人教版七年级数学下《三元一次方程组的解法》拓展练习

1、三元一次方程组的解法拓展练习、选择题（本大题共5小题，共25.0分）（5分）A.C.产Ta=-lbl2.（5分）已知三元A. 20）的解.D. 70第1页（共18页）3.（5分）对于三元一次方程组，我们一般是先消去一个未知数，转化为二元次方程组求解.那么在解三元一次方程组2*尸工三9 x+2y+z=8 工二 7时，下列没行实现这一转钱，购甲1件、B.D.x-y=ly-z=l3y+z=73件、乙2件、丙1件，共需130元乙2件、丙3件共需210元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（A. 105元B. 95 元C.85元D. 88元5.（5 分）若 2x+5y+4z= 0, 3x+y 7z=

2、0,贝Ux+y- z的值等于（A. 0B. 1C.D.不能求出、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6. （5分）五羊公共汽车公司的555路车在A, B两个总站间往返行驶，来回均 为每隔x分钟发车一次.小宏在大街上骑自行车前行，发现从背后每隔6分钟开过来一辆555路车，而每隔3分钟则迎面开来一辆555路车.假设公共 汽车与小宏骑车速度均匀，忽略停站耗费时间，则x=分钟.7. （5分）若xg时，关于x, y的二元一次方程组.f 的解x, y互为倒 数，则 a-2b =.8. （5分）三轮摩托车的轮胎安装在前轮上行驶 12000公里后报废，安装在左后 轮和右后轮则分别只能行驶 7500公里和50

3、00公里.为使该车行驶尽可能多 的路程，采用行驶一定路程后将 2个轮胎对换的方法，但最多可对换 2次， 那么安装在三轮摩托车上的3条轮胎最多可行驶公里.9. （5分）五羊公园门票规定为：每人 20元；30人以上的团体购票，每人18 元，每30人优惠1人免票（不足30人的余数不优惠）.今有花城旅行社、穗 城旅行社、羊城旅行社的三支旅游团前来参观：如果花城团、穗城团合起来 作为一个团体购票，应购门票3834元；如果穗城团、羊城团合起来购票，应 购门票4770元；如果羊城团、花城团合起来购票，应购门票5220元，那么三个团共有人.10. （5分）某校运动会在400米环形跑道上进行10000米比赛，甲

4、、乙两运动 员同时起跑后，乙速超过甲速，在第 15分钟时甲加快速度，在第18分钟时 甲追上乙并且开始超过乙，在第 23分钟时，甲再次追上乙，而在第 23分50 秒时，甲到达终点，那么乙跑完全程所用的时间是 分钟.三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）种“整体代换”的解法，解法如下：解：将方程8x+20y+2y= 10,变形为2 （4x+10y） +2y=10，把方程 代入得,2X6+2y=10,则y=-1;把y=-1代入得，x=4,所以方程组的解为:叵请你解决以下问题：（1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组（2）已知x、y、z,满足试求z的值.12. （10分）问题：有甲、乙、丙三种商

5、品，购甲3件、乙5件、丙7件共需 490元钱；购甲4件、乙7件、丙10件共需690元钱；购甲2件，乙3 件，丙1件共需170元钱.求购甲、乙、丙三种商品各一件共需多少元？小明说：”可以根据3个条件列出三元一次方程组，分别求出购甲、乙、丙一件 需多少钱，再相加即可求得答案.”小丽经过一番思考后，说：“本题可以去掉条件 ，只用 两个条件，仍能求 出答案.”针对小丽的发言，同学们进行了热烈地讨论.(1)请你按小明的思路解决问题.(2)小丽的说法正确吗？如果正确，请完成解答过程；如果不正确，请说明理 由.(3)请根据上述解决问题中积累的经验，解决下面的问题：学校购买四种教学 用具A、B、C、D,第一次

6、购A教具1件、B教具3件、C教具4件、D教具 5件共花2018元；第二次购A教具1件、B教具5件、C教具7件、D教具 9件共花3036元.求购A教具5件、B教具3件、C教具2件、D教具1件 共需多少元？13. (10分)某中学的1号教学大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道 侧门也大小相同，安全检查时，对 4道门进行了测试，当同时开启一道正门 和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生，当同时开启一道正门和一道侧 门时，4分钟内可通过800名学生.(1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？(2)该中学的2号教学大楼，有和1号教学大楼相同的正门和侧门共 5道，若 这栋大楼的教

7、室里最多有1920名学生，安全检查规定，在紧急情况下，全大 楼学生应在4分钟内通过这5道门安全撤离，该栋大楼正门和侧门各有几道？14. (10分)在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点A的坐标为(-a, a), a *0,点 B 的坐标为(b, c), a, b, c满足。""一(1)用a表示b与c；(2)若b>c-5,且c为正整数，求点 A、B的坐标.15. (10分)计算：(1)国+国2 (日.(2)(3) 4 (3x+1) 2-1 = 0;(4)(5)(6)第11页（共18页）三元一次方程组的解法拓展练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）

8、匕，二- J1. （5分）下列四组数值中，（）是方程组1b+c=-5的解.c=IJA. klB.11C. , blD.二2【分析】+得出4a=-4,求出a的值，+得出5a-2b=-9,代入后 求出b,即可求出答案.11： ',二一1oSu-：'-：. -'I1.1+得：4a= - 4,解得：a = - 1,+得：5a - 2b= - 9，把a = - 1代入得：-5-2b=-9,解得：b=2, 把 a=-1, b=2 代入得：-1+2+c= 0,解得：c= - 1,故原方程组的解为旧,故选：B.【点评】本题考查了三元一次方程组的解法，能正确消元是解此题的关键.,比产10

9、2. （5分）已知三元一次方程组J y+z=20 ,则x+y+z=（）匕十工二口口|A. 20B. 30C. 35D. 70【分析】方程组中三个方程左右两边相加，变形即可得到 x+y+z的值.【解答】解：叶2=20, .- I-''；C1 + +得：2 (x+y+z) =70,贝U x+y+z= 35.故选：C.【点评】此题考查了解三元一次方程组，本题的技巧为将三个方程相加.3. （5分）对于三元一次方程组，我们一般是先消去一个未知数，转化为二元次方程组求解.那么在解三元一次方程组上L”二一1, it+2y+z=E时，下列没行实现这一转化的是（）A.C.【分析】根据解三元一次方

10、程组的步骤先消去一个未知数，得到一个二元一次方程组，从而得出答案.【解答】解：因为解三元一次方程组的步骤先消去一个未知数，得到一个二元次方程组，所以没行实现这一转化的是 A选项，仍旧是三个未知数，故选：A.【点评】本题考查了三元一次方程组的解法， 把“三元”转化为“二元”、把“二 元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法.解三元一次方程组的关 键是消元.4. （5分）甲、乙、丙三种商品，若购买甲 3件、乙2件、丙1件，共需130元 钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需210元钱，那么购甲、乙、丙三种商品 各一件共需（）A. 10

11、5 元B. 95 元C. 85 元D. 88 元【分析】设出购甲、乙、丙三种商品各一件的未知数，建立方程组，整体求解.【解答】解：设购甲、乙、丙三种商品各一件，分别需要 x元、y元、z元,根据题意有：/及+2廿工口丸，二叶二一二把这两个方程相加得：4x+4y+4z= 340,4 （x+y+z） =340, x+y+z= 85.即购甲、乙、丙三种商品各一件共需 85元钱.故选：C.【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，解题时认真审题，弄清题意，再列 方程组解答，此题难度不大，考查方程思想.5. （5 分）若 2x+5y+4z= 0, 3x+y- 7z= 0,贝U x+y- z 的值等于（）A.

12、 0B. 1C. 2D.不能求出【分析】理解清楚题意，运用三元一次方程组的知识，把x, y用z表示出来，代入代数式求值.【解答】解：根据题意得：|用哉把（2）变形为：y= 7z-3x,代入（1）得：x= 3z,代入（2）得：y= - 2z,贝U x+y - z= 3z- 2z - z= 0.故选：A.【点评】本题的实质是解三元一次方程组，用加减法或代入法来解答.二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6. （5分）五羊公共汽车公司的555路车在A, B两个总站间往返行驶，来回均 为每隔x分钟发车一次.小宏在大街上骑自行车前行，发现从背后每隔6分钟开过来一辆555路车，而每隔3分钟则迎面开来一

13、辆555路车.假设公共 汽车与小宏骑车速度均匀，忽略停站耗费时间，则 x= 4分钟.【分析】可设路车和小宏的速度为未知数，等量关系为：6X （路车的速度-小宏的速度）=xX路车的速度；3X （路车的速度+小宏的速度）=xX路车的 速度，消去x后得到路程速度和小宏速度的关系式， 代入任意一个等式可得x 的化【解答】解：设路车的速度为a,小宏的速度为b.解得a = 3b,代入第2个方程得x = 4,故答案为4.【点评】考查3次方程组的应用；消元是解决本题的难点；得到相遇问题和追及问题的等量关系是解决本题的关键.7. （5 分）若 x =时，关于x, y的二元一次方程组az-Sy=l x-by=2的

14、解x, y互为倒数，则a 2b =11_L 2【分析】把x, y的值代入方程组中，得到关于a, b的方程组，求解即可.【解答】解：由于x、y互为倒数，x=，则 y=2,代入二元一次方程组ax-2y=l|ya-4=l-2b=2解得 a = 10, b=-则 a 2b=1故本题答案为:1H【点评】本题的实质是解三元一次方程组，解答此题还要熟悉倒数的概念.8. （5分）三轮摩托车的轮胎安装在前轮上行驶 12000公里后报废，安装在左后轮和右后轮则分别只能行驶 7500公里和5000公里.为使该车行驶尽可能多的路程，采用行驶一定路程后将 2个轮胎对换的方法，但最多可对换 2次,那么安装在三轮摩托车上的

15、3条轮胎最多可行驶 7200公里.【分析】易得在每个位置的轮胎行驶1公里的损耗度，那么3除以3种轮胎损耗度之和即为最多可行驶的公里数；验证方法为：先让前胎与后胎对换，再让左右轮胎对换，根据每种轮胎报废的损耗度为1得到相应的等量关系，即可求得对换需要的时间.12000【解答】解：三轮摩托每行驶1公里，前胎、左后胎和右后胎分别损耗=7200公里.设行驶x公里时，把前胎和右后胎对换，再走 y公里，把左右后胎对换，再走公里，报废.-卜 了 d 二二11 ? V- A =印75IV 175 K E010-十一-一 H- =1EOK 12ii0：i 12 K 0 -x-3428y解得产31呜|二二 E 7

16、|x+y+z= 7200.行驶342§公里时，把前胎和右后胎对换，再走317仁公里，把左右后胎对换，再走600公里，报废.故答案为：7200.【点评】考查三元一次方程组的应用；判断出相应的对换方法是解决本题的突破 点；根据每种轮胎报废的损耗度为1得到相应的等量关系是解决本题的难点.9. （5分）五羊公园门票规定为：每人 20元；30人以上的团体购票，每人18 元，每30人优惠1人免票（不足30人的余数不优惠）.今有花城旅行社、穗 城旅行社、羊城旅行社的三支旅游团前来参观：如果花城团、穗城团合起来 作为一个团体购票，应购门票3834元；如果穗城团、羊城团合起来购票，应 购门票4770元

17、；如果羊城团、花城团合起来购票，应购门票 5220元，那么 三个团共有人 397 .【分析】可设花城团有x人，穗城团有y人，羊城团有z人，每人18元，每30 人优惠1人免票（不足30人的余数不优惠），实际上就是：540元，可进31 B'x+y=2LiJ或y+厂2T4，解方程组求解即可.;上一 0【解答】解：设花城团有x人，穗城团有y人，羊城团有z人，因为 3834+18=213, 4770+18=265, 5220+ 18=290,又 213=30X7+3, 265=30X8+25, 290=30X9+20.根据公园门票优惠方法得方程组：x+y= 213+7,即x+y= 220;y+z

18、= 265+8,即 y+z=273;z+x= 290+9,即 z+x = 299.三式相加得：2 (x+y+z) =792,故x+y+z= 396,即三个团共有 396人.由y+z=273可知，穗城团与羊城团合起来有 273人，而273应写成30X 9+3, 即273人只需有273- 9=264人买票，与题目中的265不符.因此，穗城团、 羊城团的人数加起来不可能是 273人而应是265+9= 274人，而274= 30X9+4, 因为只有274人才需要购买274 -9 = 265人的票，同样，由z+x= 299人，若 再增加一人，变为300人，则300=3010,省10人的票，同样也是290

19、人买 票.所以羊城团、花城团合起来可能是299人，也可能是300人.即可能是Z+：尸£式z+x = 299,也可能是 z+x=300.综上所述，可得方程组：尸274或 工十工二？.y+z=274®：,一由方程组可得：2 (x+y+z) =793,故 x+y+z = 396.5,由方程组可得：2 (x+y+z) = 794,故x+y+z =397,由于人数不可能为小数， 所以方程组不符合实际，应舍去，故三个团共有 397人.故答案为：397.【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，解题的关键是得出羊城团、花城团合起来可能是299人，也可能是300人，从而根据情况舍去不符合实际

20、的.10. (5分)某校运动会在400米环形跑道上进行10000米比赛，甲、乙两运动 员同时起跑后，乙速超过甲速，在第15分钟时甲加快速度，在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙，在第 23分钟时，甲再次追上乙，而在第 23分50 秒时，甲到达终点，那么乙跑完全程所用的时间是25分钟.【分析】首先假设出发时甲速度为a米/分，乙速度为b米/分.第15分钟甲提高 的速度为x米/分，则第15分钟后甲的速度是(a+x)米/分.根据题意，到第15分钟时，乙比甲多跑15 (b-a)米，甲提速后3分钟(即第18分）追上乙，所以（a+x b） x 3= 15 （b a）接着甲又跑了 5分钟（即第23分钟），已经

21、超过乙一圈（400米）再次追上乙，所以（a+x- b） x 5= 400到了第23分50秒时甲跑完10000米，这10000米前（15分）是以速a跑完的，后面的 剧分是以速度a+x跑完的，所以 15a+（a+x） = 10000,由+得b - a= 16 （米/分）,x= 96米/分.将b-a、x代入得 a = 384米/分，所以b= 400米/分.乙是一直以400米/分的速度跑完10000米的，,乙跑完全程所用的时间=1黑。卜25 （分）.【解答】解：设出发时甲速度为a米/分，乙速度为b米/分.第15分钟甲提高的 速度为x米/分，所以第15分钟后甲的速度是（a+x）米/分.由题意得(a+x-

22、b)x 5=400IBa+S-rCa-Fx )-10000由+得b- a= 16 （米/分）,那么x=96米/分将x代入得a = 384米/分b= 400 米/分.,乙跑完全程所用的时间=瞪 = 25 （分）.故答案为25.【点评】解决本题的关键是从求甲的原速度与甲提高的速度为切入点，求得甲的速度，乙速度也就不难确定了.三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11. （10分）阅读材料：善于思考的小明在解方程组口 小小时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：解：将方程8x+20y+2y= 10,变形为2 （4x+10y） +2y=10，把方程 代入得,2X6+2y=10,则y=-1;把y

23、=-1代入得，x=4,所以方程组的解为：(1)试用小明的“整体代换”的方法解方程组2x-36x-5y=(2)已知x、y、z,满足32z+12y=4702x+z-F3y=36试求z的值.请你解决以下问题：第15页（共18页）【分析】(1)将变形后代入方程解答即可;(2)将原方程变形后利用加减消元解答即可.【解答】解：(1)r2s-3y06K-5疔11将变形得3 (2x- 3y) +4y= 11将代入得3X7+4y=11把y= J卜入得环，一方程组的解为：.(2).，入十El*二:沂由得 3 (x+4y) 2z= 47由得 2 (x+4y) +z=36 X2-X3得z= 2【点评】本题考查了解二元

24、一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，用了整体代入思想.12. (10分)问题：有甲、乙、丙三种商品，购甲3件、乙5件、丙7件共需 490元钱；购甲4件、乙7件、丙10件共需690元钱；购甲2件，乙3 件，丙1件共需170元钱.求购甲、乙、丙三种商品各一件共需多少元？小明说：”可以根据3个条件列出三元一次方程组，分别求出购甲、乙、丙一件 需多少钱，再相加即可求得答案.”小丽经过一番思考后，说：“本题可以去掉条件 ，只用 两个条件，仍能求 出答案. "针对小丽的发言，同学们进行了热烈地讨论.(1)请你按小明的思路解决问题.(2)小丽的说法正确吗？如果正确，请完

25、成解答过程；如果不正确，请说明理 由.(3)请根据上述解决问题中积累的经验，解决下面的问题：学校购买四种教学 用具A、B、C、D,第一次购A教具1件、B教具3件、C教具4件、D教具 5件共花2018元；第二次购A教具1件、B教具5件、C教具7件、D教具 9件共花3036元.求购A教具5件、B教具3件、C教具2件、D教具1件 共需多少元？【分析】(1)设购买一件甲种商品需要x元，购买一件乙种商品需要y元，购买 一件丙种商品需要z元，根据“购甲3件、乙5件、丙7件共需490元钱； 购甲4件、乙7件、丙10件共需690元钱；购甲2件，乙3件，丙1 件共需170元钱”，即可得出关于x、y、z的三元一次

26、方程组，解之即可得出 结论；(2)设购买一件甲种商品需要x元，购买一件乙种商品需要y元，购买一件内 种商品需要z元，根据“购甲3件、乙5件、丙7件共需490元钱；购 甲4件、乙7件、丙10件共需690元钱”，即可得出关于x、y、z的三元一次 方程组，由方程 X3 -方程X2可得x+y+z=90,此题得解；(3)设购买一套A教具需要a元，购买一套B教具需要b元，购买一套C教具 需要c元，购买一套D教具需要d元，根据“购A教具1件、B教具3件、C 教具4件、D教具5件共花2018元；第二次购A教具1件、B教具5件、C 教具7件、D教具9件共花3036元”，即可得出关于a、b、c、d的四元一次 方程

27、组，设a+b+c+d = m、2b+3c+4d = n,可将原方程组变形为关于 m、n的 二元一次方程组，解之即可得出 m、n的值，将其代入5a+3b+2c+d = 5m - n 中即可求出结论.【解答】解：(1)设购买一件甲种商品需要x元，购买一件乙种商品需要y元， 购买一件丙种商品需要z元，7 j；+ J r + 7 z = 4 ? U根据题意得： 金+Fy+l亮=6 9 o|金口£丁解得：m. x+y+z= 90.答：购甲、乙、丙三种商品各一件共需 90元.（2）小丽的说法正确.设购买一件甲种商品需要x元，购买一件乙种商品需要y元，购买一件丙种商品需要z元，根据题意得：I 4

28、.iT：r Hi 二二方程X 3-方程X2,得：x+y+z=90.答：购甲、乙、丙三种商品各一件共需 90元.（3）设购买一套A教具需要a元，购买一套B教具需要b元，购买一套C教具需要c元，购买一套D教具需要d元，根据题意得：方程组可变形为：Mg+Mc+d）"，3c+4d）m" g+b+c+d）+2（2b+3c+4d）=303d设 a+b+c+d = m, 2b+3c+4d = n,则原方程组可变形为:M2n=3036解得:(irTlOOO产1012 .5a+3b+2c+d=5 (a+b+c+d) ( 2b+3c+4d) =5mn = 3982.答：购A教具5件、B教具3件

29、、C教具2件、D教具1件共需3982元.【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、 三元一次方程组的应用以及四元次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出三元一次方程组；（2）根据方程 之间的关系，求出x+y+z的值；（3）巧妙的将原四 元一次方程组转化为二元一次方程组求解.13. （10分）某中学的1号教学大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道 侧门也大小相同，安全检查时，对 4道门进行了测试，当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生，当同时开启一道正门和一道侧 门时，4分钟内可通过800名学生.（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？

30、（2）该中学的2号教学大楼，有和1号教学大楼相同的正门和侧门共 5道，若 这栋大楼的教室里最多有1920名学生，安全检查规定，在紧急情况下，全大 楼学生应在4分钟内通过这5道门安全撤离，该栋大楼正门和侧门各有几道？【分析】（1）根据题意可知，本题有两个未知数：平均每分钟一道正门和一道侧 门各通过多少名学生.等量关系有两个：当同时开启一道正门和两道侧门时， 2min内可以通过560名学生.当同时开启一道正门和一道侧门时，4min内可以通过800名学生.根据以上条件可以列出方程组求解；（2）根据（1）的数据，列出方程组解答即可.【解答】解：（1）设平均每分钟一道正门可通过 x名学生，一道侧门可以通过y 名学生.则肝2656。解得严Q答：平均每分钟一道正门可通过120名学生，一道侧门可以通过80名学生；（2）设该栋大楼正门有m道，侧门有n道，则口一 b解得国故该栋大楼正门有2道，侧门有3道.【点评】考查了二元一次方程组的应用，解题关键是根据题意找出合适的等量关 系，列出方程组，再求解.2b43,3b+5己2以二4c满足14. （10分）在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点A的坐标为（-a, a）, a *0,点B的坐标为（b, c）, a, b,（1）用a表示b与c；A、B的坐标.（2）若b>c-5,且c为正整数，求点【