9、第九章刚体的平面运动

1、刚体平面运动实例刚体平面运动实例第九章第九章 刚体的平面运动刚体的平面运动9-1 刚体平面运动的概念刚体平面运动的概念 在运动中，刚体上的任意一点与某一固定在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离。即：平面图形上平面始终保持相等的距离。即：平面图形上各点都在该平面内运动。各点都在该平面内运动。 所以，刚体的平面运动可简化为平面图所以，刚体的平面运动可简化为平面图形在它自身平面内的运动来研究。形在它自身平面内的运动来研究。9-2 9-2 刚体的平面运动分解为平动和转动刚体的平面运动分解为平动和转动 平面图形上各点的运动可以代表刚体内所有点平面图形上各点的运动可以代表刚体内所有点

2、的运动。因此，刚体的平面运动可简化为平面图形的运动。因此，刚体的平面运动可简化为平面图形在它自身平面内的运动来研究。在它自身平面内的运动来研究。xO(t)(x(t),y(t)M )(1 0tfx)(2 0tfy)(3tf平面运动平面运动)(3tf 0 x=常数常数 0y=常数常数 定轴转动定轴转动)(1 0tfx)(2 0tfy=常数常数平动平动 因此，刚体平面运动可以分解为随同基点的平因此，刚体平面运动可以分解为随同基点的平动和转动，反之可以合成为平面运动。动和转动，反之可以合成为平面运动。ABAABB平面图形的绝对运动可看平面图形的绝对运动可看成随同基点的平动和绕基成随同基点的平动和绕基点

3、的转动两部分运动的合点的转动两部分运动的合成。成。基点选择的影响基点选择的影响212010 即即：,limlimtttt2121 dtddtd 平面运动的平动部分的速度和加速度与基点的选平面运动的平动部分的速度和加速度与基点的选择有关，绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择有关，绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择无关。择无关。ABAABB平面图形的绝对运动可看平面图形的绝对运动可看成随同基点的平动和绕基成随同基点的平动和绕基点的转动两部分运动的合点的转动两部分运动的合成。成。基点选择的影响基点选择的影响, 212100limlimaavvtAAtAAtt即： 平面运动的平动部分的速度和

4、加速度与基点的选平面运动的平动部分的速度和加速度与基点的选择有关，绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择有关，绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择无关。择无关。9-3 求平面图形内各点的速度求平面图形内各点的速度A AV V 平面图形上任一点的速度等于随任选基点的平动速度与绕该基平面图形上任一点的速度等于随任选基点的平动速度与绕该基点的转动速度的矢量和点的转动速度的矢量和。BAABvvv1.1.基点法基点法ABA AV VB BA AV VvB其中其中:ABBAABv其方向垂直于其方向垂直于AB 基点法既可以求刚体上任一点的速度基点法既可以求刚体上任一点的速度,也可以求刚体作平面运动也可

5、以求刚体作平面运动的角速度。的角速度。reavvv其中其中AB为刚体平面运动的角速度。为刚体平面运动的角速度。的的大大小小、方方向向已已知知。AvOABv vA A v vB B v vBABA v vA A BAABvvvr vAvvABcoscos)cos( BA2B2A2BAv2vvvvABvBABA解：解：AB作平面运动作平面运动，A点的速度已知。点的速度已知。例例:曲柄连杆机构如图所示曲柄连杆机构如图所示,OA=r，以匀角速，以匀角速绕绕O转动，转动，AB=l，求当求当=300时滑块时滑块B的速度。的速度。二、速度投影法二、速度投影法BAABvvv0cosvcosvAB 刚体上任意两

6、点的速度在该两点的连线上投影相等，刚体上任意两点的速度在该两点的连线上投影相等， 称之为速度投影定理。称之为速度投影定理。A AV VABA AV VB BA AV VvBcosvcosvBA 速度投影定理主要用于已知刚体上两点速度的方向及速度投影定理主要用于已知刚体上两点速度的方向及其中一点速度的大小其中一点速度的大小, ,求另一点速度的大小，但不能用来求另一点速度的大小，但不能用来求角速度。求角速度。例例：四连杆机构如图，：四连杆机构如图，AB=BC=CD=l，AB的角速度为的角速度为0 ，求当求当1= 2 =60o时，时，CD杆的角速度杆的角速度D 。vBvCABCD01221cosco

7、svvCB解：根据速度投影解：根据速度投影定理有：定理有：lvB0llvDc210coscos210coscosD三、求平面图形上各点速度的瞬心法三、求平面图形上各点速度的瞬心法此时，刚体可以看作是绕此时，刚体可以看作是绕C点作瞬时转动。点作瞬时转动。把把速度瞬时为零的点速度瞬时为零的点称为称为速度瞬时中心速度瞬时中心，简称简称瞬心瞬心。BAABvvv若能找到一点若能找到一点C使得使得VC=0，则以，则以C点为基点：点为基点：BCBCBCCBvvvvv0A AV VABA AV VB BA AV VvBA AV VABC 刚体平面运动时，任意刚体平面运动时，任意瞬时瞬时都都唯一确定地存在着瞬心

8、。唯一确定地存在着瞬心。刚体即可看作是绕瞬心作瞬时转动。刚刚体即可看作是绕瞬心作瞬时转动。刚体上任一点的速度就等于刚体绕瞬心作体上任一点的速度就等于刚体绕瞬心作瞬时转动的速度。瞬时转动的速度。确定速度瞬心的几种典型情况：确定速度瞬心的几种典型情况：1.已知刚体上两点速度的方向已知刚体上两点速度的方向,且不平行且不平行C2.平行但不相等平行但不相等CC3. 只滚不滑只滚不滑接触点即为瞬心接触点即为瞬心C瞬心法既可求速度,也可求角速度。4. 瞬时平动瞬时平动OAB 该瞬时该瞬时,瞬心在无穷远处瞬心在无穷远处(或无瞬心或无瞬心),刚体上各点速度刚体上各点速度均相等均相等,角速度角速度AB=0,但角但

9、角加速度加速度AB0。瞬心在刚体上不是瞬心在刚体上不是一个固定点一个固定点, ,不同瞬不同瞬时具有不同的位置时具有不同的位置, ,在给定瞬时其位置在给定瞬时其位置是唯一确定的是唯一确定的! !OABDRr解解:v vA A v vB B CBC rvvAB30cosC C为轮为轮B B的瞬心的瞬心, ,有有: :用速度投影定理求用速度投影定理求vBBCBRv v vD D BBCDvRv22 r334请思考:当=900时vD=?例：图示机构，例：图示机构，OA=r，以匀角速度，以匀角速度 绕绕O转动，转动，AB=l,求求当当 =60。，角，角OAB等于等于90度时，轮缘上最高点度时，轮缘上最高

10、点D的速度的速度轮的半径为轮的半径为R，在地面上做纯滚动。，在地面上做纯滚动。9-4 求求 平面图形上各点的加速度平面图形上各点的加速度A Aa a 平面图形上任一点的加速度等于随任选基点的平面图形上任一点的加速度等于随任选基点的平动加速度与绕该基点的转动加速度的矢量和。平动加速度与绕该基点的转动加速度的矢量和。BAABaaaAB其中其中:reaaaanB BA Aa aA Aa aB BA Aa anABBABAaaaa2ABnBAABa方向沿方向沿BABAnBAAnABnBaaaaaa方向垂直于方向垂直于ABABBAABa例例：半径为半径为R的圆轮沿直线轨道作纯滚动，已知某瞬时轮心的速的圆

11、轮沿直线轨道作纯滚动，已知某瞬时轮心的速度为度为v0，加速度为，加速度为a0，求轮子上与轨道的接触点，求轮子上与轨道的接触点C的加速度。的加速度。v v0 0 a a0 0 C解解：以以O为基点求为基点求aCOnOCCOCOaaaaC CO Oa anCOa大小方向？Rva20nCOCOCORa,轮心轮心O点作直线运动，有：点作直线运动，有：RRt(Rtvadtdd)ddd0oRa00COCOaRaxy将加速度矢量式投影：将加速度矢量式投影：0a0aa0Ocx20ncocyRaa2cycRaa沿直线轨道只滚不滑的圆轮其沿直线轨道只滚不滑的圆轮其速度瞬心的加速度为：速度瞬心的加速度为：2cRa其

12、方向由瞬心指向轮心其方向由瞬心指向轮心a0=RaA=R2aBn =R2aB=2R练习题练习题: :半径为半径为R的圆轮，在直线轨道上只滚不滑，设该瞬时的圆轮，在直线轨道上只滚不滑，设该瞬时、已知，求此时轮心已知，求此时轮心O的加速度的加速度a0，与地面的接触点，与地面的接触点A的的加速度加速度aA，轮缘上最高点，轮缘上最高点B处的加速度处的加速度aBn ，aB。OBAC练习题练习题: :杆长杆长AB=l，图示位置时，图示位置时，vA、aA已知，求此时的已知，求此时的AB 、AB、 vB、aB 。ABvAaA450解解：AB的瞬心位于的瞬心位于P点，该瞬时：点，该瞬时：PvBaBABBAlvv

13、45sinaBAaBAn BAnBAABaaaanBAABaaa4545cossin将上式向将上式向BA方向投影：方向投影：将上式向将上式向B 方向投影：方向投影：45450sincos BAnBAAaaa练习题练习题: :杆杆AB=l， OA= r， = 300 ，图示位置时，图示位置时，OAAB，此时的，此时的 =0 、= 0 ，求，求 vB、aB 。300AOB解解：AB的瞬心位于的瞬心位于P点，该瞬时：点，该瞬时：P030rvvABcosaBAaAnaBaBAn BAnBAABaaaa230BAnBABBAaa cos将上式向将上式向BA方向投影：方向投影：033032lr rvABB

14、 lraB932202概念题概念题: : 图示平行四连杆机构图示平行四连杆机构 ，ABC为一刚性三角形板，为一刚性三角形板，则则C点的速度为点的速度为: 1) Vc=AC 2) Vc=CO1 3) Vc=AO1 4) Vc=BCC点的切线加速度为点的切线加速度为: 1)a= AO12) a= AC 3) a= CO1 4) a= BCO1 AB O2ABCO2 O1 .平动刚体上的平动刚体上的( )始终保持不变始终保持不变 .平面运动刚体上的平面运动刚体上的( )始终保持不变始终保持不变任一条直线的方位任一点到某一固定平面的距离刚体平面运动的综合练习刚体平面运动的综合练习概念题概念题: : (

15、1)平面运动通常可以分解为平面运动通常可以分解为_动和动和_动，动， _动动与基点的选择无关与基点的选择无关? _动与基点的选择有关动与基点的选择有关? (2) 如图已知作平面运动的刚体上如图已知作平面运动的刚体上A点的速度点的速度vA，则则B点的速度可能为图中的哪一种点的速度可能为图中的哪一种_?vAAB300450平平平平转转转转概念题:下列平面图形中，那些速度分布是不可能的?用“、”表示AvA vB vA vB BABvB vA vB vAvBABvA vA vA AABBvB vB vA vB v0=RvA=0概念题概念题: : 半径为半径为R的圆轮，在直线轨道上只滚不滑，设该瞬时的圆

16、轮，在直线轨道上只滚不滑，设该瞬时已知，则已知，则轮心轮心O的速度的速度v0= ？与地面的接触点？与地面的接触点A的速度的速度vA= ？C点点速度的大小及方向如何？速度的大小及方向如何？OACRVC2概念题概念题: : （1）判正误）判正误 ：已知某瞬时平面图形作瞬时平动，则下列：已知某瞬时平面图形作瞬时平动，则下列表达式是否正确？表达式是否正确？0;0;0;0;BAABBAnBAABBAaaaavvRvA20（2）图示圆轮边缘）图示圆轮边缘B点绞接杆点绞接杆AB，A端放在水平地面上，轮与地面端放在水平地面上，轮与地面只滚不滑，此瞬时只滚不滑，此瞬时A端速度为端速度为vA，B点位于轮上最高点，

17、则此时圆点位于轮上最高点，则此时圆轮的角速度轮的角速度0= ？杆的角速度？杆的角速度AB= ？ABOvA概念题概念题: :找出下列作平面运动的刚体的瞬心位置找出下列作平面运动的刚体的瞬心位置。概念题概念题: :找出下列作平面运动的刚体的瞬心位置。找出下列作平面运动的刚体的瞬心位置。概念题概念题: :找出下列作平面运动的刚体的瞬心位置。找出下列作平面运动的刚体的瞬心位置。只滚不滑练习题练习题: :机构在图示瞬时，机构在图示瞬时， 求该瞬时滑块求该瞬时滑块C的绝对速度的绝对速度vc，滑块，滑块B相对于相对于O2D的相对速度的相对速度vr，O1A的角速度的角速度1，AB的角速度的角速度AB。 ，21

18、221OODODOAOO1O2ABrlCD2解解：该瞬时，：该瞬时，AB瞬时平动。瞬时平动。0 0 vAB21r2rllvC，的角速度为的角速度为22 DO练习题练习题: :图示机构，图示机构， OA= 2a， 在图示位置时，在图示位置时，OB=BA，OAAC，求此时套筒，求此时套筒D相对于相对于BC杆的速度。杆的速度。600ABODC解解：分别求出套筒：分别求出套筒D和杆和杆BC的速度，之差即为相的速度，之差即为相对速度。对速度。vAvDavvAD230cosvevavravvvveBCae30cos/ avBCD151.练习题练习题: :图示机构中，图示机构中，C作纯滚动，曲柄作纯滚动，曲

19、柄O1A以匀角速以匀角速绕轴绕轴O1转动，转动，且且O1A=O2B=l，BC=2l，轮半径，轮半径R=l/4，求图示位置时轮的角速度，求图示位置时轮的角速度C 。此时，。此时，O1O2B=900。CBAO2 O1 300300解解：综合题，先考虑合成运动，：综合题，先考虑合成运动，动点动点A，动系，动系O2Bvevavrlvalvvae2160cos lvveB2lvvBCBC,瞬时平动RvCC4vBvC练习题练习题: :图示机构，已知图示机构，已知 v vA =0.2m/s， AB=0.4m，求当求当AC=BC、=300时时CD杆的速度。杆的速度。ABCDvA解解：先研究平面运动：先研究平面

20、运动PP为为BCA杆的瞬心杆的瞬心所以所以AB上上C点的速度如图：点的速度如图：vCvC= vA由速度投影定理有：由速度投影定理有：再以套筒上再以套筒上C为动点，为动点，AB为动系，速度分布为动系，速度分布如图如图：vrvavereavvv向图示轴线投影：向图示轴线投影：60cos30coseavvsmmva/33200练习题练习题: :图示机构，已知图示机构，已知 AC=l1，BC=l2，求当，求当ACBC时时C点的速点的速度和两杆的角速度，此时度和两杆的角速度，此时vA 、vB已知已知。BCAvBvA解解：分别取两个基点：分别取两个基点A、B研究研究C点点：CAACBBCAACCBBCvvvvvvvvvvyx将上式向将上式向x、y轴投影：轴投影：CAACBBvvyvvx00 : :vCAvCB即即vB与与vCB 、 vA与与vCA分别大小相等，方向相反。分别大小相等，方向相反。 vc= 0 即即C点同时为点同时为AC杆和杆和BC杆的瞬心。杆的瞬心。21lvlvBBCAAC 练习题练习题: :曲柄曲柄OA以匀角速以匀角速0 绕绕O转动，转动，OA=r，AB=2r，磙子半径，磙子半径r，只滚不滑，求只滚不滑，求OA水平时磙子的角速度和角加速度