青海大学3_4 函数的单调性与曲线的凹凸性

1、4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 10111 13.43.4函数的单调性函数的单调性与曲线的凹凸性与曲线的凹凸性一、一、 函数单调性的判定法函数单调性的判定法二、二、 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点Page 2一、一、 函数单调性的判定法函数单调性的判定法若若定理定理 1. 设函数设函数)(xf0)( xf则则 在在 I 内单调递增内单调递增)(xf, )0)( xf(递减递减) .证证: 无妨设无妨设,0)(Ixxf任取任取)(,2121xxIxx由拉格朗日中值定理得由拉格朗日中值定理得)()()(1212xxfxfxf),(21xxI0故故. )()

2、(21xfxf这说明这说明 在在 I 内单调递增内单调递增.)(xf在开区间在开区间 I 内可导内可导,证毕证毕Page 3例例1. 确定函数确定函数31292)(23xxxxf的单调区间的单调区间.解解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令令,0)( xf得得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故故)(xf的的单调增单调增区间为区间为, ) 1,();,2()(xf的的单调减单调减区间为区间为).2,1 (12xoy12Page 4yxo说明说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点也可是导数不存在的点.

3、 例如例如,),(,32xxy332xy 0 xy32xy 2) 如果函数在某驻点两边导数同号如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性则不改变函数的单调性 .例如例如,),(,3xxy23xy 00 xyyox3xy Page 5例例2. 证明证明20 x时时, 成立不等式成立不等式.2sinxx证证: 令令,2sin)(xxxf,2,0()(上连续在则xf，上可导在)2,0(2sincos)(xxxxxf)tan(cos2xxxx1xtanx0,)2,0()(内单调递减在因此xf从而从而2,0(,2sinxxx0)2()(fxf,2)(处左连续在又xf因此因此且且证证Page 6

4、* 证明证明0tanxx令令,tan)(xxx则则xx2sec1)(x2tan),0(,02x2( )( ,),0 x 在在上上递递减减从而从而( )( )00 x即即2tan0,(0,)xxx Page 7AB定义定义 . 设函数设函数)(xf在区间在区间 I 上连续上连续 ,12,xxI(1) 若恒有若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf则称则称的)(xf图形是向上图形是向上凹凹的的;(2) 若恒有若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf则称则称的)(xf连续曲线上有切线的凹凸分界点连续曲线上有切线的凹凸分界点称为称为拐点拐点 .图形是向上图形是向上凸凸的的 .yox2x1x

5、221xx yox1x221xx 2xyox二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点Page 8定理定理2.(凹凸判定法凹凸判定法)(xf(1) 在在 I 内内,0)( xf则则 在在 I 内图形是凹的内图形是凹的 ;)(xf(2) 在在 I 内内,0)( xf则则 在在 I 内图形是凸的内图形是凸的 .)(xf证证:,21Ixx利用一阶泰勒公式可得利用一阶泰勒公式可得)()(1fxf221xx !2)(1f 21)(x221xx )()(2fxf221xx )(f 221xx )(2x221xx !2)(2f 22)(x221xx 两式相加两式相加)(2)()(21fxfxf221xx 22

6、!21)(12xx )()(21ff ,0)(时当 xf),(2)()(21fxfxf221xx 说明说明 (1) 成立成立;(2)(f 221xx )(1x221xx 设函数设函数在区间在区间I 上有二阶导数上有二阶导数证毕证毕Page 9例例3. 判断曲线判断曲线4xy 的凹凸性的凹凸性.解解:,43xy 212xy 时，当0 x;0 y,0时x, 0 y故曲线故曲线4xy 在在),(上是向上凹的上是向上凹的.说明说明:1) 若在某点二阶导数为若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理根据拐点的定义及上述定理, 可得可得拐点的判别法拐点的判别法如下如下:若曲线若曲线)(xfy

7、 ,0连续在点x0)(0 xf或不存在或不存在,但但)(xf 在在 两侧两侧异号异号,0 x则点则点)(,(00 xfx是曲线是曲线)(xfy 的一个拐点的一个拐点.则曲线的凹凸性不变则曲线的凹凸性不变 .在其两侧二阶导数不变号在其两侧二阶导数不变号,xyoPage 10例例4. 求曲线求曲线3xy 的拐点的拐点. 解解:,3231xy3592 xyxy y0)0,(),0(不存在不存在0因此点因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线为曲线3xy 的拐点的拐点 .oxy凹凹凸凸Page 11xxy24362 )(3632xx例例5. 求曲线求曲线14334xxy的凹凸区间及拐点的凹凸区间及拐点.解解

8、:1) 求求y ,121223xxy2) 求拐点可疑点坐标求拐点可疑点坐标令令0 y得得,03221xx对应对应3) 列表判别列表判别271121,1yy)0,(),0(32),(32y xy0320012711故该曲线在故该曲线在)0,(),(32及及上向上凹上向上凹,向上凸向上凸 , 点点 ( 0 , 1 ) 及及),(271132均为拐点均为拐点.上在),0(32凹凹凹凹凸凸32) 1 , 0(),(271132Page 12内容小结内容小结1. 可导函数单调性判别可导函数单调性判别Ixxf,0)()(xf在在 I 上单调递增上单调递增Ixxf,0)()(xf在在 I 上单调递减上单调递

9、减2.曲线凹凸与拐点的判别曲线凹凸与拐点的判别Ixxf ,0)(上向上凹在曲线Ixfy)(Ixxf ,0)(+上向上凸在曲线Ixfy)(拐点拐点 连续曲线上有切线的凹凸分界点连续曲线上有切线的凹凸分界点Page 13思考与练习思考与练习 1 ,0上上,0)( xf则则, ) 1 (, )0(ff)0() 1 (ff或或) 1 ()0(ff的大小顺序是的大小顺序是 ( )0() 1 ()0() 1 ()(ffffA)0()0() 1 () 1 ()(ffffB)0() 1 ()0() 1 ()(ffffC)0() 1 ()0() 1 ()(ffffD提示提示: 利用利用)(xf 单调增加单调增加

10、 ,) 10()()0() 1 (fff及及B1. 设在设在Page 14 .),(21)1,(2121e2. 曲线曲线21xey的凹区间是的凹区间是凸区间是凸区间是拐点为拐点为提示提示:)21 (222xeyx ),(2121),(21及及yox)1,(2121e)1,(2121 e ; ;Page 15112xxy有位于一直线的三个拐点有位于一直线的三个拐点.3. 求证曲线求证曲线 证明：证明： y y222) 1(21xxx3223) 1() 133(2xxxx32) 1()32)(32)(1(2xxxxxxx2) 1() 1(222) 1(x42) 1(x)22(x22) 1(x)21 (2xx ) 1(22xx2Page 16令令0 y得得,11x, )1,1(从而三个拐点为（自行判断）从而三个拐点为（自行判断）因为因为32所以三个拐点共线所以三个拐点共线.323x,322x, )34831,