苏科版九年级数学上册一元二次方程 典型例题解析学生用

1、【培优提高训练】苏科版九年级数学上册 第一章 一元二次方程 典型例题解析一、解答题1.解方程：（1）2x2+x3=0（用公式法）（2）（x1）（x+3）=12 2.已知 , 是关于x的一元二次方程 x2+(2m+3)x+m2=0 的两个不相等的实数根，且满足 1+1=-1 ，求m的值. 3.已知关于x的方程x2（k+1）x+14k2+1=0有两个实数根（1）求k的取值范围；（2）若方程的两实数根分别为x1、x2 ， 且满足|x1|+|x2|=4x1x25，求k的值 4.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0.（1）当m=3时，判断方程的根的情况；（2）当m=3时，求方程的根. 5.已知关于

2、x的一元二次方程x2ax+2=0的两实数根x1、x2满足x1x2=x1+x22（1）求a的值；   （2）求出该一元二次方程的两实数根 6.若x1、x2是关于x一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=-ba ， x 1x2=ca ， 把它们称为一元二次方程根与系数关系定理已知x1、x2是关于x的一元二次方程x22（m+1）x+m2+5=0的两个实数根（1）若（x11）（x21）=28，求m的值（2）已知等腰ABC的一腰长为7，若x1、x2恰好是ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长 7.已

3、知关于x的一元二次方程x2（2m+3）x+m2+2=0（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1、x2 ， 且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值 8.某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查发现：在一段时间内，当销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具若商场要获得10000元销售利润，该玩具销售单价应定为多少元？售出玩具多少件？ 9.已知a、b、c为三角形三个边， +bx（x-1）= -2b是关于x的一元二次方程吗？ 10.如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，

4、在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且ABAD）（1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB； （2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？ 11.某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件，每件获利40元。为了迎接“六一”儿童节和扩大销售，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价1元，则平均每天可多售出2件，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，并且尽快减少库存，那么每件童装应降价多少元？ 12.如图，四边形AB

5、CD中，ADBC，A=90°，AD=1cm，AB=3cm，BC=5cm，动点P从点B出发以1cm/s的速度沿BC的方向运动，动点Q从点C出发以2cm/s的速度沿CD方向运动，P、Q两点同时出发，当Q到达点D时停止运动，点P也随之停止，设运动的时间为ts（t0）（1）求线段CD的长； （2）t为何值时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分？ 二、综合题13.解下列方程： （1）(2x-1)2=4 （2）x2-4x+1=0 （用配方法） （3）x2+2x=4 （4）2(x-3)2=x(x-3) 14.如图所示，在长和宽分别是 、 的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为 的正方形（1

6、）用 ， ， 表示纸片剩余部分的面积； （2）当 6， 4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求剪去的正方形的边长 15.已知关于x的一元二次方程x2+2x+a=0， （1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根； （2）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围 16.商场购进某种新商品的每件进价为120元，在试销期间发现，当每件商品的售价为130元时，每天可销售70件；当每件商品的售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，据此规律，请回答下列问题 （1）当每件商品的售价为140元时，每天可销售_件商品，商场每天可盈利_元； （2）设销售价定为x元时，商品每天可销售_件

7、，每件盈利_元； （3）在销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少时，商场每天盈利达到1500元 17.某服装批发商计划以每件500元的单价对外批发销售某种品牌的羽绒服，由于临近换季，为了尽快清仓，回收资金，对价格经过两次下调后，以每件320元的单价对外销售 （1）求平均每次下调的百分率； （2）请按此调幅，预测第三次下调后的销售单价是多少元？ 18.已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（ac）=0，其中a、b、c分别为ABC三边的长 （1）如果x=1是方程的根，试判断ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC的形状，并说明理由； （3）如果ABC

8、是等边三角形，试求这个一元二次方程的根 19.随着某市养老机构（养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等）建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加 （1）该市的养老床位数从2019年底的2万个增长到2019年底的2.88万个，求该市这两年（从2019年度到2019年底）拥有的养老床位数的平均年增长率； （2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间（1个养老床位），双人间（2个养老床位），三人间（3个养老床位），因实际需要，单人间房间数在10至30之间（包括10和30），且双人间的房间数是单人间的2倍，设规划建造单人间的房间数为

9、t若该养老中心建成后可提供养老床位200个，求t的值；求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？ 20.已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；过点P作直线PFAD，PF交CD于点F，过点F作EFBD，且与AD、BD分别交于点E、Q；连接PE，设点P的运动时间为t（s）（0t10）DGGE=HCAH 解答下列问题： （1）填空：AB=_ cm； （2）当t为何值时，PEBD； （3）设四边形APFE的面积为y（cm2）求y与t之间的函数关系式；若用S表示图形

10、的面积，则是否存在某一时刻t，使得S四边形APFE= 825 S菱形ABCD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由 21.已知关于x的一元二次方程 有两个非零实数根 （1）求m的取值范围； （2）两个非零实数根能否同为正数或同为负数？若能，请求出相应的m的取值范围，若不能，请说明理由 22.为了巩固全国文明城市建设成果，突出城市品质的提升，近年来，我市积极落实节能减排政策，推行绿色建筑，据统计，我市2019年的绿色建筑面积约为950万平方米，2019年达到了1862万平方米若2019年、2019年的绿色建筑面积按相同的增长率逐年递增，请解答下列问题： （1）求这两年我市推行绿色建筑面积的年

11、平均增长率； （2）2019年我市计划推行绿色建筑面积达到2400万平方米如果2019年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2019年我市能否完成计划目标？ 答案解析部分一、解答题1.【答案】解：（1）2x2+x3=0（用公式法）a=2，b=1，c=3b24ac=250x=-1±254x1=1,x2=-32；（2）化为一般形式，得：x2+2x15=0（x+5）（x3）=0（x+5）=0或（x3）=0x1=5，x2=3 2.【答案】解：方程有两个不相等的实数根， =(2m+3)2-4m2>0 ，解得： m>-34 ，依题意得： +=-(2m+3)，=m2 ， 1+1=+=-(

12、2m+3)m2=-1 .解得： m1=-1，m2=3 ，经检验： m1=-1，m2=3 是原方程的解， m>-34 ， m=3 . 3.【答案】解：（1）原方程有两个实数根，=（k+1）24（14k2+1）=2k30解得：k32；（2）k32，x1+x2=k+10又x1x2=14k2+10，x10，x20，|x1|+|x2|=x1+x2=k+1|x1|+|x2|=4x1x25，k+1=4（14k2+1）5，k2k2=0，k1=1，k2=2，又k32，k=2 4.【答案】解：（1）当m=3时，=b2-4ac=22-4×3=-80，原方程无实数根；（2）当m=-3时，原方程变为x2

13、+2x-3=0，（x-1）（x+3）=0，x-1=0，x+3=0，x1=1，x2=-3 5.【答案】解：（1）x1+x2=a，x1x2=2，又x1x2=x1+x22，a2=2，a=4；（2）方程可化为x24x+2=0，（x2）2=2，解得：x2=2 或x2=2，x1=2+2，x2=22 6.【答案】解：（1）x1、x2是关于x的一元二次方程x22（m+1）x+m2+5=0的两个实数根，x1+x2=2（m+1），x1x2=m2+5，（x11）（x21）=28，即x1x2（x1+x2）+1=28，m2+52（m+1）+1=28，解得：m=4或m=6，当m=4时原方程无解，m=6；（2）当

14、等腰三角形的腰长为7时，即方程的一个解为7，将x=7代入原方程得：4914（m+1）+m2+5=0，解得：m=10或m=4，当m=10时，方程为x222x+105=0，解得：x=7或x=15，7+715，不能组成三角形；当m=4时，方程为x210x+21=0，解得：x=3或x=7，此时三角形的周长为：7+7+3=17 7.【答案】解：（1）关于x的一元二次方程x2（2m+3）x+m2+2=0有实数根，0，即（2m+3）24（m2+2）0，m112；（2）根据题意得x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，x12+x22=31+|x1x2|，（x1+x2）22x1x2=31+|x1x2|，即（2

15、m+3）22（m2+2）=31+m2+2，解得m=2，m=14（舍去），m=2 8.【答案】解：设该玩具的销售单价应定为 x 元根据题意，得  (x-30)600-10(x-40)=10000解得 x1=50,x2=80当 x=50 时， 600-10(x-40)=500 件，当 x=80 时， 600-10(x-40)=200 件.答：该玩具的销售单价定为 50 元时，售出500件；或售价定为 80 元时售出200件. 9.【答案】是 10.【答案】（1）解：AD+BC-2+AB-2=40，AD=BC=x，AB=-2x+44；（2）解：由题意得，（-2x+44）x=192，即2x2

16、-44x+192=0，解得x1=6，x2=16，x2=16 443 （舍去），AD=6，AB=-2×6+44=32答：AD长为6米，AB长为32米 11.【答案】解：设每件童装应降价x元，由题意得：（40-x）（20+2x）=1200，解得：x1=20，x2=10，当x=20时，20+2x=60（件），当x=10时，20+2x=40（件）， 60>40， x2=10舍去.答：每件童装应降价20元. 12.【答案】（1）解：如图1，作DEBC于E，则四边形ADEB是矩形BE=AD=1，DE=AB=3，EC=BCBE=4，在RtDEC中，DE2+EC2=DC2

17、， DC= DE2+CE2 =5厘米；（2）解：点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒，运动时间为t秒，BP=t厘米，PC=（5t）厘米，CQ=2t厘米，QD=（52t）厘米，且0t2.5，作QHBC于点H，DEQH，DEC=QHC，C=C，DECQHC， DEQH = DCQC ，即 3QH = 52t ，QH= 65 t，SPQC= 12 PCQH= 12 （5t） 65 t= 35 t2+3t，S四边形ABCD= 12 （AD+BC）AB= 12 （1+5）×3=9，分两种情况讨论：当SPQC：S四边形ABCD=1：3时， 35 t2+3t= 13 ×9，即t

18、25t+5=0，解得t1= 5-52 ，t2= 5+52 （舍去）；SPQC：S四边形ABCD=2：3时， 35 t2+3t= 23 ×9，即t25t+10=0，0，方程无解，当t为 5-52 秒时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分 二、综合题13.【答案】（1）解：(2x-1)2=4，2x-1=2或2x-1=-2，x1= 32 ，x2=- 12 ， （2）解：x2-4x+1=0，x2-4x+4=-1+4，（x-2）2=3，x1= 2+3 ， x2= 2-3 ， （3）解：x2+2x=4，x2+2x+1=4+1，（x+1）2=5，x1=-1+ 5 ，x2=-1- 5 ，

19、 （4）解：2 ( x 3 ) 2 = x ( x 3 )，（x-3）【2（x-3）-x】=0，（x-3）（x-6）=0，x1=3，x2=6， 14.【答案】（1）解：纸片剩余部分的面积为： ，（2）解：当a6，b4时，根据题意有： ， ， 即 ，剪去的正方形的边长 15.【答案】（1）解：将 x=1 代入方程 x2+2x+a=0.得， 1+2×1+a=0，解得: a=-3.方程为 x2+2x-3=0. 设另一根为 x1,则 1x1=-3,x1=-3.（2）解： 44a，方程有两个不等的实根，>0,即 44a>0，a<1. 16.【答案】（1）60；120（2）20

20、0x；x120（3）解：根据题意得：（200x）（x120）=1500， 整理得：x2320x+25500=0，解得：x1=150，x2=170答：每件商品的销售价定为150元或170元时，商场每天盈利达到1500元 17.【答案】（1）解：设平均每次下调的百分率为x由题意，得500（1x）2=320解这个方程，得x1=0.2，x2=1.8（不符合题意），符合题目要求的是x1=0.2=20%答：平均每次下调的百分率是20%（2）解：预计第三次下调后的销售单价为320（120%）=320×0.8=256，答：平均每次下调的百分比为20%，预计第三次下调后的销售单价为256元 18.【答

21、案】（1）解：（1）ABC是等腰三角形；理由：x=1是方程的根，（a+c）×（1）22b+（ac）=0，a+c2b+ac=0，ab=0，a=b，ABC是等腰三角形；（2）解：方程有两个相等的实数根，（2b）24（a+c）（ac）=0，4b24a2+4c2=0，a2=b2+c2 ， ABC是直角三角形；（3）解：当ABC是等边三角形，（a+c）x2+2bx+（ac）=0，可整理为：2ax2+2ax=0，x2+x=0，解得：x1=0，x2=1 19.【答案】（1）解：设该市这两年（从2019年度到2019年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，由题意可列出方程：2（1+x）2=2.88

22、，解得：x1=0.2=20%，x2=2.2（不合题意，舍去）（2）解：设规划建造单人间的房间数为t（10t30），则建造双人间的房间数为2t，三人间的房间数为1003t，由题意得：t+4t+3（1003t）=200，解得：t=25答：t的值是25设该养老中心建成后能提供养老床位y个，由题意得：y=t+4t+3（1003t）=4t+300（10t30），k=40，y随t的增大而减小当t=10时，y的最大值为3004×10=260（个），当t=30时，y的最小值为3004×30=180（个） 20.【答案】（1）10（2）解：在菱形ABCD中，ABCD，ADB=CDB，又PFAD，四边形APFD为平行四边形，DF=AP=t，又EFBD于Q，且A