模糊数学教学

1、会计学1模糊数学教学模糊数学教学2022年5月2日2年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。共同特点：模糊概念的外延不清楚。模糊概念导致模糊现象模糊数学绪论2022年5月2日3产生1965年，L.A. Zadeh（扎德） 发表了文章模糊集 (Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 )基本思想用属于程度代替属于或不属于。某个人属于秃子的程度为0.8, 另一个人属于秃子的程度为0.3等.模糊数学绪论2022年5月2日4模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析，模糊概率，模糊图

2、论，模糊优化等模糊数学分支 涉及学科分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择； 模糊产品洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、农业、气象、信息、经济、文学、音乐模糊数学绪论2022年5月2日5模糊数学绪论 课堂主要内容一、基本概念二、主要应用1. 模糊聚类分析对所研究的事物按一定标准进行分类模糊集，隶属函数，模糊关系与模糊矩阵例如，给出不同地方的土壤，根据土壤中氮磷以及有机质含量，PH值，颜色，厚薄等不同的性状，对土壤进行分类。2022年5月2日62.模糊模式识别已知某类事物的若干标准模型，给出一个具体的对象，确定把它归于哪 一类模型。模糊数学绪

3、论例如：苹果分级问题苹果，有I级，II级，III级，IV级四个等级。现有一个具体的苹果，如何判断它的级别。2022年5月2日73.模糊综合评判从某一事物的多个方面进行综合评价模糊数学绪论例如：某班学生对于对某一教师上课进行评价从清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书清晰四方面给出很好，较好，一般，不好四层次的评价最后问该班学生对该教师的综合评价究竟如何。4.模糊线性规划将线性规划的约束条件或目标函数模糊化，引入隶属函数，从而导出一个新的线性规划问题，其最优解称为原问题的模糊最优解2022年5月2日8模糊数学模糊集合及其运算模糊聚类分析模糊模式识别模糊综合评判模糊线性规划2022年5月2日9一、经典

4、集合与特征函数 集合：具有某种特定属性的对象集体。通常用大写字母A、B、C等表示。论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。通常用大写字母U、V、X、Y等表示。论域U中的每个对象u称为U的元素。2022年5月2日10. uAA. uAuAu模糊集合及其运算2022年5月2日11在论域U中任意给定一个元素u及任意给定一个经典集合A，则必有 或者 ，用函数表示为：Au Au ),( 1 , 0:uuUAA 其中 AuAuuA , 0 , 1)( 函数 称为集合A的特征函数。A 模糊集合及其运算非此及彼2022年5月2日12模糊集合及其运算亦此亦彼UA模糊集合 ,A元素 x若 x 位于 A 的内

5、部， 则用1来记录，若 x 位于 A 的外部， 则用0来记录，若 x 一部分位于 A 的内部，一部分位于 A 的外部，则用 x 位于 A 内部的长度来表示 x 对于 A 的隶属程度。2022年5月2日13 0, 1 0, 1 特征函数隶属函数二、模糊子集定义：设U是论域，称映射1 , 0)( ,1 , 0: xxUAA 确定了一个U上的模糊子集 。映射 称为 隶属函AA A数， 称为 对 的隶属程度，简称隶属度。)(xA xA2022年5月2日14模糊子集 由隶属函数 唯一确定，故认为二者AA 是等同的。为简单见，通常用A来表示 和 。AA 模糊集合及其运算)(xA 越接近于0, 表示 x 隶

6、属于A 的程度越小；)(xA 越接近于1, 表示 x 隶属于A 的程度越大；)(xA 0.5, 最具有模糊性，过渡点2022年5月2日15模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：（1）Zadeh表示法nnxxAxxAxxAA)()()(2211 这里 表示 对模糊集A的隶属度是 。iixxA)(ix)(ixA如“将一1,2,3,4组成一个小数的集合”可表示为4032 . 028 . 011 A可省略模糊集合及其运算2022年5月2日16（3）向量表示法)(,),(),(21nxAxAxAA （2）序偶表示法)(,( ,),(,(),(,(2211nnxAxxAxxAxA 若论域U为无限集，其上的

7、模糊集表示为： UxxxAA)(模糊集合及其运算2022年5月2日17例1. 有100名消费者，对5种商品 评价，结果为：54321,xxxxx81人认为x1 质量好，53人认为x2 质量好，所有人认为x3 质量好，没有人认为x4 质量好，24人认为x5 质量好则模糊集A（质量好）5432124. 00153. 081. 0 xxxxxA2022年5月2日18 例2：考虑年龄集U=0,100，O=“年老”，O也是一个年龄集，u = 20 A，40 呢？札德给出了 “年老” 集函数刻画:10050)550(1 (5000)(12uuuuO10U501002022年5月2日19再如，Y= “年轻”

8、也是U的一个子集，只是不同的年龄段隶属于这一集合的程度不一样，札德给出它的隶属函数： 10025)525(1 (2501)(12uuuuY102550U2022年5月2日20则模糊集O（年老）1005012500)550(1 (0uuuuuO1002512250)525(1 (1uuuuuY则模糊集Y（年轻）2022年5月2日212、模糊集的运算定义：设A，B是论域U的两个模糊子集，定义相等：UxxBxABA ),()(包含：UxxBxABA ),()(并：UxxBxAxBA),()()( 交：UxxBxAxBA ),()()(余：UxxAxAc ),(1)( 表示取大； 表示取小。 模糊集合

9、及其运算2022年5月2日22例3.模糊集合及其运算543215 . 08 . 019 . 03 . 0 xxxxxA543216 . 03 . 08 . 01 . 02 . 0 xxxxxB则：BA54321xxxxx0.3 0.910.80.6BA54321xxxxx0.2 0.10.8 0.30.52022年5月2日23模糊集合及其运算并交余计算的性质1. 幂等律,AAAAAA2. 交换律,ABBAABBA3. 结合律CBACBACBACBA)()(,)()(4. 吸收律(),()AABA AABA2022年5月2日24模糊集合及其运算6. 0-1律AUAUUAAAA,7. 还原律,)(

10、AAcc8. 对偶律,)( ,)(ccccccABBABABA5. 分配律)()()(),()()(CABACBACABACBA2022年5月2日25三、隶属函数的确定1、模糊统计法模糊统计试验的四个要素：（1）论域U；（2）U中的一个固定元素;0u（3）U中的一个随机运动集合;*A（4）U中的一个以 作为弹性边界的模糊子集A，*A制约着 的运动。 可以覆盖 也可以不覆盖*A*A,0u,0u致使 对A的隶属关系是不确定的。0u模糊集合及其运算2022年5月2日26特点：在各次试验中， 是固定的，而 在随机变动。0u*A模糊统计试验过程：（1）做n次试验，计算出nAuAu的次数的次数的隶属频率的

11、隶属频率对对*00 （2）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为nAuuAn的次数的次数*00lim)( 0u对A的隶属度：模糊集合及其运算2022年5月2日27模糊集合及其运算对129人进行调查, 让他们给出“青年人”的年龄区间，18-25 17-30 17-28 18-25 16-3514-25 18-30 18-35 18-35 16-2515-30 18-35 17-30 18-25 18-3515-30 18-30 17-25 18-29 18-28问年龄 27属于模糊集A（青年人）的隶属度。 0u2022年5月2日28对年龄27作出如下的统计处理：A(27) = 0.78n102

12、03040506070隶属次数6142331394753隶属频率0.600.700.770.780.780.780.76n8090100110120129隶属次数6268768595101 隶属频率0.780.760.760.750.790.78 2022年5月2日292、指派方法这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。模糊集合及其运算 一般会有一些大致的选择方向：偏大型，偏小型，中间型。例如：在论域 中，确定A=“靠近5的数”的隶属函数9 , 2 , 1 U中间型2022年5月2日30模糊集合及其运

13、算可以选取柯西分布中间类型的隶属函数 )(11)(axxA 先确定一个简单的，比如,)5(11)(2 xxA此时有,906. 081 . 072 . 065 . 05145 . 032 . 021 . 0106. 0 A，5 . 0)6()4( AA不太合理，故改变2022年5月2日31模糊集合及其运算取,)5(5111)(2 xxA此时有,924. 0836. 0756. 0683. 051483. 0356. 0236. 0124. 0 A)()(xAxA比比 有所改善。2022年5月2日323、其它方法德尔菲法：专家评分法；二元对比排序法：把事物两两相比，从而确定顺序，由此决定隶属函数的

14、大致形状。主要有以下方法：相对比较法、择优比较法和对比平均法等。模糊集合及其运算2022年5月2日33模糊集合及其运算四、模糊矩阵定义：设 称R为模糊矩阵。, 10 ,)( ijnmijrrR当 只取0或1时，称R为布尔（Boole）矩阵。ijr当模糊方阵 的对角线上的元素 都为1时，nnijrR )(ijr称R为模糊单位矩阵。例如：3 . 07 . 05 . 01 . 001R00000000002022年5月2日34（1）模糊矩阵间的关系及运算定义：设 都是模糊矩阵，定义nmijnmijbBaA )(,)(相等：ijijbaBA 包含：ijijbaBA 模糊集合及其运算并：nmijijba

15、BA )(交：nmijijbaBA )(余：nmijcaA )1(2022年5月2日35例4：则则设设,2 . 03 . 004 . 0,3 . 02 . 01 . 01 BA 3 . 03 . 01 . 01BA 2 . 02 . 004 . 0BA 7 . 08 . 09 . 00cA 8 . 07 . 016 . 0cB模糊集合及其运算2022年5月2日36（2）模糊矩阵的合成定义：设 称模糊矩阵,)(,)(nsijsmijbBaA nmijcBA )(为A与B的合成，其中 。模糊集合及其运算即：定义： 设A为 阶，则模糊方阵的幂定义为nn 1() sijikkjkcab1() siji

16、kkjkCA Bcab AAAAAAAAAnn1232, 2022年5月2日37例5：则则设设,6 . 04 . 02 . 05 . 03 . 01 . 0,3 . 06 . 02 . 05 . 01 . 04 . 0 BA 3 . 03 . 06 . 05 . 0BA 5 . 05 . 04 . 03 . 03 . 03 . 02 . 02 . 01 . 0AB模糊集合及其运算2022年5月2日38（3）模糊矩阵的转置定义：设 称 为A的,)(nmijaA nmTijTaA )(转置矩阵，其中 。jiTijaa 模糊集合及其运算性质：.)(1AATT ;)( ;)(2TTTTTTBABABA

17、BA .)()(;)(3nTTnTTTAAABBA .)()(4cTTcAA .5TTBABA 2022年5月2日39（4）模糊矩阵的 截矩阵 定义：设 对任意的 称,)(nmijaA ,1 , 0 nmijaA )()( 为模糊矩阵A的 截矩阵，其中 ijijijaaa , 0 , 1)(显然，截矩阵为Boole矩阵。模糊集合及其运算2022年5月2日40例6：则则设设,18 . 03 . 008 . 011 . 02 . 03 . 01 . 015 . 002 . 05 . 01 A 11001100001100115 . 0A 11001100001000018 . 0A模糊集合及其运算

18、时的截矩阵为时的截矩阵为8 . 0, 5 . 0 2022年5月2日41 1，而 Y(30) = 0.5 2, 而 Y(30) = 0.5 = 2 ，2022年5月2日104模糊模式识别集对集例如：论域为“茶叶”，标准有5种 待识别茶叶为B，反映茶叶质量的6个指标为：条索，色泽，净度，汤色，香气，滋味，确定 B 属于哪种茶,54321AAAAAA1A2A3A4A5B条索条索0.50.30.2000.4色泽色泽0.40.20.20.10.10.2净度净度0.30.20.20.20.10.1汤色汤色0.60.10.10.10.10.4香气香气0.50.20.10.10.10.5滋味滋味0.40.2

19、0.20.10.10.32022年5月2日105在实际问题中，我们常常要比较两个模糊集的模糊距离或模糊贴近度，前者反映两个模糊集的差异程度，后者则表示两个模糊集相互接近的程度，这是一个事情的两个方面。如果待识别的对象不是论域 X 中的元素 x，而是模糊集 A，已知的模糊集是 A1, A2, , An，那么问 A 属于哪个 Ai (i = 1, 2, n)？就是另一类模糊模式识别问题 集对集。解决这个问题，就必须先了解模糊集之间的距离或贴近度。2022年5月2日106)5 . 5 . 3(,1,/11pxBxABAdpnipiip )6 .5 .3(.1,/1pdxxBxABAdpbapp模糊模

20、式识别2022年5月2日1077 .5 .3,1,/11pnipiipxBxAnBAd模糊模式识别2022年5月2日108 8 .5 .3.1,/1 pbaPpdxxBxAabBAd9 .5 .3,1,11niiixBxAnBAd 10.5 .3,1,1dxxBxAabBAdba模糊模式识别2022年5月2日10911.5 .3,1,2/1122niiixBxAnBAd 12.5 .3.1,2/122badxxBxAabBAd模糊模式识别2022年5月2日110 14.5.3.,13.5.3,/1/11pbapPpnipiiipdxxBxAxWBAdwxBxAxWBAdw; 11niixW .

21、1dxxWba模糊模式识别2022年5月2日111 16.5 .3.,15.5 .3,111dxxBxAxWBAdwxBxAxWBAdwbaiinii 18. 5 . 3.,17. 5 . 3,2/1222/1122baniiiidxxBxAxWBAdwxBxAxWBAdw模糊模式识别2022年5月2日112.5.06.06.0,3.05.09.0,6.04.08.0321321321xxxCxxxBxxxA模糊模式识别2022年5月2日113,173. 05 . 06 . 027. 06 . 04 . 023. 06 . 08 . 05 . 0,154. 03 . 06 . 027. 05

22、. 04 . 023. 09 . 08 . 05 . 0,11CAdwBAdw模糊模式识别 设权重系数为 W = ( 0.5, 0.23, 0.27 )。计算 A 与 B 及 A 与 C 的加权 Hamming 距离，得2022年5月2日1142、贴近度模糊模式识别按上述定义可知，模糊集的内积与外积是两个实数。)()(xBxABAUx )()(xBxAUx A B=定义 设 A，B F (U)，称为 A 与 B 的内积，称为 A 与 B 的外积。2022年5月2日115 .1iinibaBA iniibaba 1模糊模式识别 若 X =x1, x2, xn，记 A(xi) = ai，B(xi)

23、 = bi，则与经典数学中的向量 a = a1, a2, an 与向量 b = b1, b2, bn 的内积2022年5月2日116,6 . 08 . 018 . 06 . 04 . 0,4 . 06 . 08 . 018 . 06 . 0654321654321xxxxxxBxxxxxxA ,8 . 06 . 04 . 08 . 06 . 018 . 08 . 016 . 08 . 04 . 06 . 0 BA ,6 . 06 . 04 . 08 . 06 . 018 . 08 . 016 . 08 . 04 . 06 . 0 A B模糊模式识别2022年5月2日117ABCDE0ax*bx

24、图 3.33 正态型模糊集 A、B .,2221 bxaxexBexA模糊模式识别2022年5月2日118,2221bxax解得,2112bax于是55. 5 . 3expexp22121abaxBA类似地，由于 ,0limlimxBxAxx故 A B=0。模糊模式识别2022年5月2日119模糊模式识别),(BA 表示两个模糊集A，B之间的贴近程度。或 L( A，B) = ( A B) ( A B)C2022年5月2日120 C =4 . 04 . 06 . 06 . 09 . 0 C =1 . 08 . 04 . 06 . 01 . 0 65. 0)1 . 01(4 . 021),(0 C

25、B 45. 0)4 . 01(3 . 021),(0 CA 故B比A更贴近于.模糊模式识别2022年5月2日121模糊模式识别2022年5月2日122模糊模式识别2022年5月2日123二、择近原则I模糊模式识别2022年5月2日124模糊模式识别例如：论域为“茶叶”，标准有5种 待识别茶叶为B，反映茶叶质量的6个指标为：条索，色泽，净度，汤色，香气，滋味，确定 B 属于哪种茶,54321AAAAAA1A2A3A4A5B条索条索0.50.30.2000.4色泽色泽0.40.20.20.10.10.2净度净度0.30.20.20.20.10.1汤色汤色0.60.10.10.10.10.4香气香气

26、0.50.20.10.10.10.5滋味滋味0.40.20.20.10.10.3ABABA 1(21),(0 B)， 2022年5月2日125模糊模式识别计算得, 6 . 0),(10 BA ,55. 0),(20 BA , 5 . 0),(30 BA ,45. 0),(40 BA , 5 . 0),(50 BA 故茶叶 B 为 A1 型茶叶。2022年5月2日1262022年5月2日1272022年5月2日128先将已知蠓重新进行分类2022年5月2日129 当 = 0.919时,分为3类1, 2, 3, 6, 4, 5, 7, 8, 9,10, 11, 12, 13, 14, 15,三类的

27、中心向量分别为(1.395, 1.770),(1.560, 2.080),(1.227, 1.927).用平移极差变换1.2272.08 1.227xx将它们分别变为A1 = (0.200, 0.637) (Af 蠓),A2 = (0.390, 1.000) (Af 蠓),A3 = (0.000, 0.821) (Apf 蠓),2022年5月2日130B1= (0.015, 0.672),B2 = (0.062, 0.719),B3 = (0.203, 0.953 ).采用贴近度3 (A, B) =nkkkxBxAn1| )()(|112022年5月2日1312022年5月2日1322022年

28、5月2日1332022年5月2日1342022年5月2日1351()()mjijiB uB u为uj的Borda数.此时论域U的所有元素可按Borda数的大小排序,此排序就是比较合理的.2022年5月2日1362022年5月2日1372022年5月2日1382022年5月2日139mijijuBuB1)()(为uj的加权Borda数。2022年5月2日140名次名次一一二二三三四四五五六六权重权重0.35 0.25 0.18 0.11 0.07 0.04 B(u1)=7, B(u2)=5.75, B(u3)=1.98, B(u4)=1.91, B(u5)=0.51, B(u6)=0.75.按加

29、权Borda数集中后的排序为：u1, u2, u3, u4, u6, u52022年5月2日1412022年5月2日1422022年5月2日143ij ji 这样的rij组成的矩阵R = (rij)nn称为模糊优先矩阵, 由此矩阵确定的关系称为模糊优先关系. 2022年5月2日144.n取小法：A(xi) =rij|1jn, i =1, 2, , n;n平均法：A(xi) =(ri1 + ri2 + + rin)/n, i =1, 2, , n. 2022年5月2日1452022年5月2日146一级模糊综合评判2022年5月2日147模糊综合评判2022年5月2日148模糊综合评判2022年5

30、月2日149模糊综合评判2022年5月2日150模糊综合评判2022年5月2日1512022年5月2日1522022年5月2日153根据运算的不同定义，可得到以下不同模型：模糊综合评判2022年5月2日154例如有单因素评判矩阵 18. 030. 028. 024. 011. 030. 025. 034. 020. 008. 024. 038. 010. 016. 042. 022. 020. 012. 036. 026. 018. 024. 028. 030. 012. 026. 022. 040. 023. 025. 032. 020. 027. 013. 024. 036. 0R)18.

31、 0 , 1 . 0 , 1 . 0 , 1 . 0 ,16. 0 ,07. 0 ,07. 0 ,12. 0 , 1 . 0( A则B(0.18, 0.18, 0.18, 0.18)2022年5月2日155模糊综合评判2022年5月2日156模糊综合评判2022年5月2日157其中：模糊综合评判2022年5月2日1582022年5月2日1597/17/17/17/27/27/17/17/5000007/17/6007/17/27/4R给定以教学为主的权重A = (0.2, 0.5, 0.1, 0.2)，分别用M(,)、 M( , )模型所作评判下：M(,)： B = (0.5, 0.2, 0.

32、14, 0.14, 0.14) 归一化后，B = (0.46, 0.18, 0.12, 0.12, 0.12) M( , )： B = (0.6, 0.19, 0.13, 0.04, 0.04)2022年5月2日16012max( ,)nMb bb*11()niiiniibub 0.3,0.3,0.3,0.2B 评价等级集合为=很好，好，一般，差，各等级赋值分别为4，3，2，1 2.642 . 03 . 03 . 03 . 02 . 013 . 023 . 033 . 042022年5月2日1612022年5月2日162指标指标很好很好好好一般一般差差疗效疗效治愈治愈显效显效好转好转无效无效住

33、院日住院日151516201620212521252525费用（元）费用（元）140014001400180014001800180022001800220022002200表 12022年5月2日163表表2 2 两年病人按医疗质量等级的频数分配表两年病人按医疗质量等级的频数分配表指标指标很好很好质量好质量好等级一般等级一般差差疗效疗效0101年年 0202年年160 160 170170380 380 41041020 20 101040 40 6060住院日住院日0101年年 0202年年180 180 200 200 250 250 310310130 130 12012040 40

34、2020费用费用0101年年 0202年年130 130 110110270 270 320320130 130 12012070 70 100100现综合考虑疗效、住院日、费用三项指标对该医院2001与2002两年的工作进行模糊综合评价 2022年5月2日164）（3 . 0,2 . 0,5 . 0W2022年5月2日165600/70600/130600/270600/130600/40600/130600/250600/180600/40600/20600/380600/1601R117. 0217. 0450. 0217. 0067. 0217. 0417. 0300. 0067. 0

35、033. 0633. 0267. 0650/100650/120650/320650/110650/20650/120650/310650/200650/60650/10650/410650/1702R154. 0185. 0492. 0169. 0031. 0185. 0477. 0308. 0092. 0015. 0631. 0262. 02022年5月2日1662022年5月2日1672022年5月2日1682022年5月2日169实例：某平原产粮区进行耕作制度改革，制定了甲(三种三收)乙(两茬平作),丙(两年三熟) 3种方案,主要评价指标有：粮食亩产量，农产品质量，每亩用工量，每亩纯收

36、入和对生态平衡影响程度共5项，根据当地实际情况，这5个因素的权重分别为0.2, 0.1, 0.15, 0.3, 0.25,其评价等级如下表分数分数亩产量亩产量/kg产品质量产品质量/级级亩用工量亩用工量/工日工日亩纯收入亩纯收入/元元生态平衡影生态平衡影响程度响程度/级级5550-600120以下以下130以上以上14500-550220-30110-13023450-500330-4090-11032400-450440-5070-9041350-400550-6050-7050350以下以下660以上以上50以下以下62022年5月2日170经过典型调查，并应用各种参数进行谋算预测，发现3

37、种方案的5项指标可达到下表中的数字，问究竟应该选择哪种方案。方案方案甲甲乙乙丙丙亩产量亩产量/kg592.5529412产品质量产品质量/级级321亩用工量亩用工量/工日工日553832亩纯收入亩纯收入/元元7210585生态平衡影响程度生态平衡影响程度/级级532过程：因素集,54321uuuuuU 权重A（0.2, 0.1, 0.15, 0.3, 0.25）评判集,321vvvV 2022年5月2日171建立单因素评判矩阵：因素与方案之间的关系可以通过建立隶属函数，用模糊关系矩阵来表示。2022年5月2日1722022年5月2日1732022年5月2日1742022年5月2日1752022

38、年5月2日176多级模糊综合评判（以二级为例）问题：对高等学校的评估可以考虑如下方面后勤图书馆科研学生质量教学设施师资队伍教学高等学校模糊综合评判2022年5月2日177二级模糊综合评判的步骤：模糊综合评判2022年5月2日178模糊综合评判2022年5月2日179模糊综合评判2022年5月2日180模糊综合评判2022年5月2日181模糊综合评判2022年5月2日182模糊综合评判2022年5月2日183模糊综合评判2022年5月2日184模糊综合评判2022年5月2日185“真”.2022年5月2日186(5) 将所得的结果归一化.2022年5月2日1872022年5月2日188n2，4，

39、6，8 表示上述相邻判断的中间值n倒数若元素i与j的重要性之比为aij，那么j元素与i元素重要性之比为1/ aij2022年5月2日189()ijn nAa()ijn nAa ()ijn nAa ()ijn nAa其中 aij就是元素i和j相对于C的重要性的比例标度。判断矩阵A具有下列性质：aij0，aji=1/aij，aii=1若判断矩阵A的所有元素满足 i jjkikaaa则称A为一致性矩阵。不是所有的判断矩阵都满足一致性条件，也没有必要这样要求，只是在特殊情况下才有可能满足一致性条件。2022年5月2日19012(,) .TnW （1）权重计算方法。 和法。将判断矩阵A的n个行向量归一化

40、后的算术 平均值，近似作为权重向量，即 111nijinjk jkana2022年5月2日191111nijjinnkjkjana2022年5月2日192111111()()nnijjnnnk jkjaa 2022年5月2日193max,AWW式中， 是A的最大特征根，W是相应的特征向量，所得到的W经归一化后就可作为权重向量。max2022年5月2日194得怀疑了，因此要对判断矩阵的一致性进行检验，具体步骤如下：2022年5月2日195m ax. .1nC In查找相应的平均随机一致性指标R.I. 下表给出了115阶正互反矩阵计算1000次得到的平均随机一致性指标 2022年5月2日19620

41、22年5月2日197. . . .C IC RR I当C.R.0.1时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的；当C.R.0.1时，应该对判断矩阵做适当修正。2022年5月2日1982022年5月2日1992022年5月2日200121( , ,.,), |mnkjkjjjXx xxxb rb 约定 =1.且 为X R=B的最大解2022年5月2日201模糊线性规划一、模糊约束条件下的极值问题例：某人想买一件大衣，提出如下标准：式样一般，质量好，尺寸较全身，价格尽量便宜，设有5件大衣Xx1,x2,x3,x4,x5供选择，经调查结果如表大衣大衣x1x2x3x4X5式样式样过时过时较陈旧较陈旧时髦时髦较

42、新较新一般一般质量质量好好较好较好好好较差较差一般一般尺寸尺寸合身合身较合身较合身合身合身合身合身较合身较合身价格价格40801008575问他应该购买哪一件大衣？2022年5月2日202模糊线性规划该类问题的解题过程：2. 目标函数f(x)模糊化1.将语言真值(评价结果)转化为各模糊约束集的隶属度ffmxfxGminmax)()( 3.定义模糊判决：加权型：对称型：).()()(xGxAxD ).()()(xbGxaAxD 4. 由最大隶属原则求出x*, 则x*为模糊条件极大值点。ffxfMxGminmax)()(或者2022年5月2日203解：将式样，质量，尺寸化为三个模糊约束A1,A2,

43、A3,价格化为模糊目标G：大衣大衣x1x2x3x4X5A100.70.50.81A210.810.40.6A310.8110.8G10.3300.250.5将表中的评价结果转化为各模糊约束集的隶属度其中模糊目标ffxfMxGminmax)()(2022年5月2日204总约束集6 . 0 , 4 . 0 , 5 . 0 , 7 . 0 , 0321 AAAA模糊目标集5 . 0 ,25. 0 , 0 ,33. 0 , 1 G约束与目标对等时，用对称型模糊判决543215 . 025. 0033. 00 xxxxx由最大隶属原则，应该买x5.)()()(xGxAxD 2022年5月2日205如果要

44、求价格更便宜，则放松约束，令a=0.4, b=0.6加权型判决为)(6 . 0)(4 . 0)(xGxAxD 5432154. 031. 02 . 048. 06 . 0 xxxxx 由最大隶属原则，应该买x1.2022年5月2日206模糊线性规划实例： 采区巷道布置是矿井开拓中的重要内容，其目的就是建立完善的矿井生产系统，实现采区合理集中生产，改善技术经济指标.因此，合理地选择最优巷道布置方案，对于矿井生产具有十分重要的意义.根据煤矿开采的特点和采区在矿井生产的作用，在选择最优巷道布置方案时，要求达到下列标准：(1)生产集中程度高； (2)采煤机械化程度高；(3)采区生产系统十分完善； (4

45、)安全生产可靠性好；(5)煤炭损失率低； (6)巷道掘进费用尽可能低.上述问题,实际上就是一个模糊约束下的条件极值问题，我们可以把(1)(5)作为模糊约束，而把(6)作为目标函数.设某矿井的采区巷道布置有六种方案可供选择，即2022年5月2日207模糊线性规划经过对六种方案进行审议，评价后，将其结果列于表11x2x3x4x5x6x1C2C63.6044.2034.5078.8069.1059.40G： 巷道掘进费用(万元)很低一般一般一般较高高 :煤炭损失率低高一般高较低一般较低 :安全生产可靠度高较高高很高较低较低一级 :采区生产系统完善高很高高较高较高高 :采煤机械化程度高较高较高很高较高

46、高较低 :生产集中程度高 方案评价项目3C4C5C略2022年5月2日208普通线性规划的一般形式为nnxcxcxcf2211 min ), 2 , 1(022112222212111212111njxbxaxaxabxaxaxabxaxaxajmnmnmmnnnn0minxbAXCXf 目标函数约束条件 矩阵表达形式模糊线性规划二、模糊线性规划问题(1)2022年5月2日209模糊线性规划是将约束条件和目标函数模糊化，引入隶属函数，从而导出一个新的线性规划问题，它的最优解称为原问题的模糊最优解. 普通线性规划其约束条件和目标函数都是确定的，但在一些实际问题中，约束条件可能带有弹性，目标函数可

47、能不是单一的，可以借助模糊集的方法来处理.2022年5月2日210nnxcxcxcf2211min)2 , 1(0 22112222212111212111njxbxaxaxabxaxaxabxaxaxajmnmnmmnnnn模糊线性规划，其模型为为了体现这个近似小于等于，我们引入伸缩指标di ,2022年5月2日211模型又可写成nnxcxcxcf2211min)2 , 1(0, ,2211222222121111212111njxdbxaxaxadbxaxaxadbxaxaxajmmnmnmmnnnn,1injjjibxa0 id当时，, 0id 当njjjixa1),(iiiidbdb

48、取内某一值。 （2）2022年5月2日212模糊线性规划2022年5月2日213模糊线性规划2022年5月2日214模糊线性规划2022年5月2日215模糊线性规划2022年5月2日216模糊线性规划2022年5月2日217模糊线性规划2022年5月2日218模糊线性规划2022年5月2日219实例1：饮料配方问题某种饮料含有三种主要成份A1,A2,A3, 每瓶含量分别为755 mg, 1205 mg, 1385 mg,这三种成份主要来自于五种原料 B1, B2, B3, B4, B5. 各种原料每千克所含成分与单价如下表所示，若生产此种饮料一万瓶，如何选择原料成本最小？原料原料B1B2B3B

49、4B5A1/mg856012080120A2/mg801509016060A3/mg100120150120200单价单价/元元1.31.51.61.71.82022年5月2日220 在相同的条件下,要求多个目标函数都得到最好的满足,这便是多目标规划. 若目标函数和约束条件都是线性的,则为多目标线性规划. 一般来说,多个目标函数不可能同时达到其最优值,因此只能求使各个目标都比较“满意”的模糊最优解. 模糊线性规划2022年5月2日221例2 解多目标线性规划问题. 0, 64,1023. .;32max;2min32132132132123211xxxxxxxxxtsxxxfxxxf模糊线性规

50、划2022年5月2日222解普通线性规划问题： . 0, 64,1023. .;2min3213213213211xxxxxxxxxtsxxxf 得最优解为x1 = 0, x2 = 2, x3 = 2, 最优值为2，此时 f 2 = 8. 模糊线性规划2022年5月2日223解普通线性规划问题： . 0, 64,1023. .;32max3213213213212xxxxxxxxxtsxxxf 得最优解为x1 = 10, x2 = 0, x3 = 0, 最优值为20，此时f 1 = 10. 模糊线性规划2022年5月2日224的最优解为x1 = 0, x2 = 2, x3 = 2, 最优值为2

51、,此时 f 2 = 8.的最优解为x1 = 10, x2 = 0, x3 = 0, 最优值为20，此时f 1 = 10. 同时考虑两个目标，合理的方案是使f 1 2, 10 , f 2 8, 20 , 可取伸缩指标分别为d1 = 10 - 2 = 8, d2 = 20 - 8 = 12. 如果认为目标 f 1更重要,可单独缩小d1; 如果认为目标 f 2更重要，可单独缩小d2. 2022年5月2日225 再分别将两个目标函数模糊化,变为解普通线性规划问题： . 64,1023, 81232,1082. .,max321321321321xxxxxxxxxxxxts 得最优解为x1 = 6.29

52、, x2 = 0.29, x3 = 1.43, = 0.57.此时f 1 = 5.43, f 2 = 14.86.2022年5月2日226实例2：风险投资问题某人计划将自己的资金的20%3%作为机动资金，其余用于投资5种证券：A1, A2, A3, A4, A5, 已知它们的投资收益率和风险损失率如下表，问如何投资才能使收益最大，风险最小。证券证券A1/% A2 /%A3/% A4/% A5/%收益率收益率510203040风险率风险率35816182022年5月2日2272022年5月2日2282022年5月2日2292022年5月2日230., 1, 0)(axaxxA10axA(x)20

53、22年5月2日231.,1, 0)()(axeaxxAaxk10axA(x)a+1/k图 3.82022年5月2日23210axA(x)图 3.90.,1, 0)(2)(kaxeaxxAaxk2022年5月2日2330, 0.,)(1 , 0)(1axaxaxxA10axA(x)图 3.102022年5月2日234.1, 0)(221121xaaxaaaaxaxxA10a1xA(x)a2图 3.112022年5月2日235., 1),2(sin2121, 0)(2212112xaaxaaaxaaaxxA10a1xA(x)a2图 3.12(a1+a2)/22022年5月2日236 .,0,1ax

54、axxA01axA(x)图 3.13 降半矩形分布2022年5月2日237 .0,1kaxeaxxAaxk其中01aa+1/kxA(x)图 3.14 降半分布2022年5月2日238 .0,12kaxeaxxAaxk其中01axA(x)图 3.15 降半正态分布2022年5月2日239 .0, 0,1,11其中axaxaxxAA(x)01ax图3.16 降半柯西分布2022年5月2日240 .,0,12211221xaaxaaaxaaxxAA(x)01a1xa22022年5月2日241 .,0, )2(sin2121,122112121xaaxaaaxaaaxxA01/21a12aa21a2x

55、A(x)2022年5月2日242 .,0, 1,0 xbabaxbabaxxA01A(x)a-baa+bx2022年5月2日243 0,kaxeaxexAaxkaxk其中01A(x)a-1/kaa+1/kx2022年5月2日244 .0,2kexAaxk其中0ax1A(x)2022年5月2日245 为正偶数。其中,0,11xxA0ax1A(x)返回2022年5月2日246 ,0,1,022112211121222xaaaaxaaaaaxaaaxaaaaxaaaaaxaaaxxA01A(x)a-a1aa+a2xa-a2a+a12022年5月2日247 ,0, )2(sin2121,1, )2(s

56、in2121,02211212111212122xaaaxaaaxaaaxaaxaaaxaaaxxA01A(x)a1a2-a1-a2x2022年5月2日2482022年5月2日2492022年5月2日2502022年5月2日2512022年5月2日2522022年5月2日2532022年5月2日2542022年5月2日2552022年5月2日2562022年5月2日2572022年5月2日2582022年5月2日2592022年5月2日2602022年5月2日2612022年5月2日2622022年5月2日263模糊时间序列预测法2022年5月2日2642022年5月2日2652022年5月2

57、日2662022年5月2日2672022年5月2日2682022年5月2日2692022年5月2日2702022年5月2日2712022年5月2日2722022年5月2日273由于2022年5月2日2742022年5月2日2752022年5月2日2762022年5月2日2772022年5月2日2782022年5月2日2792022年5月2日2802022年5月2日2812022年5月2日2822022年5月2日2832022年5月2日2842022年5月2日2852022年5月2日2862022年5月2日2872022年5月2日2882022年5月2日2892022年5月2日2902022年5

58、月2日2912022年5月2日2922022年5月2日2932022年5月2日2942022年5月2日2952022年5月2日296选择x*,使得2022年5月2日2972022年5月2日2982022年5月2日2992022年5月2日3002022年5月2日3012022年5月2日3022022年5月2日3032022年5月2日3042022年5月2日3052022年5月2日3062022年5月2日3072022年5月2日3082022年5月2日3092022年5月2日3102022年5月2日3112022年5月2日3122022年5月2日3132022年5月2日3142022年5月2日31

59、52022年5月2日3162022年5月2日3172022年5月2日3182022年5月2日3192022年5月2日3202022年5月2日3212022年5月2日322线性规划2022年5月2日3232022年5月2日3242022年5月2日3252022年5月2日3262022年5月2日3272022年5月2日3282022年5月2日3292022年5月2日3302022年5月2日3312022年5月2日3322022年5月2日3332022年5月2日3342022年5月2日3352022年5月2日3362022年5月2日3372022年5月2日3382022年5月2日3392022年5月

60、2日3402022年5月2日3412022年5月2日3422022年5月2日3432022年5月2日3442022年5月2日3452022年5月2日346nP、Q两命题结合后得到的真值表如下表所示：2022年5月2日347命题命题PQPQPQ真值真值11001010111010002022年5月2日3482022年5月2日3492022年5月2日3502022年5月2日3512022年5月2日3522022年5月2日3532022年5月2日3542022年5月2日3552022年5月2日356或削弱其表达程度，常用的三种算子为：语气算子、Fuzzy算子和判定算子。2022年5月2日357202