4协方差及相关系数ppt课件

1、课件制作：应用数学系概率统计课程组概率论与数理统计概率论与数理统计4.4 4.4 协方差及相关系数协方差及相关系数4.4.1 4.4.1 协方差及相关系数的定义协方差及相关系数的定义4.4.1 4.4.1 协方差及相关系数的性质协方差及相关系数的性质问题问题 对于二维随机变量对于二维随机变量(X ,Y ):已知联合分布已知联合分布边缘分布边缘分布 这说明对于二维随机变量，除了每个随机变量各自的概率特性以外，相互之间可能还有某种联系. 问题是用一个什么样的数去反映这种联系. )(EYYEXXE 数数反映了随机变量反映了随机变量X ,Y 之间的某种关系之间的某种关系定义定义 称称)()(YEYXE

2、XE为为X ,Y 的协方差的协方差. 记为记为)()(),cov(YEYXEXEYX称称)(),cov(),cov()(YDYXYXXD为为X , Y ）的协方差矩阵）的协方差矩阵4.4.1 4.4.1 协方差及相关系数的定义协方差及相关系数的定义cov( , )()X YE XYEX EY若D (X ) 0, D (Y ) 0 ,称)()(),cov()()()()(YDXDYXYDXDYEYXEXE为X ,Y 的 相关系数，记为)()(),cov(YDXDYXXY假设, 0XY 称 X ,Y 不相关.协协方方差差的的性性质质：),(),()1(XYCovYXCov 为常数为常数baXYCo

3、vabbYaXCov,),(),()2( ),(),(),()3(2121YXCovYXCovYXXCov 4.4.2 4.4.2 协方差及相关系数的性质协方差及相关系数的性质相相关关系系数数的的性性质质：1|)1( XY 则则若若,)2(baXY 1010XYXYaa ，时时，时时1)(1)3( baXYPXY 0,)4( XYYX 则则相相互互独独立立若若注注: :程度程度之间的线性关系的密切之间的线性关系的密切的大小反映了的大小反映了YXXY, 之之间间无无线线性性关关系系时时YXXY,0 之之间间具具有有线线性性关关系系时时YXXY,1 不相关不相关与与YX0 XY 0),( YXCo

4、vEXEYXYE )(注注: :显然显然相关相关YXXY,0 YXXY,0 不相关不相关YXXY,0 正相关正相关YXXY,0 负相关负相关),1(完完全全正正相相关关YXXY ),1(完全负相关完全负相关YXXY 独独立立YX,独独立立不不相相关关不不一一定定有有YXYX,协方差的性质q )()()(),cov(),cov(YEXEXYEXYYXq q q q ),cov(),cov(YXabbYaX),cov(),cov(),cov(ZYZXZYX)(),cov(XDXX)()(| ),cov(|2YDXDYX当D(X ) 0, D(Y ) 0 时，当且仅当1)()(0XEXtYEYP时，

5、等式成立 Cauchy-Schwarz不等式协方差和相关系数的性质回顾协方差和相关系数的性质回顾证证 5 令令2)()()(XEXtYEYEtg)(),cov(2)(2XDtYXtYD0)(tg对任何实数对任何实数 t ,0)()(4),(cov42YDXDYX即即)()(| ),cov(|2YDXDYX等号成立等号成立0)(tg有两个相等的实零点有两个相等的实零点)()()(),cov(0XDYDXDYXt0)(0tg0)()(20XEXtYEYE即即又显然又显然0)()(0XEXtYEYE0)()(0XEXtYEYD10)()(0XEXtYEYP10)()(0XEXtYEYP即1)()(0

6、XEXtYEYP即Y 与X 有线性关系的概率等于1，这种线性关系为1)()()()(XDXEXYDYEYP完全类似地可以证明完全类似地可以证明)()()(222YEXEXYE当当E(X 2) 0, E(Y 2 ) 0 时，当且仅当时，当且仅当1)(0XtYP时，等式成立时，等式成立 利用函数的期望或方差计算协方差利用函数的期望或方差计算协方差q 假设假设 ( X ,Y ) 为离散型，为离散型，ijijjipYEyXExYX11)()(),cov(q 假设假设 ( X ,Y ) 为连续型，为连续型， dxdyyxfYEyXExYX),()()(),cov(协方差和相关系数的计算协方差和相关系数的

7、计算q )()()(),cov(YEXEXYEYX)()()(21YDXDYXD 1 0 p qX P 1 0 p qY P 求求 Cov (X ,Y ), XY 知知 X ,Y 的联合分布为的联合分布为XY 1 010 p 0 0 q0 p 1p + q = 1解解: 1 0 p qX Y P 例例4.4.14.4.1pqDYpqDXpEYpEX ,pXYE )(1),()(),( DYDXYXCovpqEXEYXYEYXCovXY 由由是是否否相相互互独独立立？说说明明理理与与问问）（是是否否相相关关？与与并并问问的的协协方方差差和和相相关关系系数数，与与求求和和方方差差的的期期望望求求的

8、的概概率率密密度度函函数数为为设设XXXXXXDXEXXxexfXx3)2()1(),(,21)( dxexEXx 21)1(0 例例4.4.24.4.2解解:22)(EXEXDX 0212 dxexxdxexx 022122 XEEXXXEXXCov )(),()2(021 dxexxx0 XDDXXXCovXX),( 0 不不相相关关与与所所以以XX独独立立性性由由其其定定义义来来判判断断)3(),()(, 0aXaXa 事事件件对对于于任任意意的的常常数数因因此此有有且且, 1)(, 0)( aXPaXP)(),(aXPaXaXP )()()(aXPaXPaXP )()(),(aXPaX

9、PaXaXP 所所以以不不独独立立与与故故XX的的联联合合密密度度函函数数求求相相互互独独立立时时，当当是是否否相相关关？是是否否独独立立？，问问的的相相关关系系数数与与求求又又正正态态分分布布都都服服从从是是相相互互独独立立的的随随机机变变量量和和设设),(,)3()2()1(,), 0(,2 bYaXbYaXNYX ), 0(, ), 0()1(22 NYNX2, 0 DYDXEYEX)(bYaXEE bEYaEX 0 )(bYaXEE bEYaEX 0 例例4.4.34.4.3解解:也也相相互互独独立立所所以以相相互互独独立立已已知知bYaXYX,故故有有)(bYaXDD DYbDXa2

10、2 222)( ba )(bYaXDD DYbDXa22 222)( ba )()(2222YbXaEE 2222EYbEXa 222)( ba DDCov),( 所所以以 DDEEE )(2222baba 0)2( 时时，当当ba不相关不相关 ,0 时时，当当ba相关相关 ,的的线线性性组组合合为为独独立立都都服服从从正正态态分分布布且且相相互互由由于于YXYX, )(0(,222 baN ，都都服服从从正正态态分分布布所所以以不不相相关关与与独独立立是是等等价价的的在在正正态态分分布布中中,时时当当所所以以ba 独独立立 ,时时当当ba 不独立不独立 ,)2 , 0(,)3(2222 aN

11、ba正正态态分分布布都都服服从从即即相相互互独独立立时时当当 22222221)( aseasf 22222221)( ateatf 222242241),( atseatsf 所所以以q 0XYX , Y 不相关不相关0),cov(YX)()()(YEXEXYE)()()(YDXDYXDX , Y 相互独立相互独立X , Y 不相关不相关假设假设 X , Y 服从二维正态分布，服从二维正态分布，X , Y 相互独立相互独立X , Y 不相关不相关 X X和和Y Y独立时，独立时， =0=0，但其逆不真，但其逆不真. .由于当由于当X X和和Y Y独立时，独立时，Cov(X,Y)= 0.Cov(X,Y)= 0.故故)()(),(YDXDYXCov= 00但由但由并不一定能推出并不一定能推出X X和和Y Y 独立独立. .请看下例.例例4.4.4 4.4.4 设设X X服从服从(-1/2, 1/2)(-1/2, 1/2)内的均匀分内的均匀分布布, ,而而Y=cos X,Y=cos X,（请课下自行验证）（请课下自行验证）因此因此