自动控制原理(胡寿松_)第四章根轨迹法ppt

1、4-1 4-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念4-2 4-2 绘制系统根轨迹的基本法则绘制系统根轨迹的基本法则4-3 4-3 控制系统的根轨迹分析方法控制系统的根轨迹分析方法 学习指导与小结学习指导与小结2基本要求基本要求 1.正确理解开环零、极点和闭环零、极点以及主导极点正确理解开环零、极点和闭环零、极点以及主导极点等概念。等概念。2.正确理解和熟记根轨迹方程正确理解和熟记根轨迹方程(模方程及相角方程模方程及相角方程)。熟。熟练运用模方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增益和开练运用模方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增益和开环增益。环增益。3.正确理解根轨迹法则，法则的证明只需一般了解，熟正确

2、理解根轨迹法则，法则的证明只需一般了解，熟练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统开环增益练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统开环增益K从从零变化到正无穷时的闭环根轨迹。零变化到正无穷时的闭环根轨迹。 34.正确理解闭环零极点分布和阶跃响应的定性关系正确理解闭环零极点分布和阶跃响应的定性关系，初步掌握运用根轨迹分析参数对响应的影响。，初步掌握运用根轨迹分析参数对响应的影响。5.了解绘制广义根轨迹的思路、要点和方法。了解绘制广义根轨迹的思路、要点和方法。 基本要求基本要求 4根据反馈控制系统的开、闭环传根据反馈控制系统的开、闭环传递函数之间的关系，直接由递函数之间的关系，直接由开环开环传递函数零、极传递

3、函数零、极点求出点求出闭环闭环极点（闭环特征根）。这给系统的分极点（闭环特征根）。这给系统的分析与设计带来了极大的方便。析与设计带来了极大的方便。 闭环控制系统的稳定性和性能指标主要由闭环控制系统的稳定性和性能指标主要由闭环系统极点在复平面的位置决定，因此，分闭环系统极点在复平面的位置决定，因此，分析或设计系统时确定出闭环极点位置是十分有析或设计系统时确定出闭环极点位置是十分有意义的。意义的。5 6定义定义：根轨迹是指系统开环传递函数中某个参：根轨迹是指系统开环传递函数中某个参数（如开环增益数（如开环增益K）从零变到无穷时，闭环特征）从零变到无穷时，闭环特征根在根在s平面上移动的轨迹。平面上移

4、动的轨迹。当闭环系统为当闭环系统为正正反馈时，对应的轨迹为反馈时，对应的轨迹为零零度根度根轨迹；而轨迹；而负负反馈系统的轨迹为反馈系统的轨迹为180度根轨迹。度根轨迹。4-1 4-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念 rkkdktkqitpiteBeAAtckki110)sin()( 反馈控制系统的性质取决于闭环传递函数。只要求解反馈控制系统的性质取决于闭环传递函数。只要求解出闭环系统的特征根，系统响应的变化规律就知道了。但出闭环系统的特征根，系统响应的变化规律就知道了。但是对于是对于3阶以上的系统求根比较困难。如果系统中有一个可阶以上的系统求根比较困难。如果系统中有一个可变参数时，求根就

5、更困难了。变参数时，求根就更困难了。 qirkkkkimjjsspszsabsRsCs1122100)2()()()()()( 1948年，年，提出了一种确定系统闭环特征根的提出了一种确定系统闭环特征根的图解法图解法。在已知。在已知分布的基础分布的基础上，当某些参数变化时，利用该图解法可以非常方便上，当某些参数变化时，利用该图解法可以非常方便的确定闭环极点。的确定闭环极点。当系统当系统开环开环传递函数中某一参数从传递函数中某一参数从0 时，时，闭环系统特征根在闭环系统特征根在s 平面上的变化轨迹，就称作平面上的变化轨迹，就称作。一般取一般取（根轨迹增益（根轨迹增益KgKg）作为可）作为可变参数

6、。变参数。式中，式中，K为系统的开环比例系数。为系统的开环比例系数。 Kg = 2K 称为系统的开称为系统的开环环。 系统的闭环传递函数为：系统的闭环传递函数为：ggKssKs 2)(2 )2()2(2)15 . 0( ssKssKssKsGg Ks(0.5s+1)+R(s)C(s) 解：系统的开环传递函数为解：系统的开环传递函数为 系统的闭环特征方程为系统的闭环特征方程为： s2 + 2s + Kg = 0 求得闭环特征根为：求得闭环特征根为：gKs 112, 1(1) Kg= 0：s1 = 0,s2 = 2,是根迹的起点是根迹的起点(),用用“ ”表表示。示。 2 j 0 1(2) 0 K

7、g1：112, 1 gKjsKg= 0Kg= 0Kg=1KgKg )2( ssKsGg开环传递函数开环传递函数有两个极点有两个极点 。 没有零点，开环增益为没有零点，开环增益为K。120,2pp 闭环特征方程闭环特征方程为为2( )220D sssK闭环特征根闭环特征根为为 1211 2 ,11 2sK sK 闭环传递函数闭环传递函数为为2( )2( )( )22C sKsR sssK 从特征根的表达式中看出每个特征根都随从特征根的表达式中看出每个特征根都随K的变化的变化而变化。例如，设而变化。例如，设K=0K=0.5K=1K=2.5K=+12121212120,21,11,112 ,121,

8、1sssssj sjsj sjsjsj 13 如果把不同如果把不同K值的闭环特征根值的闭环特征根布置在布置在s平面上，平面上，并连成线，则可并连成线，则可以画出如图所示以画出如图所示系统的根轨迹。系统的根轨迹。 根据根据2阶系统根轨迹的特点，可以推得阶系统根轨迹的特点，可以推得n阶系统，会有如下的阶系统，会有如下的结论：结论：（1）n阶系统有阶系统有n个根，根轨迹有个根，根轨迹有n条分支条分支 ；（2）每条分支的起点）每条分支的起点 (Kg= 0)位于开环极点处；位于开环极点处；（3）各分支的终点）各分支的终点(Kg )或为开环零点处或为无限点；或为开环零点处或为无限点；（4）重根点，称为分离

9、点或汇合点。）重根点，称为分离点或汇合点。 2 j 0 1Kg= 0Kg= 0Kg=1KgKg1. 1. 稳定性稳定性 当当Kg从从0 时，图中时，图中的根轨迹不会越过虚轴进入的根轨迹不会越过虚轴进入s右半平面，因此二阶系统右半平面，因此二阶系统对所有的对所有的Kg值都是稳定的。值都是稳定的。 如果高阶系统的根轨迹如果高阶系统的根轨迹有可能进入有可能进入s 右半平面，此右半平面，此时根迹与虚轴交点处的时根迹与虚轴交点处的Kg 值，值，成为成为。 开环系统在坐标原点有开环系统在坐标原点有一个极点，系统属于一个极点，系统属于系统，系统，因而根规迹上的因而根规迹上的Kg 值就是静值就是静态速度误差系

10、数态速度误差系数Kv。如果。如果给给定系统对定系统对ess 有要求，则对有要求，则对Kg有要求，由根迹图可以确定有要求，由根迹图可以确定闭环极点位置的容许范围。闭环极点位置的容许范围。 2 j 0 1Kg= 0Kg= 0Kg=1KgKg 2 j 0 1Kg= 0Kg= 0Kg=1KgKg 由图可见，由图可见，闭环极点均位于负实轴上，闭环极点均位于负实轴上，系统为系统为系统，单位阶跃响应为非周期过程。系统，单位阶跃响应为非周期过程。 当当 时，闭环两时，闭环两个实极点重合，系统为个实极点重合，系统为系统，单位阶跃响系统，单位阶跃响应为非周期过程。应为非周期过程。 当当时，闭环极时，闭环极点为一对

11、共轭复数极点，点为一对共轭复数极点，系统为系统为系统，单位系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程。阶跃响应为阻尼振荡过程。 研究下图所示反馈控制系统的一般结构。研究下图所示反馈控制系统的一般结构。)()(1)()()()(sHsGsGsRsCs 系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为G(s)R(s)C(s)+H(s)该系统的闭环特征方程为该系统的闭环特征方程为: D(s) = 1 G(s)H(s) = 0 或或 G(s)H(s) = 1若将系统的开环传递函数若将系统的开环传递函数G(s)H(s)写成如下形式：写成如下形式： njjmiiggpszsKsNsMKsHsG11)()()()()()(闭

12、环零极点与开环零极点的关系闭环零极点与开环零极点的关系 式中式中。上述方程又可写为：。上述方程又可写为：gnjjmiiKpszs1)()(11 由于满足上式的任何由于满足上式的任何s都是系统的闭环极点，所以当系统的结构都是系统的闭环极点，所以当系统的结构参数，如参数，如Kg在某一范围内连续变化时，由上式制约的在某一范围内连续变化时，由上式制约的s在在s平面上描平面上描画的轨迹就是系统的根轨迹。因此上式称之为系统的画的轨迹就是系统的根轨迹。因此上式称之为系统的。根轨迹的幅值方程：根轨迹的幅值方程：gnjjmiiKpszs111 根轨迹的幅角方程：根轨迹的幅角方程：)64()12()()(11 k

13、pszsnjjmii式中，式中，k=0，1，2，（全部整数）。（全部整数）。（4-6）通常称为）通常称为（4-7） 根据这两个条件，可完全确定根据这两个条件，可完全确定s平面上根轨迹平面上根轨迹及及根轨迹上任一根轨迹上任一点对应的点对应的Kg值。值。是确定是确定s平面上根轨迹的平面上根轨迹的，因此，因此，绘制根轨迹时，只需要使用幅角条件；而当需要确定根轨迹上各点绘制根轨迹时，只需要使用幅角条件；而当需要确定根轨迹上各点的的Kg值时，才使用幅值条件。值时，才使用幅值条件。)74(2)()(11 kpszsnjjmiignjjmiiKpszs1)()(11 20 21注意注意： 在实际应用中，用在

14、实际应用中，用绘制根轨迹，绘制根轨迹， 而而主要用来确定已知根轨迹上某一点主要用来确定已知根轨迹上某一点的的 值。值。*K不但与开环零、极点有关，还与开不但与开环零、极点有关，还与开环根轨迹增益有关；而环根轨迹增益有关；而只与开环零、只与开环零、极点有关。极点有关。是决定系统闭环根轨迹的是决定系统闭环根轨迹的。已知负反馈系统开环零极点已知负反馈系统开环零极点分布如图示。分布如图示。p2p3 j 0p1z1s1 1 1 2 3 在在s平面找一点平面找一点s1 ，画出各开环零、极点到画出各开环零、极点到s1点的向量。点的向量。 检验检验s1是否满足幅角条件：是否满足幅角条件： (s1 z1) (s

15、1 p1) + (s1 p2) + (s1 p3) = 1 1 2 3 = (2k+1) ？ 如果如果s1点满足幅角条件，则是根轨迹上的一点。点满足幅角条件，则是根轨迹上的一点。寻找寻找在在s 平面内满足幅角条件的所有平面内满足幅角条件的所有s1 点，将这些点连成光滑点，将这些点连成光滑曲线，即是闭环系统根轨迹。曲线，即是闭环系统根轨迹。 在在19481948年，伊凡思年，伊凡思（W.R.Evdns）提出了用图解法绘提出了用图解法绘制根迹的一些制根迹的一些，可以迅速绘制闭环系统的根轨，可以迅速绘制闭环系统的根轨迹草图，在根轨迹草图的基础上，必要时可用幅角条件迹草图，在根轨迹草图的基础上，必要时

16、可用幅角条件使其精确化，从而使整个根规迹的绘制过程大为简化。使其精确化，从而使整个根规迹的绘制过程大为简化。 通常，我们把以开环根轨迹增益通常，我们把以开环根轨迹增益 为可变参数为可变参数绘制的根轨迹叫做普通根轨迹（或一般根轨迹）。绘制的根轨迹叫做普通根轨迹（或一般根轨迹）。绘制普通根轨迹的基本规则主要有绘制普通根轨迹的基本规则主要有7条：条：1. 根轨迹的起点与终点；根轨迹的起点与终点；2. 根轨迹的分支数；根轨迹的分支数；3. 实轴上的根轨迹；实轴上的根轨迹；4. 根轨迹的渐近线；根轨迹的渐近线；5. 根轨迹在实轴上的分离点；根轨迹在实轴上的分离点；6. 根轨迹的起始角和终止角；根轨迹的起

17、始角和终止角；7. 根轨迹与虚轴的交点。根轨迹与虚轴的交点。*K4-2 绘制系统根轨迹的基本法则4.2.1 4.2.1 绘制绘制180180根轨迹的基本法则根轨迹的基本法则 由于根轨迹增益是连续的，根也是连续的，根轨迹当然也是连由于根轨迹增益是连续的，根也是连续的，根轨迹当然也是连续的。利用这一性质，只要精确画出几个特征点，描点连线即可续的。利用这一性质，只要精确画出几个特征点，描点连线即可画出整个根轨迹。画出整个根轨迹。gnjjmiiKpszs111 )64()12()()(11 kpszsnjjmii在下面的讨论中，假定系统变化的参数是开环根轨迹增益在下面的讨论中，假定系统变化的参数是开环

18、根轨迹增益KgKg，这种根轨迹习惯上称之为这种根轨迹习惯上称之为。绘制常规根轨迹的基本方法。绘制常规根轨迹的基本方法如下：如下： 由于闭环特征根是实数或者共轭复数，因此根轨迹是由于闭环特征根是实数或者共轭复数，因此根轨迹是关于实轴对称的。利用这一性质，只要绘制出实轴上部关于实轴对称的。利用这一性质，只要绘制出实轴上部的根轨迹，实轴下部的根轨迹可由对称性绘出。的根轨迹，实轴下部的根轨迹可由对称性绘出。 n阶系统，其闭环特征方程有阶系统，其闭环特征方程有n个根。当个根。当Kg 从从0连续连续变化时，变化时，n个根将绘出个根将绘出有有n条轨迹分支。因此根轨迹的条条轨迹分支。因此根轨迹的条数或分支数等

19、于其闭环特征根的个数，即系统的阶数。数或分支数等于其闭环特征根的个数，即系统的阶数。 j 0K= 0K= 0KK 0j 0j Kg Kg Kg 0 j 0 j -1-2 j1 根轨迹上根轨迹上的点为起点，的点为起点，时的点为终点。时的点为终点。 njjmiiggpszsKsNsMKsHsG11)()()()()()(0)()(11 njmiigjzsKps1 + G(s)H(s) = 0证明：证明： 当当 Kg= 0 时，有时，有 s = pj ( j =1, 2, , n) 上式说明上式说明Kg= 0时，闭环特征方程的根就是开环极点。时，闭环特征方程的根就是开环极点。 当当 Kg 时，有时，

20、有 s = zi ( i =1, 2, , m) 所以根轨迹必终止于开环零点。所以根轨迹必终止于开环零点。 在实际系统中，开环传函中在实际系统中，开环传函中 m n ，有，有m 条根轨迹终条根轨迹终点为开环零点处，另有点为开环零点处，另有n m条根轨迹的终点将在无穷远处，条根轨迹的终点将在无穷远处，可以认为可以认为。 0)()(111 njmiijgzspsK将特征方程改写为：将特征方程改写为：31 分三种情况讨沦。分三种情况讨沦。 1 1当当m=nm=n时时，即开环零点数与极点数相同时，根轨，即开环零点数与极点数相同时，根轨迹的起点与终点均有确定的值。迹的起点与终点均有确定的值。 2 2当当

21、mnmnmn时时，即开环零点数大于开环极点数时，除，即开环零点数大于开环极点数时，除有有n n条根轨迹起始于开环极点条根轨迹起始于开环极点( (称为有限极点称为有限极点) )外，还外，还有有m-nm-n条根轨迹起始于无穷远点条根轨迹起始于无穷远点( (称为无限极点称为无限极点) )。32结论：根轨迹起始于开环极点结论：根轨迹起始于开环极点 ，终，终止于开环零点（止于开环零点（ ) )；如果开环极点数；如果开环极点数n n大于开环零点数大于开环零点数m m，则有，则有n-mn-m条根轨迹终止于条根轨迹终止于s s平面的无穷远处平面的无穷远处( (无限零点无限零点) )，如果开环零点数，如果开环零

22、点数m m大于开环极点数大于开环极点数n n，则有，则有m-nm-n条根轨迹起始于条根轨迹起始于s s平面的无穷远处平面的无穷远处( (无限极点无限极点) )。0K*K 根据根据，当开环传递函数中，当开环传递函数中m 0Kg0否？否？) 分分离点上根轨迹的分离角为离点上根轨迹的分离角为90。 0j 如果方程的阶次高时，可用如果方程的阶次高时，可用试探法试探法确定分离点。确定分离点。d1 = 0.472)5)(1()( sssKsGgkkd/180 例例4-34-3 已知系统开环传函为已知系统开环传函为)3)(2()1()( ssssKsG试绘制系统的根轨迹。试绘制系统的根轨迹。 解：解： 0j

23、 213)1(32011 mnzpmiinjja 2212 ka3121111 ddddd = 2.5 左左= 0.67 右右= 0.4d = 2.01 左左= 0.99 右右= 99.49d = 2.25 左左= 0.8 右右= 3.11d = 2.47 左左= 0.68 右右= 0.65d = 2.47 若根轨迹与虚轴相交（临界稳定状态），则交点上的坐标（若根轨迹与虚轴相交（临界稳定状态），则交点上的坐标（）可按下述两种方法求出：）可按下述两种方法求出： 方法二：由劳斯稳定判据求出。方法二：由劳斯稳定判据求出。 例例4-54-5 求例求例4-1系统的根轨迹与系统的根轨迹与s平面虚轴的交点的

24、交点坐标。平面虚轴的交点的交点坐标。 解：解：0)5)(1(1)()(1)( sssKsHsGsDg方法一：方法一： s3 + 6s 2 + 5s + Kg = 0令令s=j，则，则 (j)3 + 6(j)2 + 5 (j) + Kg = 0 3 + 5 = 0 62 + Kg= 05, 0 Kg= 0()， Kg= 30方法二：方法二： s3 + 6s 2 + 5s + Kg= 0劳斯表为劳斯表为s3 1 5s2 6 Kgs1 (30 Kg)/6s0 Kg 当当Kg=30时，时，s1行全零，劳斯表第一列不变号，系统行全零，劳斯表第一列不变号，系统存在共轭虚根。共轭虚根可由存在共轭虚根。共轭虚

25、根可由s2行的辅助方程求出：行的辅助方程求出： 6s 2+ Kg= 05js (j)3 + 6(j)2 + 5 (j) + Kg = 0 0 j d = 0.472 Kg= 305jKg Kg Kg j2.24 Kg= 30)5)(1()( sssKsGgk 根轨迹离开根轨迹离开处的切线与正实轴方向的夹角，称为出处的切线与正实轴方向的夹角，称为出射角射角(起始角起始角)，用，用 nxjjjxmiixpppzpx, 11)()(180 mxiiixnjjxzzzpzx, 11)()(180 xp xz 根轨迹进入根轨迹进入处的切线与正实轴方向的夹角，称为入处的切线与正实轴方向的夹角，称为入射角射

26、角(终止角终止角)，用，用 表示；表示；求出这些角度可按如下关系求出这些角度可按如下关系表示。表示。 证明：设开环系统有一对共轭复数极点证明：设开环系统有一对共轭复数极点px,x+1 。在十分靠近待。在十分靠近待求起始角的复数极点求起始角的复数极点px 的根轨迹上取一点的根轨迹上取一点s1 。pxpx 1zxzx 1pxPx+1 j 0s1xp 由于由于s1无限接近无限接近 px，因此，因此，除除px 外，所有其它开环零、极点外，所有其它开环零、极点到到s1点的向量幅角，都可以用它们点的向量幅角，都可以用它们到到px 的向量幅角来代替，而的向量幅角来代替，而px到到s1点的向量幅角即为起始角。

27、根据点的向量幅角即为起始角。根据s1点必满足幅角条件，应有点必满足幅角条件，应有移项后，立即得到法则中的公式。移项后，立即得到法则中的公式。 证毕证毕180)()(, 11 xpnxjjjxmiixppzp 180)()()(1, 1111 xnxjjjmiipspszs 0 j -1-2 j1试绘制出系统的根轨迹。试绘制出系统的根轨迹。 解：解：)5 . 15 . 0)(5 . 15 . 0)(5 . 2()2)(2)(5 . 1()()(jsjsssjsjssKsHsG 起始角与终止角起始角与终止角 1 2 3 1 3 2 nxjjjxmiixpppzpx, 11)()(180 = 180

28、 + 1 + 2 + 3 1 2 3=180 + 56.5 + 19 + 59 108.5 37 90 = 79 0 j -1-2 j1 mxiiixnjjxzzzpzx, 11)()(180=180 117 90 + 153 + 63.5 + 119 + 121 =149.5 试绘制出系统的根轨迹。试绘制出系统的根轨迹。 解：三个开环极点解：三个开环极点 p1= 0、p2,3 = 1 j 渐近线：渐近线： 3条条32332111 pppmnzpnjmiija 35 312 ， mnka 0 j )22()()(2 sssKsHsGg2p2js 根轨迹与虚轴交点根轨迹与虚轴交点：系统的闭环特征

29、方程为：系统的闭环特征方程为 s3 + 2s2 + 2s + Kg= 0 劳斯表劳斯表s3 1 2s2 2 Kgs1 (4 Kg)/2s0 Kg 令令s1系数为系数为0，得，得 Kg = 4代入辅助方程代入辅助方程 2s2 + Kg= 0 实轴上根轨迹实轴上根轨迹：(，0 0)，即整个负实轴。，即整个负实轴。45)()(18032122 ppppp 出射角出射角：)22()(2 sssKsGgk绘制出系统根轨迹如图所示。绘制出系统根轨迹如图所示。 0 j 1 2Kg Kg Kg j1.414 Kg = 4)22()(2 sssKsGgk 绘制根轨迹，或利用根轨迹进行系统性能分析时，可利用该法则

30、。绘制根轨迹，或利用根轨迹进行系统性能分析时，可利用该法则。 若开环传函分母阶次若开环传函分母阶次n比分子阶次比分子阶次m高高2次或次或2次以上，即次以上，即n m 2，则则。证明：证明： )()()()()()(ijggpszsKsNsMKsHsGnnnnmmmmgasasasbsbsbsK 111111)(nnniiniiapap)1(111 式中式中()mmmjjmjjbzbz)1(111 根据高阶方程系数与根的关系式，根据高阶方程系数与根的关系式，若若n m 2 ，则，则0)()()()(1)(111111 mmmmgnnnnbsbsbsKasasassHsGsD 利用上述基本法则，可

31、以迅速绘制闭环系统的根轨迹草图，对需利用上述基本法则，可以迅速绘制闭环系统的根轨迹草图，对需要准确绘制的根轨迹，可根据幅角方程条件使其精确化，一般而言，要准确绘制的根轨迹，可根据幅角方程条件使其精确化，一般而言，应尽可，应尽可能的准确绘制。能的准确绘制。 niiniipas111证毕证毕 -a1称为系统闭环极点或开环极点的称为系统闭环极点或开环极点的。表明当。表明当Kg变化时，一变化时，一些根增大时，另一些必然减小；即一些根轨迹右行，一些必然左些根增大时，另一些必然减小；即一些根轨迹右行，一些必然左行，重心保持不变。行，重心保持不变。 56mnzpnjmiija11mnka) 12(miinj

32、jzdpd1111法则法则 4 4 渐近线渐近线法则法则 1 1 根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点法则法则 2 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性根轨迹的分支数，对称性和连续性法则法则 3 3 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹法则法则 5 5 分离点分离点法则法则 6 6 与虚轴交点与虚轴交点法则法则 7 7 起始角起始角/ /终止角终止角0)(Im)(RejDjD1)(2km1i)iz(s)n1jp(sj试绘制出系统的根轨迹。试绘制出系统的根轨迹。 解：解：例例4-74-7 设负反馈系统的开环传递函数为设负反馈系统的开环传递函数为15 . 0)15 . 0()()(2 sssKsHsGg22

33、)2()()(2 sssKsHsGg 0 j -1-2 j1jdjdd 111121 d = 0.59(舍去舍去) d = 3.41 结论：由两个极点和一个有限零点组成的开环系统，结论：由两个极点和一个有限零点组成的开环系统，当，当K从从0 时，时，闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零点到分离点为半径的一个圆，或圆的一部分。点到分离点为半径的一个圆，或圆的一部分。d22)2()()(2 sssKsHsGg 0 j -1 -4 -2 j1试绘制出系统的根轨迹。试绘制出系统的根轨迹。 解：解： 例例4-84-8 设负反馈系统的开环传递

34、函数为设负反馈系统的开环传递函数为)204)(4()()(2 ssssKsHsGg渐近线：渐近线： a = 2 a = 45 , 135 分离点：分离点： d = 2 d = 2 j2.45与虚轴交点：与虚轴交点：Kg=260 s = j3.16 njjmiiggpszsKsNsMKsHsG11)()()()()()(此时研究正反馈系统，系统的特征方程式为此时研究正反馈系统，系统的特征方程式为 D(s) = 1 G(s)H(s) = 0或或gnjjmiiKpszs1)()(11 此时的根轨迹称为此时的根轨迹称为根轨迹的幅角方程：根轨迹的幅角方程： kpszsnjjmii2)()(11 gnjj

35、miiKpszs111 根轨迹的幅值方程：根轨迹的幅值方程：绘制绘制0 0 根轨迹的基本法则如下：根轨迹的基本法则如下： 当开环传函中当开环传函中m a； （3 3）b=a （4 4）ba时，起始于时，起始于坐标原点的两条根轨迹的坐标原点的两条根轨迹的渐近线位于右半渐近线位于右半s平面，平面，系统结构不稳定。系统结构不稳定。)()()(2assbsKsHsGg 0 j a(b a)/2 0 j b （3）b=a时，起始于坐标原点的两条根轨迹为与虚时，起始于坐标原点的两条根轨迹为与虚轴上，系统临界稳定。轴上，系统临界稳定。P=-a和和z=-b构成开环偶极子。构成开环偶极子。221)()()(sK

36、assbsKsHsGgg j 0 j b=-a （4）ba时，起始于坐标原点的两条根轨迹的渐近时，起始于坐标原点的两条根轨迹的渐近线位于左半线位于左半s平面，系统结构稳定。平面，系统结构稳定。 0 j a(b a)/2 0 j b)()()(2assbsKsHsGg （5）b=0，a为有限量时，系统为没有开环零点的为有限量时，系统为没有开环零点的二阶系统，结构稳定。二阶系统，结构稳定。)(1)()()(2assKassbsKsHsGgg j 0 j -a-a/2 从上例可以看出，增加一个开环零点对系统的根轨从上例可以看出，增加一个开环零点对系统的根轨迹有如下影响：迹有如下影响： （1）改变了实

37、轴上根轨迹的分布。）改变了实轴上根轨迹的分布。 （2）改变了根轨迹渐近线的条数、与实轴交点的坐）改变了根轨迹渐近线的条数、与实轴交点的坐标及夹角的大小。标及夹角的大小。 （3）使系统的根轨迹向左偏移。提高了系统的稳定）使系统的根轨迹向左偏移。提高了系统的稳定度，有利于改善系统的动态特性。度，有利于改善系统的动态特性。 （4）开环零点和极点重合或相近时，二者构成开环）开环零点和极点重合或相近时，二者构成开环偶极子偶极子,抵消有损系统性能的极点对系统的不利影响。抵消有损系统性能的极点对系统的不利影响。 分析例分析例4-10的根轨迹图可以看出，增加一个开环极的根轨迹图可以看出，增加一个开环极点对系统

38、的根轨迹有如下影响：点对系统的根轨迹有如下影响： （1）改变了实轴上根轨迹的分布。）改变了实轴上根轨迹的分布。 （2）改变了根轨迹渐近线的条数、与实轴交点的坐标及）改变了根轨迹渐近线的条数、与实轴交点的坐标及夹角的大小。夹角的大小。 （3）使系统的根轨迹向右偏移。降低了系统的稳定度，）使系统的根轨迹向右偏移。降低了系统的稳定度，有损于系统的动态特性，使得系统相应的快速性变差有损于系统的动态特性，使得系统相应的快速性变差。 开环偶极子开环偶极子(零极点重合或相近零极点重合或相近)，提供相同的幅角，提供相同的幅角和幅值，根据根轨迹方程，对根轨迹的影响为：和幅值，根据根轨迹方程，对根轨迹的影响为：

39、（1）开环偶极子不影响根轨迹的形状；）开环偶极子不影响根轨迹的形状； （2）开环偶极子不影响根轨迹上各点的根轨迹增益）开环偶极子不影响根轨迹上各点的根轨迹增益值，但可能影响根轨迹上各点开环比例系数的值；值，但可能影响根轨迹上各点开环比例系数的值； （3）合理配置偶极子中的开环零极点，可以在不）合理配置偶极子中的开环零极点，可以在不影响动态性能的基础上，改善系统的稳态性能。影响动态性能的基础上，改善系统的稳态性能。P126，式，式3-111； p153,式式4-2 vniimjjvsTssKsHsG11)1()1()()( nvijmjjgnijmjjgvsvspzKpszsKssHsGsK11

40、1100)()()()(lim)()(limnijmjjgpszsKsHsG11)()()()(增加一对离原点很近的零极点构成开环偶极子，则增加一对离原点很近的零极点构成开环偶极子，则ccccnvijmjjgcpzKpzpzKK 11)()(若取若取zc=-0.1,pc=-0.01,则则Kc=10K。不影响动态性不影响动态性能但提高了稳态性能能但提高了稳态性能 1.基本要求基本要求 通过本章学习，应当做到：通过本章学习，应当做到： （1）掌握开环根轨迹增益）掌握开环根轨迹增益Kg变化时系统闭环变化时系统闭环 根轨迹根轨迹的绘制方法。理解和熟记根轨迹的绘制法则。会利用幅的绘制方法。理解和熟记根轨

41、迹的绘制法则。会利用幅值方程求特定的值方程求特定的Kg值。值。 （2）了解闭环零、极点的分布和系统阶跃响应的定）了解闭环零、极点的分布和系统阶跃响应的定性关系及系统根轨迹分析的基本思路。性关系及系统根轨迹分析的基本思路。 （3）掌握）掌握0根轨迹、参变量根轨迹及非最小相位根轨迹、参变量根轨迹及非最小相位根轨迹绘制的基本思路和方法。根轨迹绘制的基本思路和方法。 2.内容提要内容提要 本章主要介绍了根轨迹的基本概念、控制系统根轨本章主要介绍了根轨迹的基本概念、控制系统根轨迹的绘制方法以及根轨迹法在控制系统分析中的应用。迹的绘制方法以及根轨迹法在控制系统分析中的应用。1)()(11 njjmiigpszsK系统根轨迹的幅值方程为系统根轨迹的幅值方程为gnjjmiiKpszs111 系统根轨迹的幅角方程为系统根轨迹的幅角方程为 minjjikpszs11)12()()( 1）根轨迹的基本概念）根轨迹的基本概念 根轨迹是当系统中某参数由根轨迹是当系统中某参数由0变化时，系统的闭变化时，系统的闭环极点在环极点在s平面上移动的轨迹。平面上移动的轨迹。 2 2）根轨迹方程）根轨迹方程 负反馈系统根轨迹方程的一般形式为负反馈系统根轨迹方程的一般形式为 3）绘制系统轨迹的基本法则）绘制系统轨迹的基本法则 根据系统的根轨迹方程式，按照绘制