第一章3-阻尼振动,受迫振动及共振-1

1、1、 阻尼振动现象阻尼振动现象2、 阻尼振动的动力学方程：阻尼振动的动力学方程：阻尼振动阻尼振动 受迫振动与共振受迫振动与共振1.6、阻尼振动（、阻尼振动（Damping Vibration）因摩擦、声波辐射等原因阻碍振动的进行（阻尼），而导因摩擦、声波辐射等原因阻碍振动的进行（阻尼），而导致振动幅度随时间衰减。致振动幅度随时间衰减。在运动速度不太大时，阻尼作用可体现为与速度成正比的在运动速度不太大时，阻尼作用可体现为与速度成正比的阻力（阻尼力）：阻力（阻尼力）：tddxv以弹簧振子为例：以弹簧振子为例： 22dtxdm整理得：整理得：kx 022022 xdtdxdtxd 其中：其中：m2

2、mk 0 （阻尼因子）（阻尼因子）（固有角频率）（固有角频率）：阻力系数：阻力系数tddx f 欠阻尼状态欠阻尼状态3、 阻尼振动表达式与三种阻尼状态阻尼振动表达式与三种阻尼状态)(00)( titeeAtx其中：其中：220 若若0 或或减幅振动减幅振动)cos()(00 teAtxttxotAe022022 xdtdxdtxd 若若0 若若0 tteBeBtx)(2)(1202202)( 缓慢地回到平衡位置缓慢地回到平衡位置tetCCtx )()(21很快地回到平衡位置很快地回到平衡位置过阻尼状态过阻尼状态临界阻尼状态临界阻尼状态欠阻尼状态欠阻尼状态若若0 )cos()(00 teAtxt

3、otx过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼欠阻尼欠阻尼1.7、 受迫振动（受迫振动（Forced Vibration） 共振共振若策动力（强迫力）为简谐的：若策动力（强迫力）为简谐的：2、强迫振动一般表达式与稳态解、强迫振动一般表达式与稳态解在外来策动力（周期性）作用下的振动在外来策动力（周期性）作用下的振动1、动力学方程、动力学方程tFF cos0 22dtxdmkx tmFxdtdxdtxd cos202022 为方便运算，可将方程改写为复函数形式：为方便运算，可将方程改写为复函数形式：tiemFxdtdxdtxd 020222 dxd t F 0i tFF e 一，受迫振动一，受迫振动:设稳态解

4、为：设稳态解为：tiemFxdtdxdtxd 020222 tiAex 代入方程得：代入方程得：mFAAiA02022 A 00 ieA 其中：其中：0A 2222022010)2()(cos 通解通解= 齐次方程解齐次方程解 （阻尼运动）（阻尼运动）+非齐次方程特解非齐次方程特解经过一段时间经过一段时间非齐次方程特解（稳态解）非齐次方程特解（稳态解）0iA e 02201()2Fmi 0222201()(2)Fm 最后得：最后得：()0itxA e 0022220()(2)FAm 实部代表实际的运动情况：实部代表实际的运动情况：0cos()xAt 二、共振（二、共振（Resonance）位移

5、共振位移共振当系统的固有频率与外力的频率满足一定关当系统的固有频率与外力的频率满足一定关系时，位移振幅达到极大值。系时，位移振幅达到极大值。00dAd 令：令：221022220cos()(2) 共振振幅共振振幅 :22002 mFAr2202 r得共振频率：得共振频率： (0,2) 1220cos 且相位差且相位差 :：驱动力频率等于振动系统的固有：驱动力频率等于振动系统的固有频率时，振幅达到最大。频率时，振幅达到最大。22002 mFAr且且若若02202 r则则0 ru尖锐共振：尖锐共振：002mFAr 2 1220cos 相位差相位差 :共振振幅共振振幅 :共振频率：共振频率：0cos

6、()xAt 0cosFFt 速度共振速度共振速度表达式：速度表达式：0sin()vAt 02220cos()2()(2)Ftm 0cos()xAt 221022220cos()(2) 0022220()(2)FAm 0cosFFt 0cos()2At 速度振幅达到极大的条件：速度振幅达到极大的条件：速度与策动力同相位，速度与策动力同相位，此时速度振幅达到极大值：此时速度振幅达到极大值： 0 mFv20max 2 另外：另外： v mF2 02220cos()2()(2)Fvtm 则：则：tmF cos20策动力始终作正功，策动力始终作正功，此时外界向系统输入此时外界向系统输入能量的功率最大能量的功率最大! ! 演示演示1多谐共振仪多谐共振仪演示演示2声波击碎烧杯声波击碎烧杯演示演示3、 1