模糊集概念及其运算

1、1模糊数学模糊数学2主要内容一、模糊集合的基本理论一、模糊集合的基本理论二、模糊数学规划二、模糊数学规划三、模糊模式识别与模糊聚类分析三、模糊模式识别与模糊聚类分析四、模糊决策四、模糊决策五、模糊数学模型五、模糊数学模型3模糊数学的基本理论41.11.1 模糊数学产生的历史背景模糊数学产生的历史背景与发展过程与发展过程一、什么是模糊数学一、什么是模糊数学？模糊数学模糊数学-是从量上研究和处理模糊现象的数模糊现象模糊现象-指没有严格的界线划分而使得很难用精确的尺度来划分的现象。学方法. .5量量不确定性的量确定性的量随机性的量模糊性的量例如，例如，1、投掷一枚硬币，记A=“硬币正面朝上”2、B=

2、“张三是胖子”3、C=“明天天气会很冷”随机事件模糊事件随机模糊事件6下面的例子中可以更鲜明地说明随机性和模糊性的下面的例子中可以更鲜明地说明随机性和模糊性的区别：区别：假如你不幸在沙漠迷了路假如你不幸在沙漠迷了路, , 而且几天没喝过水而且几天没喝过水, ,这时这时你见到两瓶水你见到两瓶水, , 其中一瓶贴有标签：其中一瓶贴有标签：“纯净水纯净水概率概率是是0.810.81”, ”, 另一瓶标着另一瓶标着“纯净水的纯净水的程度程度是是0.810.81”。你选哪一瓶呢？相信会是后者。因为后者的水虽然你选哪一瓶呢？相信会是后者。因为后者的水虽然不太干净不太干净, , 但肯定没毒但肯定没毒, ,

3、这里的这里的0.810.81表现的是水的表现的是水的纯净程度而非纯净程度而非“是不是纯净水是不是纯净水”, , 而前者则表明有而前者则表明有1919的可能不是纯净水的可能不是纯净水( (换句话说就是换句话说就是: : 可能有毒可能有毒) ) 。7众所周知，经典数学是以精确性为特征的.它的逻辑二、为什么要引入模糊数学二、为什么要引入模糊数学基础是“二值逻辑”1、秃子悖论2、朋友悖论8公设公设: : (1) 存在秃头的人和非秃头的人。(2)若有n根头发的人秃, 则有n+1根头发的人亦秃。由此便会导致1 1、秃头悖论、秃头悖论 ：所有人都秃：所有人都秃。证明证明 对n用数学归纳法。(i) n=0的人

4、显然是秃头。(ii) 假定n=k的人是秃头。(iii)由公设(2), n=k+1的人也是秃头。于是由数学归纳法原理知, 对于任意的n0, 有n根头发的人都是秃头。从而所有人都秃。9秃头悖论出现的原因在于, 数学归纳法是以通常集合论为基础的推理方法, 而秃头是个Fuzzy概念, 这里把基于通常集合论的推理方法强行用于Fuzzy概念, 换句话说, 是把一个经典的二值逻辑的推理, 运用到二值逻辑所不能施行的判断上去, 从而导致悖论的产生。2 2、朋友悖论、朋友悖论: :设命题A=“刚结识的朋友是新朋友”, 命题B= “新朋友过一秒种还是新朋友”, 从常识看显然都是真命题。但若以A和B为前提, 反复运

5、用精确推理规则进行推理, 将会得出命题C=“新朋友过100年还是新朋友”。这显然为假的命题。10年龄悖论年龄悖论 由显然为真的两个命题A=“20岁的人是年轻人”和B=“比年轻人早生一天的人还是年轻人出发, 可以推出显然为假的命题C=“100岁老翁也是年轻人”。身高悖论身高悖论 以真命题A=“身高2米者为大个子”和B=“比大个子矮1毫米者仍是大个子”为前提, 可以推出显然为假的命题C=“侏儒也是大个子” 。饥饱悖论饥饱悖论 从真命题A=“3日未食者是饥饿者”和B=“比饥饿者多食一粒米者仍是饥饿者出发, 可以推出假命题C=“一个饥饿者日食3斤米仍是饥饿者” 11“自从按进化论的观点来从事生物学研究

6、以来，有机界领域内固定的分界线一一消失了，几乎无法分类的中间环节日益增多，更精确的研究把有机体从这一类归到另一类，过去 几乎成为信条的那些区别标志，丧失了它们的绝对效力”恩格斯“当系统的复杂性日益增大时，我们对系统特性的精确而有意义的描述能力将相应降低，直至达到这样一个阈值，一旦超越它，精确性和有意义性就变成两个相互排斥的特性。”扎德12信息信息-大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念中年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头脑经过头脑的综合分析判断，就可以接到这个人的综合分析判断，就可以接到这个人. .

7、尽管这里只提供了一个精确信息尽管这里只提供了一个精确信息-男人，而其他男人，而其他例如例如, ,要你某时到某地去迎接一个要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”. .13三、研究方向及应用三、研究方向及应用模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、勘探、医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的应用而又成功的应用. .理论上的研究方向1、发展模糊

8、集的理论和方法，建立自身的理论体系；2、将各个经典数学分支进行模糊化；3、应用上将fuzzy集方法打入各个学科专业领域。14四、模糊数学发展历程四、模糊数学发展历程1. 模糊理论的萌芽模糊理论的萌芽(20世纪世纪60年代年代)对模糊性的讨论对模糊性的讨论, , 可以追溯得很早。可以追溯得很早。2020世纪的大哲学世纪的大哲学家罗素家罗素(B.Russel)(B.Russel)在在19231923年一篇题为年一篇题为含糊性含糊性(Vagueness) (Vagueness) 的论文里专门论述过我们今天称之为的论文里专门论述过我们今天称之为“模糊性模糊性”的问题的问题( (严格地说严格地说, ,

9、两者稍有区别两者稍有区别), ), 并且并且明确指出明确指出: “: “认为模糊知识必定是靠不住的认为模糊知识必定是靠不住的, , 这种看这种看法是大错特错的。法是大错特错的。” ” 尽管罗素声名显赫尽管罗素声名显赫, , 但这篇发但这篇发表在南半球哲学杂志的文章并未引起当时学术界对模表在南半球哲学杂志的文章并未引起当时学术界对模糊性或含糊性的很大兴趣。这并非是问题不重要糊性或含糊性的很大兴趣。这并非是问题不重要, , 也也不是因为文章写得不深刻不是因为文章写得不深刻, , 而是而是“时候未到时候未到”。 15人脑能接受和处理人脑能接受和处理FuzzyFuzzy信息信息, , 能依据少量的能依

10、据少量的FuzzyFuzzy信信息对事物做出足够准确的识别、判断和推理，能灵活息对事物做出足够准确的识别、判断和推理，能灵活机动地解决复杂的模糊性问题。凭借这种能力机动地解决复杂的模糊性问题。凭借这种能力, , 司机司机可以驱车安全穿越闹市可以驱车安全穿越闹市, , 医生可以依据病人的症状所医生可以依据病人的症状所提供的提供的FuzzyFuzzy信息进行准确诊断信息进行准确诊断, , 画家不用精确的测画家不用精确的测量计算可以画出栩栩如生的风景和人物量计算可以画出栩栩如生的风景和人物, , 儿童可以辨儿童可以辨认潦草的字迹认潦草的字迹, ,听懂不完整的言语听懂不完整的言语, , 甚至婴儿也可以

11、甚至婴儿也可以迅速地从人群中识别出自己的母亲。而这一切都是以迅速地从人群中识别出自己的母亲。而这一切都是以精确制胜的计算机所望尘莫及的。精确制胜的计算机所望尘莫及的。 16罗素精辟的观点是超前的。长期以来罗素精辟的观点是超前的。长期以来, , 人们一直把模人们一直把模糊看成贬义词糊看成贬义词, , 只对精密与严格充满敬意。计算机是只对精密与严格充满敬意。计算机是在精确科学的沃土中培育起来的一朵奇葩在精确科学的沃土中培育起来的一朵奇葩, , 计算机解计算机解决问题的高速度和高精度决问题的高速度和高精度, , 是人脑望尘莫及的。有了是人脑望尘莫及的。有了计算机计算机, , 精确方法的可行性大大提高

12、了。但是也正是精确方法的可行性大大提高了。但是也正是在使用计算机的实践中在使用计算机的实践中, , 人们认识到人脑具有远胜于人们认识到人脑具有远胜于计算机的许多能力，人们更深刻地理解了精密性的局计算机的许多能力，人们更深刻地理解了精密性的局限限, , 促进了人们对其对立面或者说它的促进了人们对其对立面或者说它的“另一半另一半”模糊性的研究。模糊性的研究。17计算机不能象人脑思维那样灵活、敏捷地处理模糊信计算机不能象人脑思维那样灵活、敏捷地处理模糊信息息, , 其根本原因是它基于二值逻辑其根本原因是它基于二值逻辑( (与之相适应的是与之相适应的是康托尔集合论康托尔集合论) )。L.A.Zadeh

13、L.A.Zadeh正是深刻地认识到这一点正是深刻地认识到这一点, , 创造性地提出模糊集合的概念创造性地提出模糊集合的概念, , 为模糊理论的发展奠为模糊理论的发展奠定了基础。定了基础。自模糊理论诞生之日起自模糊理论诞生之日起, , 它就一直处于各派的激烈争它就一直处于各派的激烈争论之中。一些学者认为论之中。一些学者认为“模糊化模糊化与基本的科学原与基本的科学原则相违背。最大的挑战来自于统计和概率论领域的数则相违背。最大的挑战来自于统计和概率论领域的数学家们学家们, , 他们认为概率论已足以描述不确定性他们认为概率论已足以描述不确定性, , 而且而且任何模糊理论可以解决的问题，概率论也都可以解

14、决任何模糊理论可以解决的问题，概率论也都可以解决得一样好或更好。得一样好或更好。18由于模糊理论在初期没有实际应用由于模糊理论在初期没有实际应用, , 所以它很难击败所以它很难击败上述这种纯哲学观点的质疑。当时几乎世界上所有的上述这种纯哲学观点的质疑。当时几乎世界上所有的大型研究机构都未将模糊理论作为一个重要的研究领大型研究机构都未将模糊理论作为一个重要的研究领域。域。2. 2. 模糊理论继续发展并出现了实际应用模糊理论继续发展并出现了实际应用(70(70年代年代) ) 模糊理论成为一个独立的领域模糊理论成为一个独立的领域, , 很大程度上归功于很大程度上归功于ZadehZadeh的贡献及其杰

15、出的研究工作。模糊理论的大多的贡献及其杰出的研究工作。模糊理论的大多数基本概念都是由数基本概念都是由ZadehZadeh在在2020世纪世纪6060年代末年代末7070年代初年代初提出来的。他在提出来的。他在19681968年提出模糊算法的概念年提出模糊算法的概念, 1970, 1970年年提出模糊决策提出模糊决策(Bellman(Bellman和和Zadeh), 1971Zadeh), 1971年提出了模糊年提出了模糊排序。排序。1919731973年年ZadehZadeh发表了另一篇开创性文章发表了另一篇开创性文章分析复杂系分析复杂系统和决策过程的新方法纲要统和决策过程的新方法纲要, ,

16、该文建立了研究模糊该文建立了研究模糊控制的基础理论控制的基础理论, , 在引入语言变量这一概念的基础上在引入语言变量这一概念的基础上, , 提出了用模糊提出了用模糊IF-THENIF-THEN规则来量化人类知识。规则来量化人类知识。2020世纪世纪7070年代的一个重大事件就是诞生了处理实际系年代的一个重大事件就是诞生了处理实际系统的模糊控制器。在统的模糊控制器。在19751975年年, , 英国工程师英国工程师MamdaniMamdani和和Assilian Assilian 创立了模糊控制器的基本框架创立了模糊控制器的基本框架, , 并将模糊并将模糊控制器用于控制蒸汽机。后来在控制器用于控

17、制蒸汽机。后来在19781978年年, , 丹麦丹麦HolmbladHolmblad和和QstergaardQstergaard为整个工业过程开发出了模糊为整个工业过程开发出了模糊水泥窑控制器。水泥窑控制器。 20总的说来总的说来, , 公认的模糊理论的基础创建于公认的模糊理论的基础创建于2020世纪世纪7070年年代。随着许多新概念的引进代。随着许多新概念的引进, , 模糊理论作为一门新领模糊理论作为一门新领域的前景已经日益清晰了。像模糊蒸汽机控制器和模域的前景已经日益清晰了。像模糊蒸汽机控制器和模糊水泥窑控制器这类最初的应用也已经表明了这一领糊水泥窑控制器这类最初的应用也已经表明了这一领域

18、的潜力。域的潜力。 3. 3. 模糊理论的大规模应用使其产生巨大飞跃模糊理论的大规模应用使其产生巨大飞跃(20(20世纪世纪8080年代年代) )从理论角度讲从理论角度讲, 20, 20世纪世纪8080年代初这一领域的进展缓慢。年代初这一领域的进展缓慢。这期间没有提出什么新的概念和方法这期间没有提出什么新的概念和方法, , 这是因为几乎这是因为几乎没有人继续从事该领域的研究没有人继续从事该领域的研究, , 只有模糊控制方面的只有模糊控制方面的应用保存下来。应用保存下来。21然而然而, , 与理论进展缓慢相比与理论进展缓慢相比, , 模糊控制的应用非常振模糊控制的应用非常振奋人心并引起了模糊领域

19、的一场巨变。日本工程师们奋人心并引起了模糊领域的一场巨变。日本工程师们, , 以其对新技术的敏感以其对新技术的敏感, , 迅速地发现模糊控制器对许多迅速地发现模糊控制器对许多问题来讲都是易于设计的问题来讲都是易于设计的, , 而且操作效果也非常好。而且操作效果也非常好。因为模糊控制不需要过程的数学模型因为模糊控制不需要过程的数学模型, , 所以它可以应所以它可以应用到很多因数学模型未知而无法使用传统控制论的系用到很多因数学模型未知而无法使用传统控制论的系统中去。统中去。19801980年年, Sugeno, Sugeno开创了日本的首次模糊应开创了日本的首次模糊应用用控制一家富士电子水净化工厂

20、。控制一家富士电子水净化工厂。19831983年年, , 他又他又开始研究模糊机器人开始研究模糊机器人, , 这种机器人能够根据呼唤命令这种机器人能够根据呼唤命令来自动控制汽车的停放。来自动控制汽车的停放。222020世纪世纪8080年代初年代初, , 来自于日立公司的来自于日立公司的YasunobuYasunobu和和MiyamotoMiyamoto开始给仙台地铁开发模糊系统。他们于开始给仙台地铁开发模糊系统。他们于19871987年结束了该项目年结束了该项目, , 并创造了世界上最先进的地铁系统。并创造了世界上最先进的地铁系统。19871987年年7 7月月, , 第二届国际模糊系统协会年

21、会在东京召第二届国际模糊系统协会年会在东京召开。会议是在仙台地铁开始运行后三天召开的开。会议是在仙台地铁开始运行后三天召开的, , HirotaHirota还在会议上演示了一种模糊机器人手臂还在会议上演示了一种模糊机器人手臂, , 他能他能实时地做二元空间内的乒乓动作实时地做二元空间内的乒乓动作, Yamakawa, Yamakawa也证明也证明了模糊系统可以保持倒立摆的平衡。此后了模糊系统可以保持倒立摆的平衡。此后, , 支持模糊支持模糊理论的浪潮迅速蔓延到工程、政府以及商业团体中。理论的浪潮迅速蔓延到工程、政府以及商业团体中。23到了到了2020世纪世纪9090年代初年代初, , 市场上已

22、经出现了大量的模糊市场上已经出现了大量的模糊消费产品。在日本出现了消费产品。在日本出现了“模糊模糊”热热, , 家电产品中家电产品中, , 不带不带FuzzyFuzzy的产品几乎无人购买。空调器、电冰箱、的产品几乎无人购买。空调器、电冰箱、洗衣机、洗碗机等家用电器中已广泛采用了模糊控制洗衣机、洗碗机等家用电器中已广泛采用了模糊控制技术。我国也于技术。我国也于2020世纪世纪9090年代初在杭州生产了第一台年代初在杭州生产了第一台模糊洗衣机。模糊洗衣机。模糊数学于模糊数学于19761976年传入我国后年传入我国后, , 得到迅速发展。得到迅速发展。19801980年成立了模糊数学与模糊系统学会年

23、成立了模糊数学与模糊系统学会, 1981, 1981年创办年创办模模糊数学糊数学( (华中工学院华中工学院) )杂志杂志, 1987, 1987年创办年创办模糊系统模糊系统学会学会( (国防科技大学国防科技大学) )。中国被公认为模糊数学研究。中国被公认为模糊数学研究的四大中心的四大中心 ( (美国、欧洲、日本、中国美国、欧洲、日本、中国) ) 之一。之一。244. . 模糊理论仍有更多的挑战模糊理论仍有更多的挑战(20(20世纪世纪9090年代以后年代以后) )日本模糊系统的成功震惊了美国和欧洲主流学者们日本模糊系统的成功震惊了美国和欧洲主流学者们( (常说常说: : 模糊理论生在美国模糊理

24、论生在美国, , 却长在日本却长在日本) )。一些学者。一些学者仍对模糊理论持批评态度仍对模糊理论持批评态度, , 但更多的学者不仅已经转但更多的学者不仅已经转变观念变观念, , 而且还给予了模糊理论发展壮大的机会。而且还给予了模糊理论发展壮大的机会。19921992年年2 2月月, , 首届首届IEEEIEEE模糊系统国际会议在圣地亚哥模糊系统国际会议在圣地亚哥召开了召开了, , 这次大会标志着模糊理论已被世界上最大的这次大会标志着模糊理论已被世界上最大的工程师协会工程师协会IEEEIEEE所接受所接受, , 而且而且IEEEIEEE还于还于19931993年创年创办了办了IEEEIEEE模

25、糊系统会刊。模糊系统会刊。25模糊理论的目的在于进一步开发人脑的智能和模拟模糊理论的目的在于进一步开发人脑的智能和模拟人脑的思维方式人脑的思维方式, , 而人脑是创造一切现代文明的源而人脑是创造一切现代文明的源泉泉, , 所以模拟人脑既是极富于挑战性的任务所以模拟人脑既是极富于挑战性的任务, , 又必又必然是十分艰难的工作。在这方面的点滴进步都是可然是十分艰难的工作。在这方面的点滴进步都是可贵的贵的, , 并且终将把模糊理论推向成熟。并且终将把模糊理论推向成熟。学习模糊数学就如同营养和丰富你大脑的功能。同学习模糊数学就如同营养和丰富你大脑的功能。同时时, , 正因为模糊理论尚不成熟正因为模糊理

26、论尚不成熟, , 大家在学习的过程大家在学习的过程中 可 以 不 断 地 尝 试 去 改 进 它 和 完 善 它中 可 以 不 断 地 尝 试 去 改 进 它 和 完 善 它 . .261.2 模糊集的概念及其运算模糊集的概念及其运算一、经典集合一、经典集合其有两条基本属性：其有两条基本属性：1、元素彼此相异，即无重复性；、元素彼此相异，即无重复性；2、范围边界分明、范围边界分明,即一个元素即一个元素x要么属于集合要么属于集合A(记作记作x A),要么不属于集合要么不属于集合(记作记作x A)，二者必居其一，二者必居其一.27集合的表示法：(1)枚举法，A=x1 , x2 , xn；(2)描述

27、法，A=x | x所具有的特征.A B 若若x A，则则x B；A=B A B且且 A B. 集合A的所有子集所组成的集合称为A的幂集，记为记为P(A).28为A的特征函数或隶属函数， ., 0;, 1)(AxAxxA（3）集合A的特征函数表示法定义定义1：设A P(U),称下面函数)(A)(xA称为x对A的隶属度。论域U的子集A的表示法;1 , 0:UA即., 0;, 1)(AUxAxxA29特征函数的性质：特征函数的性质： ).(1)();()()();()()(xxxxxxxxAABABABABAc取大运算取大运算, ,如如23 = 3取小运算取小运算, ,如如23 = 2并集并集AB

28、= x | x A或或x B ；交集交集AB = x | x A且且x B ；余集余集Ac = x | x A . .集合之间的运算集合之间的运算30集合之间运算规律集合之间运算规律幂等律：幂等律： AA = A， AA = A；交换律：交换律： AB = BA， AB = BA；结合律：结合律：( AB )C = A( BC )， ( AB )C = A( BC )；吸收律：吸收律： A( AB ) = A，A( AB ) = A；分配律：分配律：( AB )C = ( AC )( BC )； ( AB )C = ( AC )( BC )；31U 为全集，为全集， 为空集为空集.集合的直积：

29、集合的直积：0-1律：律：AU = U ， AU = A ； A = A ， A = ； 还原律：还原律：对偶律：对偶律：排中律：排中律：X Y = (x , y )| x X , y Y .AAcc)(ccccccBABABABA)(,)(ccAAUAA,XYYX 32二、模糊子集及其运算二、模糊子集及其运算1、定义：、定义：设设X是论域，称映射是论域，称映射A(x)：X0,1确定了一个确定了一个X上的模糊子集上的模糊子集A，映射，映射A(x)称为称为A的隶属函数，的隶属函数，它表示它表示x对对A的隶属程度的隶属程度.使使A(x) = 0.5的点的点x称为称为A的过渡点，此点最具模糊性的过渡

30、点，此点最具模糊性.当映射当映射A(x)只取只取0或或1时，模糊子集时，模糊子集A就是经典子集，而就是经典子集，而A(x)注意：注意：就是它的特征函数就是它的特征函数. 即经典子集就是模糊子集的特殊情形即经典子集就是模糊子集的特殊情形.33例例1 设设X=0, 200表示年龄表示年龄, A, B表示表示“年轻年轻”和和“年老年老”的模糊集合的模糊集合, 其隶属函数分别为：其隶属函数分别为：121025( )251252005xA xxx120050( )501502005xB xxx 34隶属函数是刻画模糊集合最基本的概念隶属函数是刻画模糊集合最基本的概念,合理地构造隶属函数是模糊数学应用的关

31、键。合理地构造隶属函数是模糊数学应用的关键。由于模糊集合是人脑对客观事物的主观反映由于模糊集合是人脑对客观事物的主观反映,虽然有一定的统计规律性虽然有一定的统计规律性, 但实际上很难给出一个模糊集合但实际上很难给出一个模糊集合隶属函数的惟一表达式隶属函数的惟一表达式, 也没有一种统一的方法来构造隶属函数。也没有一种统一的方法来构造隶属函数。35 例例2 设论域设论域X = x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)(单位：单位：cm)表示人的身高，那么表示人的身高，那么X X上的一个模糊集上的一个模糊集“高个高个子子”(

32、A)的隶属函数的隶属函数A(x)可定义为可定义为140190140)(xxA100200100)(xxA362. 2. 模糊集的表示方法模糊集的表示方法模糊集合本质上是论域模糊集合本质上是论域X到到0, 1的函数的函数, 因此用隶属函数因此用隶属函数来表示模糊集合是最基本的方法。以外来表示模糊集合是最基本的方法。以外, 还有以下的表示方法：还有以下的表示方法：（1） 序偶表示法序偶表示法A=(x, A(x)|x X.例如例如: 用集合用集合X=x1, x2, x3, x4表示某学生宿舍中的四位男同学表示某学生宿舍中的四位男同学,“帅哥帅哥”是一个模糊的概念。经某种方法对这四位学生评价是一个模糊

33、的概念。经某种方法对这四位学生评价,则以此评价构成的模糊集合则以此评价构成的模糊集合A记为记为:A=(x1, 0.55), (x2, 0.78), (x3, 0.91), (x4, 0.56).37（2） 向量表示法向量表示法当论域当论域X=x1, x2, , xn时时, X上的模糊集上的模糊集A可表示为向量可表示为向量A=(A(x1), A(x2), ,A(xn).前述的模糊集前述的模糊集“帅哥帅哥”A可记为可记为: A=(0.55, 0.78, 0.91, 0.56).这种向量称之为模糊向量这种向量称之为模糊向量,它的第它的第i个分量个分量A(xi) 0,1 。（3）Zadeh表示法表示法

34、当论域当论域 X=x1, x2, , xn为有限集时为有限集时, X上的一个模糊集合可表示为上的一个模糊集合可表示为lA=A(x1)/x1+A(x2)/x2+ +A(xn)/xn.38前述的模糊集前述的模糊集“帅哥帅哥”A可记为可记为:A=0.55/x1+0.78/x2+0.91/x3+0.56/x4.注意注意: 这里仅仅是借用了算术符号这里仅仅是借用了算术符号+和和/, 并不表示分式求和运算并不表示分式求和运算,而只是描述而只是描述A中有哪些元素中有哪些元素,以及各个元素的隶属度值。还可使用以及各个元素的隶属度值。还可使用形式上形式上 符号符号, 从而可用这种方法表示论域为有限集合或可列集合

35、从而可用这种方法表示论域为有限集合或可列集合的模糊集。比如的模糊集。比如11( )( )/,niiiiiiA xA xxx39( )( )/ ,x Xx XA xAA xxAx或此外此外, Zadeh还可使用积分符号还可使用积分符号 表示模糊集表示模糊集, 这种表示法这种表示法适合于任何种类的论域适合于任何种类的论域, 特别是无限论域中的模糊集合的描述。特别是无限论域中的模糊集合的描述。与与 符号相同符号相同, 这里的这里的 仅仅是一种符号表示仅仅是一种符号表示, 并不意味着积分运算。并不意味着积分运算。对于任意论域对于任意论域X中的模糊集合中的模糊集合A可记为可记为:40模糊集模糊集“年轻年

36、轻”A可表示为可表示为 0 ,2 5 21( 2 5 ,1 0 0 )1 0 0 ,2 0 0 12 51() 50 xxxAxxxx410/1 0/20.3/3 0.7/4 1/51/60.7/70.3/80/90/100.3/3 0.7/4 1/5 1/60.7/70.3/8(0,0,0.3,0.7,1,1,0.7,0.3,0,0)AAA或或注意：注意：当论域明确的情况下当论域明确的情况下, 在序偶和在序偶和Zadeh表示法中表示法中,隶属度为隶属度为0的项可以不写出。而在向量表示法中的项可以不写出。而在向量表示法中, 应该写出全部分量。应该写出全部分量。例例3 论域论域X为为1到到10的

37、所有正整数的所有正整数, 模糊集模糊集“几个几个”A可表示为：可表示为：423 3、模糊集上的运算、模糊集上的运算（1） 几点说明几点说明如前所述如前所述, 经典集合可用特征函数完全刻画经典集合可用特征函数完全刻画, 因而经典集合可看成因而经典集合可看成模糊集的特例模糊集的特例(即隶属函数只取即隶属函数只取0, 1两个值的模糊集两个值的模糊集)。设设X为非空论域为非空论域, X上的全体模糊集记作上的全体模糊集记作F(X). 于是于是, P(X) F(X),这里这里P(X)为为X的幂集的幂集(即即X的全体子集构成的集合的全体子集构成的集合). 特别地特别地, 空集空集的隶属函数恒为的隶属函数恒为

38、0, 集集X的隶属函数恒为的隶属函数恒为1,即即、X都是都是X上的模糊集。上的模糊集。43（2） 模糊集的包含关系模糊集的包含关系首先考查经典集合包含关系的特征。首先考查经典集合包含关系的特征。设设X为非空论域为非空论域, A, B为为X上的两个上的两个经典经典集合。集合。 A B当且仅当当且仅当属于属于A的元素都属于的元素都属于B.易证易证A B当且仅当对任意当且仅当对任意x X,有有 A(x) B(x).44设设X为非空论域为非空论域, A, B为为X上的两个上的两个模糊模糊集合。集合。称称A包含于包含于B(记作记作A B), 如果对任意如果对任意x X有有A(x) B(x).这时也称这时

39、也称A为为B的子集。的子集。45例例4 论域论域X=x1, x2, x3, x4时时, X上的模糊集上的模糊集A为为:A=(0.55, 0.78, 0.91, 0.56).X上的模糊集上的模糊集B为为: B=(0.35, 0.52, 0.65, 0.37).论域论域X上的模糊集上的模糊集A与与B称为是相等的称为是相等的, 如果如果A B 且且B A,即对任意即对任意x X有有A(x)= B(x).则根据定义有则根据定义有B A.46（3）模糊集的并）模糊集的并经典经典集合的并集合的并设设X为非空论域为非空论域, A, B为为X上的两个经典集合。上的两个经典集合。lAB=x X| x A或或x

40、B.易证易证（A B）(x)=maxA(x), B(x)=A(x) B(x).47设设X为非空论域为非空论域, A, B为为X上的两个上的两个模糊模糊集合。集合。 A与与B的并的并(记作记作AB)是是X上的一个模糊集上的一个模糊集, 其隶属函数定义为其隶属函数定义为(AB)(x)=maxA(x), B(x)=A(x) B(x), x X.48（4） 模糊集的交模糊集的交非空论域非空论域X上的两个上的两个模糊模糊集合集合A与与B的交的交(记作记作AB)是是X上的一个模糊集上的一个模糊集, 其隶属函数定义为其隶属函数定义为(AB)(x)=minA(x), B(x)=A(x) B(x), x X.4

41、9（5）模糊集的补）模糊集的补非空论域非空论域X上的一个模糊集合上的一个模糊集合A的补的补(记作记作A 或或Ac)是是X上上的一个模糊集的一个模糊集, 其隶属函数定义为其隶属函数定义为A (x)=1 A(x), x X.50:0,1;()(),.iiIiiiIiIAXAxAxxX:0,1;( )( ),.iiIiiiIiIAXAxAxxX注：注：两个模糊集的并、交运算可以推广到一般情形两个模糊集的并、交运算可以推广到一般情形,即对任意指标集即对任意指标集I, 若若Ai是是X上的模糊集上的模糊集, i I. 则模糊集的则模糊集的(任意任意)并、并、(任意任意)交定义为交定义为:51例例5 设论域

42、设论域X=x1, x2, x3, x4为一个为一个4人集合人集合, X上的模糊集合上的模糊集合A表示表示“高个子高个子”: A= (x1, 0.6), (x2, 0.5), (x3, 1) , (x4, 0.4) .模糊集合模糊集合B表示表示“胖子胖子”: B= (x1, 0.5), (x2, 0.6), (x3, 0.3) , (x4, 0.4) . 则模糊集合则模糊集合“高或胖高或胖”为为:AB=(x1, 0.60.5),(x2, 0.50.6),(x3, 10.3), (x4, 0.40.4) =(x1, 0.6), (x2, 0.6), (x3, 1), (x4, 0.4).模糊集合模

43、糊集合“又高又胖又高又胖”为为: AB=(x1, 0.5), (x2, 0.5), (x3, 0.3), (x4, 0.4).模糊集合模糊集合“个子不高个子不高”为为: A =(x1, 0.4), (x2, 0.5), (x3, 0), (x4, 0.6). 52模糊集合关于并、交、补运算具有以下性质模糊集合关于并、交、补运算具有以下性质:定理定理 设设X为论域为论域, A, B, C为为X上的模糊集合上的模糊集合, 则则(1) 幂等律幂等律: AA=A, AA=A;(2) 交换律交换律: AB=BA, AB=BA;(3) 结合律结合律: (AB)C=A(BC), (AB)C=A(BC);(4

44、) 吸收律吸收律: A(AB)=A, A(AB)=A;(5) 分配律分配律: A(BC)= (AB)(AC), A(BC)=(AB)(AC);4 模糊集的运算性质模糊集的运算性质53(6) 对合律对合律(复原律复原律): (Ac)c=A; (7) 两极律两极律(同一律同一律): AX=A, AX=X, A=, A=A;(8) De Morgan对偶律对偶律: (AB) =A B , (AB) =A B .证明证明De Morgan对偶律对偶律:对任意对任意x X, 由于由于 (AB) )(x)=1 (AB)(x)= 1 (A(x)B(x)= (1 A(x)(1 B(x)=A (x)B (x)=(A B )(x).所以所以 (AB) =A B .同理可证同理可证(AB) =A B . 54注注1：满足以上满足以上8条性质的代数系统称为条性质的代数系统称为De Margan代数代数, 也称为软代数也称为软代数(soft algebra).例例5 设论域设论域X=a, b上的模糊集上的模糊集A=(a, 0.6), (b, 0.3).则则A =(a,0.4),(b,0.7). 从而从而AA =(a,0.6), (b, 0.7) X,lAA =(a, 0.4), (b, 0.3) .注