相信我们对平面几何中及面积平分并不陌生,我们及发现就是从中延伸开来及

1、由三角形面积平分想到的-过平面上一点平分三角形面积方法探究陈易 陈若琳 相信我们对平面几何中的面积平分并不陌生，生活中也有很多类似的应用。比如要用一条直线平分一个三角形的面积，这其中也蕴涵了许多数学知识。我们的发现就是从中延伸开来的。首先，我们从一道分地题谈起。问题1:如图(1)是一片可近似看作三角形的土地，P是BC边上的一根木桩。现要在另外两边上找一点插上另一根木桩，使得两木桩所在的直线能将这块地分成面积相等的2份，如何确定这条分界线呢？ 图(1)三角形面积的平分使我们想到了中点，若在BC上取中点D，则中线AD将ABC面积平分，可现在P不是中点。假设存在一点E，显然E在AC上（假设点P在BD

2、之间），为了使SCEP=SABC,只需SAOE=SPOD即可，即SAPD=SAPE，要解决这一问题，只需APED。于是，我们总结出方法如下(见图2)：1. 取BC中点D，连接AD。2. 连接AP，过点D作AP平行线交AC于点E3. 连接PE，则PE就是所作的平分线。上题中,PC,CE,BC,AC始终满足关系式CP·ECAC·DCAC·BC 图（2） 问题2:倘若已知点位于三角形内部,如何过这一点作一条直线平分三角形的面积呢? 为了继续研究这个问题，我们做了如下图形:如图(3)，ABC中，P为三角形内任意一点，求作过点P的直线能平分ABC的面积。我们先假设存在一条过

3、P的直线HM平分ABC的面积(如图4)，取AC中点D 图(3)则由上题可知只需HC·MCAC·BCCD·BC图(4) T由图可知直接得到上述结论确实十分困难，便想到可用转换的思想寻找突破口,即寻找另外两条线段的乘积进行转换。由BC与CD的乘积以及点P在三角形的内部，又因为有一个顶点C，所以我们想到了连接PC、PD，紧接着试着做了个与DCP相似的ECB(图5)则DC·BC=CE·PC图(5)所以接下来的任务只需说明CE·PCCH·CM 即成立由于前面已经有DCPECB 所以只要HCPECM成立则一切就成立为了证明相似成立，只要

4、说明HPCEMC即可由于HPCPMC+PCM 所以只要EMHPCM即可由DCPECB可知DCEPCM所以接下来的任务就是使EMHDCE图(6)图(7)如何使这两个角相等呢？回顾以往知识，使角相等的方法有平行线，同弧所对的圆周角等。于是过P作AC的平行线交CE的延长线于Q.(如图6)所以EQP=DCE只需EQP =EMH即可因而我们想到同弧所对的圆周角相等，只需Q，E，P，M四点共圆，所以作QEP的外接圆交BC于M,连接MP并延长交AC于H，则HM为所求直线。将以上思路进行梳理，我们得出作法如下(如图7)：1、取AC中点D，连接PD，PC2、作BECPDC3、过P作AC的平行线交CE延长线于Q4

5、、作QEP的外接圆交BC于M5、连接MP延长交AC于H.则HM为所求直线正当我们以为大功告成时，大家在尝试中却遇到了另一个问题，就是在有些情况下MP的连线往往无法与AC相交（如图8）或圆无法与BC相交，这样的话，那么之前所做的一切都会被推翻。那么，这是否就意味着之前的做法就是失败的？我们不甘心，便继续做着尝试，很快我们发现直线MP有时的确是不能和AC相交，但这是取决于你所取的中点的位置。图(8)在多次实验中我们发现，取不同边的中点，那么与圆相交的边也不同，结果也不同。但可以确定的是，三条边的三个中点中，肯定有一个中点是能够作出如上的图形的。 然而，我们在解决了上述问题后，又遭遇了一个漏洞，倘若

6、P点在三角形三条角平分线的交点（如右图9），即内心，那该怎么办呢？ 这种情况下，过P作AC的平行线与CE交点便是P，无法作出Q点，我们小组针对该问题展开了讨论。图(9) 如图，若P点为内心，假设存在MQ为平分线(如图9)，我们所要证明的是CEMCQP即可。已知ECMQCP，只要满足MECCQM，换言之，只要满足E，M，Q，C四点在同一个圆内，问题就解决了，但由于时间仓促以及我们能力的有限，我们暂时还无法想出操作的方法。我们可以确定的是P点为三角形的内心时这样的平分线存在，但我们无法作出这条线。在解决了P在三角形内的情况后，我们很快便将目光注意到了P在三角形外的这一种情形：问题3:如图(10)，

7、P是ABC外的一点，求作过P的一条直线平分ABC的面积。从上题受到启发，我们同样是假设过P的直线MQ平分三角形面积，取AC中点D(如图11)图(10)则CQ·CMAC·BCCD·BC我们再次联系到相同的相似，连接PC、PD，作NBCDPC(如图12)CD·BCNC·CP可推知CQ·CMNC·CP 又NCMDCP图(11)所以只要NMCQPC即可如法炮制，我们抱着试试看的心态过P作了AC平行线交NC延长线于H(如图11)，交BC于T。作NPH的外接圆交BC于M，PM延长线交AC于Q(如图12)图(12)可知QPTMNC (圆内

8、接四边形的性质)又CQPQPTCQPCNMCQPCNMQC·CMCP·CNCQ·CBAC·BCSQCMSABCQM就是所求作直线.图(12)当然，类似的，这种情况也存在作出的直线与AC不相交的情况，对此，我们的解决方案也和上题一样，采用换一条边取中点的方法便能很好解决问题。我们又忽然想到，既然D为AC中点可以作出一个三角形面积为原三角形的一半，是不是可以当=，SQCM=SABC。相应的，做法如下：1、取AC一点D，使得=，连接PD，PC2、作BECPDC3、过P作AC的平行线交CE延长线于Q4、作QEP的外接圆交BC于M5、连接MP延长交AC于H，则HM为所求直线 （类似的问题解决方案与上一样，不再赘述） 由此我们得出结论：对于平面上任意一点P，可以作