ¢C¢ = Ae=微分方程的通解为- tC¢+u

15、2; =¢ Ctu=U+A（令 tue= RC ）C常数A确定)=t=0+时，(uC0U0根据换路定则在+= -则A(3) 电容电压 uC 的变化规律稳态分量uC仅存在于暂态过程中u¢+U63.2%UuCC电路达到稳定状态totuC¢时的电压-36.8%U-U暂态分量- t- tuC= U (1-e) = U (1-et )RC(t ³ 0)- tuC= U - U eRC2. 电流 iC的变化规律为什么在 t = 0时- ttduU电流最大？iC= C=t ³ 0 C dteRiuuC、 iCCUUC3.变化曲线u- tCRCu= U (1

16、- e)CR4. 时间常数 t 的物理意义当 t = t 时iCttu (t ) = U (1 - e-1 ) = 63.2%UCt 表示电容电压 uC 从初始值上升到 稳态值的63.2% 时所需的时间。3 .3 .3 RC电路的全响应iRst = 0全响应:电源激励、储能元+件的初始能量均不为零时，电路中的响应。_ uCUC_1.uC 的变化规律uC (0 -) = U0根据叠加定理全响应 = 零输入响应 + 零状态响应- t- t uC = U0e RC +U (1-e RC )(t ³ 0)结论1： 全响应 = 零输入响应 + 零状态响应零输入响应零状态响应- t - t =U

17、0e RC +U (1-eRC )(t ³ 0)(t ³ 0)uC全响应- t RC= U +(U0 -U)e稳态值稳态分量暂态分量初始值结论2：全响应 = 稳态分量 +暂态分量uCU0.632UtOttt结论：231t 越大，曲线变化越慢，uC达到稳态时间越长。当 t = 5t 时,暂态基本结束,uC 达到稳态值。t1 <t2 <t3t02t3t4t5t6tuC00.632U0.865U0.950U0.982U0.993U0.998U3.4一阶线性电路暂态分析的三要素法仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性电路, 且由一阶微分方程描述，称为一阶线性电路。

18、据经典法推导结果全响应sRi+Ut = 0_ ucC_uC (0 -) = Uo t-= U + (U - U )e tuC0( ¥ )=u CU稳态解uC (0+ ) = uC (0- ) = U0初始值- tuC= uC (¥) + uC (0+ ) - uC (¥) eRC在直流电源激励的情况下，一阶线性电路微分方程解的通用表达式：式中,f (t)：代表一阶电路中任一电压、电流函数f (0+ )-初始值f (¥)- 稳态值（三要素）t时间常数-利用求三要素的方法求解暂态过程，称为三要素法。f (0+ ) 、一阶电路都可以应用三要素法求解，在求得f

19、(¥)和t 的基础上,可直接写出电路的响应(电压或电流)。- tf (t ) = f (¥) + f (0+ ) - f (¥ ) et电路响应的变化曲线f (t)f (t)f (¥)f (¥)f (0+ )OOttf (0+ ) = 0f (0+ ) ¹ 0(a)(b)f (t)f (t)f (0+ )f (0 )+f (¥)OOttf (¥) = 0f (¥) ¹ 0(c)(d)三要素法求解暂态过程的要点(1) 求初始值、稳态值、时间常数；(2) 将求得的三要素结果代入暂态过程通用表达式；(

20、3) 画出暂态电路电压、电流随时间变化的曲线。f(t)f (¥)终点0.632 f (¥) - f (0+ )+ f (0+ )t起点 f(0+)O响应中“三要素”的确定(1) 稳态值 f (¥) 的计算求换路后电路中的电压和电流 ，其中电容 C 视为开路, 电感L视为短路，即求解直流电阻性电路中的电压和电流。i LS5kWt =0 S3W例： t=0+ 10V-+ u6WC5kW6WC-1m F1H6mA106(¥) =´5ui (¥) = 6´C5+ 5L6 + 6= 3 mA= 5 V(2) 初始值f (0+ ) 的计

21、算uC (0- )、iL (0- )1) 由t=0- 电路求uC (0+ ) = uC (0- )2) 根据换路定则求出(0 ) = ii(0)+-LLu(0 + )或 i (0 + )3) 由t=0+时的电路，求所需其它各量的注意：在换路瞬间 t =(0+) 的等效电路中(1) 若uC (0- ) = U0¹ 0 ，电容元件用恒压源代替，其值等于U0; 若 uC (0- ) = 0 ，电容元件视为短路。(2) 若 iL(0- )=I0 ¹ 0 , 电感元件用恒流源代替 ，其值等于I0 , 若iL (0 - ) = 0 , 电感元件视为开路。若不画 t =(0+) 的等效电

22、路，则在所列 t =0+时的方程中应有 uC = uC( 0+)、iL = iL ( 0+)。(3) 时间常数t 的计算对于一阶RC电路t = R0C对于一阶RL电路Lt =注意：R01) 对于简单的一阶电路 ，R0=R ;2) 对于较复杂的一阶电路， R0为换路后的电路除去电源和储能元件后，在储能元件两端所求得的 无源二端网络的等效电阻。R1R1t=0SR3+R3RR22U-R0C(=RR2 +)CR/0R013t=RR0R0的计算类似于应用戴维宁定理解题时计算电路 等效电阻的方法。即从储能元件两端看进去的等效+U0-C电阻，。应用举例电路如图，t=0时合上开关S，合S前电路已处于例1：稳态

23、。试求电容电压uc 和电流 i2 、iC。t=0Si23kWiC+R+uCuC (0-)RC9mA6kW9mA-2mF6kWt=0-等效电路- t 解： 用三要素法求解u( ¥ ) + u( ¥ ) et=) - uu( 0+CCCCuC (0+ )(1)确定初始值) = 9´10-3 ´6´103 = 54 V由t=0 电路可求得 u(0-C-由换路定则uC (0+ ) = uC (0- ) = 54 Vuc (¥ )(2) 确定稳态值+由换路后电路求稳态值 uc (¥ ) 9mARu(0 )6kW-C6 ´ 3

24、u (¥) = 9 ´ 10-3 ´´ 103C6 + 3t=0-等效电路= 18 V(3) 由换路后电路求时间常数 tt = R0C+R3kW(¥)u9mA6kWC-6´ 3-6=´10´ 2´103t® 电路6 + 3= 4´10-3 suC54Vu (0 ) = 54 V+CuC (¥) = 18 V三要素18Vt = 4 ´ 10 -3 st-3-Ot4´10uC变化曲线uC = 18 + (54 - 18)e= 18 + 36e-250tVuC 的变化曲线如图= C duC= 2 ´ 10-6 ´ 36 ´ (-250)e-250tiCdt= -0.018e-250t A用三要素法求 iCt=0Si23kWiC (0 + )iCuC+RC9mA- 54 V3kW9mA-2mF6kW6kW- tt=0+等效电路i= i (¥) + i(¥)et(0 ) - i+CCCCi (0 )