固定收益证券分析第三章

1、第三章 债券价格的利率敏感性3.1 什么是债券价格的利率敏感性假设市场上只存在一个利率水平y。债券价格的变化就是市场利率变化的一元函数22211( )().().2! nnndBd Bd BB yyyydydyn dy 222( )111().().2! nnnB ydBd Bd ByyyBB dyB dynB dy第三章 债券价格的利率敏感性3.2久期 久期最早由美国经济学家麦考利（Frederick Macauley,1938）于1938年提出，被称为麦考利久期或传统久期。3.2.1久期对债券现金流发生时间的度量麦考利久期1938年，麦考利将债券各期现金流的现值与债券现金流总现值（也就是债

2、券的当前价格或者市场价值）的比重作为权重，通过该权重对收回现金流的时间进行加权平均，所计算的结果作为人们投资债券收回现金流所需要的平均时间，并将这个“平均时间”定义为债券的久期（duration，用D代表）。TtttByctD1)1 (第三章 债券价格的利率敏感性【例子3-1】当前利率是5%。某国债的信息是“3y-5%100”。试计算其久期这里的2.859后面的单位是时间（年），表示理论上投资这一债券2.859年后收回债券本息。由于计算结果的单位是半年，所以要转化成年单位。“半年久期”除以2就转换成年久期：DS/2=D。859. 2100%)51 (1053100%)51 ( 52100%)5

3、1 ( 51321DTtttSByctD1)2/1 (第三章 债券价格的利率敏感性【案例3-1】2013年2月28日，张三想计算05国债（1）的久期，以便估算该债券价格利率敏感性的大小。他查阅该债券的情况是“2y-4.44%2.31%（s.a.）”。第一步：根据到期收益率可以计算当前时刻债券的理论价格（也可以直接用市场价格，此时，该步骤可以省去。）第二步：依据公式3-4计算债券的半年久期第三步：将半年久期转化成年久期。3.874/2=1.937，即该债券的久期为1.937。零息债券在到期日之前没有部分现金流的提前归还，所以其麦考利久期就等于它的剩余期限。2342.222.222.22102.2

4、2104.13982.31%2.31%2.31%2.31%(1)(1)(1)(1)2222tB 12342.22*(12.31%/ 2)2.22*(12.31%/ 2)1*2*104.1398104.13982.22*(12.31%/ 2)102.22*(12.31%/ 2) 3*4*3.874104.1398104.1398D第三章 债券价格的利率敏感性3.2.2 久期对利率敏感度的度量修正久期然后对利率求导，得出两边除以B，得到tTttycB11 tTttttTtytcyyctdydB111)1 (11)1 ()(DyByctyBdydBnttt11)1 (1111dydBByD1)1 (

5、)1 (1yydBdBdydBByD第三章 债券价格的利率敏感性修正久期（modified duration，用Dm表示）的公式。修正久期是一定利率变化情况下债券价格的变化率。改写上式，债券价格的变动率是修正久期与利率变动量的乘积。比如某债券的修正久期是2.7，表明当利率下降（上涨）1%时，债券价格将上涨（下降）2.7%。dydBBDm1dyDBdBm第三章 债券价格的利率敏感性【例子3-2】某债券价格为108.1757元，修正久期是7.92，如果利率上涨10个基点，债券的价格变动如何？该债券价格的变动率是-7.920.001=-0.792%，转换成绝对变动额的形式，就是下降0.792%108

6、.1757=0.857（元）。【案例3-2】延续前面【案例3-1】的例子，2013年2月28日计算的05国债（1）的久期为3.874，当前的年化到期收益率为2.31%，半年期的到期收益率为2.31%/2=1.155%，故其修正久期Dm=3.874/(1+1.155%)=3.83。其年化的修正久期为3.83/2=1.915。如果年化到期收益率上涨10个基点，该债券价格将下降约1.915*0.001=0.1915%，即下降0.1915%*104.1398=0.1994元。第三章 债券价格的利率敏感性3.2.3 影响久期的因素从计算公式看出，债券久期由票面利率、剩余期限和到期收益率决定。下面我们就具

7、体分析这三个因素对久期的影响。3.2.3.1 债券票息率对久期的影响票息率与久期是反向关系高票息债券的久期小，低票息债券的久期大。先在两边取对数，然后对利率y求导数，得到)1 ()1 (1)/(1TTTTyyBcyBByyBcyBcyTyDTTT 1)1)(/()1 ()/(11第三章 债券价格的利率敏感性如果其他因素保持不变，当票息率（c/BT）增大时，债券久期变小，当票息率（c/BT）变小时，债券久期变大。图3-1 久期与票面利率第三章 债券价格的利率敏感性3.2.3.2 债券剩余时间对久期的影响 对于溢价债券来说，债券剩余时间越长，久期越大，剩余时间越短，久期越小。图3-2 久期与债券剩

8、余期限第三章 债券价格的利率敏感性3.2.3.3 债券到期收益率对久期的影响到期收益率反向影响久期，即到期收益率越大，久期越小，到期收益率越小，久期越大。该反向影响的关系也可以通过久期公式对到期收益率的求导来展现，图3-3 久期与到期收益率第三章 债券价格的利率敏感性3.2.4 其他的久期种类3.2.4.1 债券组合的久期【例子3-3】某投资者拥有下面的投资组合，见表3-1。该债券组合的到期收益率为5%，计算组合的久期与修正久期。1,)()(,11njjjjnjjjpXyPyBXDXD简称交易方向久期市值占比02国债(3)做多2.372340%05国债(1)做多4.719525% 05国债(1

9、2)做多8.844035%表3-1 三只国债组成的投资组合（组合到期收益率5%）第三章 债券价格的利率敏感性该组合的久期与修正久期分别是债券市场可以做空债券，即先卖出不持有的债券，然后买进。这样以来，空头债券的久期的符号要与多头债券的久期的符号相反。组合权重相加的结果也不一定等于100%。22. 58440. 8%357195. 4%253723. 2%401njjjpDXD97. 4%5122. 51pppmyDD第三章 债券价格的利率敏感性【例子3-4】 其他条件与前例一样，只是把其中的一只债券改为做空的债券（即“空头”），就产生了下面的债券组合，见表3-2。该组合的久期和修正久期分别为简

10、称交易方向久期市值占比02国债(3)做多2.372340%05国债(1)做空4.719525% 05国债(12)做多8.844035%表3-2 三只国债组成的可以做空的投资组合（组合到期收益率5%）86. 28440. 8%357195. 4%253723. 2%401njjjpDXD72. 2%5186. 21pppmyDD第三章 债券价格的利率敏感性3.2.4.2 近似久期（或有效久期）方法是：第一，记录当前债券的价格（B0）与收益率。第二，让收益率下降一个比较小的幅度，得到稍高的债券价格Bup，再让收益率上涨一个同样的幅度，得到一个较低的债券价格Bdown。收益率y下降与上升的幅度用y表

11、示。第三，按照下式计算久期。把上面的式子换个写法，有助于我们对该式的理解上式是个分数。分子中方括号里的内容代表“价格变化率”，它除以2代表“价格对平均值的偏离”。所以，公式的意思是：当收益率发生变动时，债券价格发生变动的程度。这显然符合修正久期的定义。02ByBBDdownupAyBBBDdownupA2/ )(0第三章 债券价格的利率敏感性【例子3-5】 某债券当前价格为100元，当收益率下降0.1%时，债券价格为100.24元，当收益率上涨0.1%时，债券价格为99.78元，求债券的近似久期。【案例3-3：近似久期的“精确度”有多高？】2013年7月1日，张三想计算一下案例3-1中的“05

12、国债（1）”的近似久期，并且与该债券当天的久期对比一下，看看误差有多少。当天，该债券的到期收益率为2.9033%，价格为103.9784，久期是1.502。当天距上一个付息日的天数d为123天，所在计息区间包含的天数为181天。假设该债券在当日的到期收益率分别上下浮动0.01%。我们可以计算得到：3 . 2100001. 0278.9924.100AD第三章 债券价格的利率敏感性根据公式得到近似久期为：12312312181181123123341811812.222.22(1 (2.9033% 0.01%)/2)(1 (2.9033% 0.01%)/2)2.22102.22 (1 (2.90

13、33% 0.01%)/2)(1 (2.9033% 0.01%)/2) 103.9948upB12312312181181123123341811812.222.22(1 (2.9033% 0.01%)/2)(1 (2.9033% 0.01%)/2)2.22102.22 (1 (2.9033% 0.01%)/2)(1 (2.9033% 0.01%)/2) 103.962downB103.9947728 103.96203591.5742*0.01%*103.9784026AD第三章 债券价格的利率敏感性3.2.4.3 金额久期金额久期（或美元久期）是给定收益率变动量条件下债券价格变动的绝对额。把

14、债券价格变动率的式子（3-10）两边同乘以债券价格，就可得到债券价格变动的绝对量上式等号右边的前两项就是金额久期，它的公式是yBDdBmBDDmdyDdBd第三章 债券价格的利率敏感性【例子3-6】当前利率是5%。某国债的信息是“3y-5%100”，久期为2.859。试计算其金额久期，并计算当收益率上升0.3%时债券价格的绝对损失额。由于其修正久期为2.859/（1+5%）=2.72，所以金额久期是当收益率上涨0.3%时，（市值为100的）债券价格的损失额是27210072. 2dD816. 0003. 0272dB第三章 债券价格的利率敏感性3.3 基点值基点值同久期一样，在市场上也被普遍用

15、作测量债券利率敏感度的工具。一个基点是0.01%，当一个百元面值（也可以是百万面值的债券组合）的债券在收益率上涨或下降一个基点时，债券价格的绝对变动额就是该债券的基点值。用来表示基点值的符号有DV01（the dollar value of an “01”），PVBP（present value of a basis point），BPV（BPV：basis point value）等等，它们说的是都是某个债券基点值的意思。基点值越大，表示债券价格针对利率的敏感度越高。它的计算公式是或者上式表明，“基点值”其实就是金额久期乘以1个基点后的数值。【例子3-7】当前利率是5%。某国债的信息是“3y

16、-5%100”，修正久期为2.72。试计算其基点值。0001. 0BDPVBPm0001. 0dDPVBP0272. 00001. 010072. 2PVBP第三章 债券价格的利率敏感性3.4 凸性 222( )111().().2! nnnB ydBd Bd ByyyBB dyB dynB dy222)(21)(ydyBdyDByBmdyDBdBm图3-4 到期收益率等量变化对债券价格的影响示意图第三章 债券价格的利率敏感性3.4.1 凸性的概念与计算凸性（convexity，用Con表示）即债券价格曲线的曲率，反映了该曲线的弯曲程度，是债券价格对收益率变动的二阶敏感性指标，即式（3-24）

17、等号右边的第二项（把1/2去掉）。价格曲线弯曲的程度越大，凸性就越大。凸性的公式是凸性是债券价格对收益率的二阶导数再除以债券价格。普通债券的凸性是正数。ttTtycttyBdyBdBdydBdydBCon)1 ()1 ()1 (1111222第三章 债券价格的利率敏感性【例子3-8】某国债的信息是“10-6%6.5%”。请计算这个债券的凸性。计算过程见下表。tctct(1+y)-tt(1+t) ct(1+y)-t165.6311.27265.2931.74364.9759.61464.6693.28564.38131.38664.11172.7763.86216.22863.63261.039

18、63.40306.3710656.476211.59加总96.417495.18表3-3 计算凸性的中间步骤根据上表计算的结果，代入凸性计算公式以后，得到凸性的单位是时间的平方，一般情况下为年的平方。如果债券1年付息次数不是1次，则凸性的结算结果要除以付息频率的平方。如债券1年付息2次，此时m=2，则凸性的结算结果要除以4。由于存在凸性，当收益率变动时，债券价格的变动幅度受到影响。这个由凸性带来的影响被称为凸性调整。凸性调整（Acon）由下式给出54.6818.7495%)5 . 61 (41.961)1 ()1 ()1 (1212ttTtycttyBCon221yConAcon第三章 债券价

19、格的利率敏感性【例子3-9】某债券的信息是“2y-5%98”，凸性为34。如果利率上涨2%，债券价格将按照久期的预测下跌，但凸性的存在在一定程度上抵消了这个下跌的幅度。问在债券价格变化中，由凸性带来的变化有多大？凸性带来的债券价格变动是0.68%。%68. 00068. 002. 034212conA第三章 债券价格的利率敏感性近似凸性（或有效凸性，用ConA代表）的计算与近似久期类似之处，其公式是比如，某债券当前价格为103.9784026，收益率上下波动一个基点的幅度时，两个相应的债券价格分别是103.9947728和103.9620359。该债券的近似凸性是2+-2()updowntAt

20、BBBConyB2103.9947728 103.96203592*103.97840263.366(0.01%) *103.9784026ACon金额凸性（美元凸性，用ConD代表）的计算方法与金额久期类似，它代表了收益率变化对债券价格造成的绝对影响，其公式是凸性乘以债券价格。例如，某债券的信息是“2y-5%98”，凸性为34。它的金额凸性就是9834=3332。ConBConD第三章 债券价格的利率敏感性考虑凸性的因素后，债券价格变动率可以近似写成如下形式【案例3-4：05国债1的凸性计算】“05国债1”在2013年2月28日的情况是“2y-4.44%2.31%（s.a.）”，其价格是10

21、4.1398。根据式3-25，可计算该债券的凸性为考虑到该债券1年付息2次，将其转化为年化的凸性，应除以4（即付息频率的平方m2），为4.6823。21()2mBDyConyB 223412.222.22*1*2*2*3*104.1398*(1 2.31%/2)(1 2.31%/2)(1 2.31%/2)2.22102.22 +3*4*4*5* 18.7292(1 2.31%/2)(1 2.31%/2)Con第三章 债券价格的利率敏感性由此，我们可以对【案例3-2】中测算的债券价格的利率敏感性进行修正。如果到期收益率上涨0.1%，原先的的预测债券价格变动-0.1915%。考虑凸性以后，债券价格

22、的下跌幅度要按照（3-29）式子计算。%1913. 0001. 06823. 421001. 0915. 1)(22yConyDBBm市场利率债券价格债券A债券B图3-5 债券A相对于债券B的凸性大，A的价格也往往高于B第三章 债券价格的利率敏感性债券组合的凸性计算的方法与债券组合久期的计算方法相同。如果有n个债券构成一个组合，Xj是第j个债券市值占组合市值的比重，Conj是第j个债券的凸性，债券组合的凸性Conp是组合内各个债券凸性的加权平均数。1npjjjConX Con【例子3-10】某投资者拥有下面的投资组合，请计算组合的凸性该组合的凸性是简称交易方向凸性市值占比02国债(3)做多6.9240%05国债(1)做多26.1725% 05国债(12)做多93.7535%表3-4 三只国债组成的投资组合123.42%3575.93%2517.26%4092. 6pCon第三章 债券价格的利率敏感性3.5 图形引起的误导误导产生的结论包括以下几点。第一，在债券价格与收益率关系图中（见下图），债券价格曲线上各个点的斜率代表久期。第二，久期的大小可以用图形中那条切线的陡峭程度代表，直线越陡峭，表示久期越大，直线越平缓，表示久期越小。第三，债券的凸性是由图中债券价格曲线的曲率