第10章静止电荷的电场

1、绪言绪言 1919世纪中期，法拉第和麦克斯韦发现，世纪中期，法拉第和麦克斯韦发现，“电磁力电磁力”不同于万有引力，对电磁力的研究需要开辟新的完全不不同于万有引力，对电磁力的研究需要开辟新的完全不同于对万有引力研究的道路。同于对万有引力研究的道路。爱因斯坦敏锐地洞见了物爱因斯坦敏锐地洞见了物理学发展史上这一重大转折，他曾明确指出，牛顿的公理学发展史上这一重大转折，他曾明确指出，牛顿的公理式方法已经不适用了，并进一步指出理式方法已经不适用了，并进一步指出 “ “在研究电和在研究电和光的规律时，第一次产生建立新的基本概念的必要性光的规律时，第一次产生建立新的基本概念的必要性”。 由于只讨论静电场，库

2、仑力的表示式与万有引力表由于只讨论静电场，库仑力的表示式与万有引力表示式类似，库仑力的大小与电荷移动无关的特征又与万示式类似，库仑力的大小与电荷移动无关的特征又与万有引力的大小与质点移动无关的特征类似，后来，当人有引力的大小与质点移动无关的特征类似，后来，当人们从们从“静静”转向转向“动动”，不仅发现了与电荷运动无关的，不仅发现了与电荷运动无关的静电力，还发现了与电荷运动速度有关的磁力以及与电静电力，还发现了与电荷运动速度有关的磁力以及与电荷运动的加速度有关的荷运动的加速度有关的“电动力电动力”，牛顿理论的那种研，牛顿理论的那种研究模式在电磁学中就被完全改变了。究模式在电磁学中就被完全改变了。

3、 1 1、在研究的对象上不同在研究的对象上不同，力学主要研究，力学主要研究质点质点的运动，而的运动，而静电学主要讨论点电荷产生的静电学主要讨论点电荷产生的电场电场。 在研究的逻辑层次上不同在研究的逻辑层次上不同， 力学先确定对质点状态的描力学先确定对质点状态的描述，再研究状态的变化及其产生的原因述，再研究状态的变化及其产生的原因力。静电学通力。静电学通过测量场源电荷对放置在同一个场点上的检验电荷所产生过测量场源电荷对放置在同一个场点上的检验电荷所产生的静电作用力与检验电荷电量之比，人们发现这个比值只的静电作用力与检验电荷电量之比，人们发现这个比值只与场点位置有关而与检验电荷电量大小无关，于是，

4、引出与场点位置有关而与检验电荷电量大小无关，于是，引出了对了对“场场” ” 的状态的描述，定义了电场强度和电势等物的状态的描述，定义了电场强度和电势等物理量。理量。对对“场场”的认识的深化与发展是贯串在整个电磁学中的一的认识的深化与发展是贯串在整个电磁学中的一条思想主线。条思想主线。电场和磁场的电场和磁场的“力线力线”以及电磁场的初步物质观思想以及电磁场的初步物质观思想 2 2、在、在“电场电场”和在和在“磁场磁场”中引入的中引入的力线力线不仅仅是一不仅仅是一种描述的工具，而是在人们在对电场和磁场本质的认识种描述的工具，而是在人们在对电场和磁场本质的认识进程中所形成的关于最初阶段进程中所形成的

5、关于最初阶段电磁场物质观思想电磁场物质观思想的一种的一种体现。法拉第设想，电力和磁力就是通过相应的力线传体现。法拉第设想，电力和磁力就是通过相应的力线传递的，递的，“超距作用超距作用”是没有物理意义的。显然，法拉第是没有物理意义的。显然，法拉第提出的提出的“场场”的思想比静电学中定义电场强度时引入的的思想比静电学中定义电场强度时引入的“场场”的思想更显示出了场的物质性，为以后麦克斯韦的思想更显示出了场的物质性，为以后麦克斯韦从数学上建立电磁场的理论奠定了基础从数学上建立电磁场的理论奠定了基础 。 3、对电荷连续分布的带电体求场强所包含的对电荷连续分布的带电体求场强所包含的“从部分从部分相加得到

6、整体相加得到整体”的思想、对电荷对称性分布的带电体求的思想、对电荷对称性分布的带电体求场强所包含的场强所包含的“从整体得到部分从整体得到部分”的思想的思想部分和整体部分和整体“不可分割不可分割”的思想的思想4 4、在力学中描述质点状态的物理量是、在力学中描述质点状态的物理量是位置位置和和速度速度，它，它们的定义之间体现的是在们的定义之间体现的是在时间上的变化率关系时间上的变化率关系，在静电，在静电学中描述电场状态的物理量是学中描述电场状态的物理量是电场强度电场强度和和电势电势，它们的，它们的定义之间体现的是在定义之间体现的是在空间上的变化率关系空间上的变化率关系，体现了电场，体现了电场的非定域

7、性。（这里的的非定域性。（这里的“非定域性非定域性” ” 含义指的是，一含义指的是，一旦静电场得以建立，就必然存在一个延展的空间，在这旦静电场得以建立，就必然存在一个延展的空间，在这个空间里，电场强度和电势具有一个确定的非定域的连个空间里，电场强度和电势具有一个确定的非定域的连续分布。）续分布。）由电势梯度求电场强度的关系式所体现的描述静电由电势梯度求电场强度的关系式所体现的描述静电场的非定域思想场的非定域思想从电场强度和磁感应强度的不同定义方式等看电场和磁从电场强度和磁感应强度的不同定义方式等看电场和磁场的类比思想场的类比思想5 5、类比的思想是物理学中的一个重要思想。在刚体力、类比的思想是

8、物理学中的一个重要思想。在刚体力学中从质点的学中从质点的“线量线量”到刚体转动的到刚体转动的“角量角量” ” 就体现就体现了力学量的类比思想，主要体现的一种了力学量的类比思想，主要体现的一种“异中求同异中求同”的的思想；电磁场类比的目的是在提出磁场与电场存在许多思想；电磁场类比的目的是在提出磁场与电场存在许多相似之处的同时更多地揭示相似之处的同时更多地揭示“磁量磁量”和和“电量电量” ” 的相的相异，以体现一种异，以体现一种“同中求异同中求异”的思想。（这种不同之处的思想。（这种不同之处来自于电场与磁场不同的性质。）来自于电场与磁场不同的性质。） 电场和磁场的互相联系和互相转化以及电磁场的因果

9、电场和磁场的互相联系和互相转化以及电磁场的因果观思想观思想6、电磁感应现象的发现，是电磁学领域中最重大的、电磁感应现象的发现，是电磁学领域中最重大的成就之一。电场和磁场的互相联系和转化体现了电场成就之一。电场和磁场的互相联系和转化体现了电场和磁场两者之间存在着互相既是原因又是结果的新型和磁场两者之间存在着互相既是原因又是结果的新型逻辑关系，这是一种区别于经典力学的完全确定论逻辑关系，这是一种区别于经典力学的完全确定论“因果观因果观”的更高层次上的新的的更高层次上的新的“因果观因果观”思想。从思想。从经典力学中单一指向的二元因果逻辑关系发展为多元经典力学中单一指向的二元因果逻辑关系发展为多元因果

10、逻辑关系。因果逻辑关系。 电场中的导体和介质及其包含的电场与物质中电荷相电场中的导体和介质及其包含的电场与物质中电荷相互作用的思想互作用的思想 7 7、在现代物理学中、在现代物理学中“场与物质的电荷的相互作用场与物质的电荷的相互作用” ” 已经成为物理学许多领域中涉及的重要思想，场对导体已经成为物理学许多领域中涉及的重要思想，场对导体介质的相互作用包含着电场中的作用和反作用的思想，介质的相互作用包含着电场中的作用和反作用的思想，导体和介质放入电场中会与电场发生相互作用，这是电导体和介质放入电场中会与电场发生相互作用，这是电学中电场与物质作用与反作用的一种表现形式。学中电场与物质作用与反作用的一

11、种表现形式。10.1 电荷电荷 自然界只存在有两种电荷，即正电荷和负电荷自然界只存在有两种电荷，即正电荷和负电荷. .并并 且带同号电荷的物体相斥，带异号电荷的物体相吸且带同号电荷的物体相斥，带异号电荷的物体相吸. .带电体所带电荷的多少叫电量，用带电体所带电荷的多少叫电量，用Q Q或或q q表示。表示。二、电荷的量子性二、电荷的量子性 基本带电体基本带电体(基本电量）：电子、质子基本电量）：电子、质子一个电子（质子）的电量一个电子（质子）的电量: e =1.6021773310-19库仑库仑（C） 任何物体所带电量任何物体所带电量q 只能是基本电量的整数倍只能是基本电量的整数倍q = ne(

12、n =0、1、2、3) 一、一、电荷的种类电荷的种类量子性：量子性：三、三、电荷守恒：电荷守恒： 四、四、电荷的相对论不变性：电荷的相对论不变性： 电荷的电量与其运动状态无关。电荷的电量与其运动状态无关。 在一个与外界没有电荷交换的系统内，电荷守恒在一个与外界没有电荷交换的系统内，电荷守恒. .（粒子相互作用过程中正负电荷成对出现或消失）（粒子相互作用过程中正负电荷成对出现或消失）点电荷点电荷（相对性）：相对性）：一、一、电场电场电荷电荷电荷电荷电场电场电场电场1 1、2 2、电场的物质性、电场的物质性近代物理证明：电场是一种物质。它具有能量、动量、质量。近代物理证明：电场是一种物质。它具有能

13、量、动量、质量。 对电场中的带电体施以力的作用对电场中的带电体施以力的作用 当带电体在电场中移动时当带电体在电场中移动时, , 电场力作功电场力作功( (具有能量具有能量) ) 变化的电场以光速在空间传播变化的电场以光速在空间传播( (具有动量具有动量) ) 3 3、场与实物粒子的不同在于：、场与实物粒子的不同在于： 场具有可入性；场具有可入性； 场具有叠加性。场具有叠加性。静电场：相对观察者静止的电荷周围所产生的电场静电场：相对观察者静止的电荷周围所产生的电场. .10.2 10.2 电场和电场强度电场和电场强度二、二、电场强度电场强度( (从电场的电荷受力出发，引入一描述电场的物理量。从电

14、场的电荷受力出发，引入一描述电场的物理量。) )检验电荷检验电荷的条件为的条件为: : q0 的电量足够小的电量足够小; q0 的几何尺寸足够小的几何尺寸足够小.+Qq0 +FaE电场电场相对于惯性参考相对于惯性参考系，在真空中有系，在真空中有一固定不动的点一固定不动的点电荷系，称之为电荷系，称之为场源电荷场源电荷，产生，产生电场。电场。将检验电荷将检验电荷q0 移至场点移至场点P(x,y,z) 处，并保持静止。处，并保持静止。q02q03q0nq02F03F0nF0.定义定义：电场中某点的电场强度为一电场中某点的电场强度为一个矢量，其大小等于单位正荷在该个矢量，其大小等于单位正荷在该点所受电

15、场力的大小，方向为实验点所受电场力的大小，方向为实验正电荷在该点所受力。正电荷在该点所受力。0FEq检验电荷检验电荷q q0 0 在场点处在场点处受到的电场力为：受到的电场力为：F0 与与q q0 0的比值无论的比值无论大小还是方向都与大小还是方向都与q q0 0无关，反映了电场自无关，反映了电场自身的特性。身的特性。实验发现实验发现：F0FEq单位单位：/1 /1 /N CN CV m注注意意E是一个矢量是一个矢量 电场中某点的电场强度应与检验电荷的电场中某点的电场强度应与检验电荷的 电量无关。电量无关。 利用定义可求电荷在电场中某点所受的力。利用定义可求电荷在电场中某点所受的力。)( ,d

16、qEFEqF电场强度是空间坐标的矢量函数，在讨论电场的电场强度是空间坐标的矢量函数，在讨论电场的性质时，着眼点往往不是个别点的场强，而是场强性质时，着眼点往往不是个别点的场强，而是场强的空间分布。的空间分布。说明说明1：场源电荷不静止的情况下，定义场源电荷不静止的情况下，定义 仍然成仍然成立。此时立。此时 。受力电荷不静止的情况下，受力电荷不静止的情况下， 仍然成立。仍然成立。即静电场对电荷的作用力与该电荷的速度无关。即静电场对电荷的作用力与该电荷的速度无关。场源电荷、受力电荷都不静止时，场源电荷、受力电荷都不静止时， （洛仑磁力力）。（洛仑磁力力）。 说明说明2： 研究静电场时，电场的引入可

17、以使讨论形象研究静电场时，电场的引入可以使讨论形象化；研究运动电荷时，电磁场的重要性就突出地化；研究运动电荷时，电磁场的重要性就突出地显示出来了。（此时库仑定律不适用，而高斯定显示出来了。（此时库仑定律不适用，而高斯定律仍然适应律仍然适应-从场的整体讨论场源电荷与场的从场的整体讨论场源电荷与场的关系）关系） ),(trEEBvqEqFEqF0qFE三、三、场强叠加原理场强叠加原理设有设有n n个电荷个电荷q q1 1， q q2 2， q qn n，形成的电场，检验电，形成的电场，检验电荷在电场中的受力为：荷在电场中的受力为：12nniiFFFFFnEEE210qFE代入场强定义式中可得：代入

18、场强定义式中可得：场强叠加原理场强叠加原理021qFFFn01qF02qF0qFn1niiE在在n n个电荷产生的电场中，任意一点的电场强度等个电荷产生的电场中，任意一点的电场强度等于每个电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的于每个电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和。矢量和。-场强叠加原理场强叠加原理2122112rqqkF 大小：大小：方向：方向：沿两点电荷的连线，同号电荷相斥，异号相吸沿两点电荷的连线，同号电荷相斥，异号相吸. .一、库仑定律一、库仑定律123122101241rrqqF 1221221041rerqq)./(1085.84122120mNCk 12re表示表示q

19、2 指向指向q1的的单位矢量单位矢量称为真空电容率或真空介电常量称为真空电容率或真空介电常量. .)/.(100.9229cmNk 在真空中，两个静止点电荷在真空中，两个静止点电荷q1和和q2,相距为相距为r12 .实验发实验发现，两点电荷之间的作用力（电性力）现，两点电荷之间的作用力（电性力）12r 1q2q21F 12F 021qq21F 12F 021qq注意：只注意：只适用两个适用两个静止的点静止的点电荷电荷10.3 库仑定律与静电场的计算库仑定律与静电场的计算二、静电场的计算二、静电场的计算1 1、单个点电荷产生的电场、单个点电荷产生的电场P P 点处检验电荷受力为：点处检验电荷受力

20、为：02014rqqFer2004rqFEeqr故点电荷形成的电场的场强为：故点电荷形成的电场的场强为：)0(qPre Erre)(0 qPE+ +q0qre静止的点电荷的电场具有球对称性，即当静止的点电荷的电场具有球对称性，即当r r 的大小的大小相同时，场强大小相等。相同时，场强大小相等。Er说说明明2004rqFEeqrE 仅决定于场源电荷仅决定于场源电荷q q及场点的位矢及场点的位矢 , ,是位置函数是位置函数r2 2、点电荷系的电场、点电荷系的电场设真空中有设真空中有n n个点电荷个点电荷q q1 1,q,q2 2,q qn n，则，则P P 点场强：点场强：204nniiriiii

21、qEEer),(iziziyiyixixEEEEEE场强的分量式：场强的分量式：kEjEiEEzyx - -+ + +1q2q3q1E2E3EE3 3、连续带电体的电场、连续带电体的电场2014rdqEdEer)(zzyyxxdEEdEEdEExyzEE iE jE k电荷元随不同的电荷分布应表达为电荷元随不同的电荷分布应表达为体电荷体电荷dVdq 面电荷面电荷dSdq 线电荷线电荷ldqd EddqrrerdqEd204l p已知：已知：rlq ,ppEE求：求：解：解：OXYr+-qq建立坐标系建立坐标系OXYA）求）求pEP点到点到q之间的距离之间的距离分别为分别为2/ lrpppEEE

22、由叠加原理：由叠加原理：例例1 1）有一对带等量异性电荷有一对带等量异性电荷q q的电偶极子，的电偶极子，相相距距 。求两电荷连线上一点求两电荷连线上一点 和中垂线上一点和中垂线上一点 的场强的场强。（。（ 点到偶极子中点点到偶极子中点O O的距离为的距离为 r r）,pp pplpEpEpErp解：解： A）求）求pEpppEEEilrqEp)2/(420ilrqEp)2/(420ilrlrq) 2/(1) 2/(14220B)求求 pEP点到点到q的距离为的距离为222/ lr 4/22lr l pOXYr+-qqpEpEpErppppEEEppEEjEiconEEpppsin4/4122

23、0lrqiEEEEppppcos2jEiEEpppsincos pE pE pE4/22lr l pOXYr+-qqpEpEpErpilrqlEp4/412/3220222222)2/()2/()2/()2/()2/(1)2/(1lrlrlrlrlrlr讨论：当讨论：当lr时时：32222)4/(2rllrrl3021rqlEp32/3224/rllrl3041rqlEpl qpelep304rpEep302rpEep+q-q例例2 2：设有一均匀带电线，长为设有一均匀带电线，长为L L。总带电量。总带电量 Q Q，线外一点线外一点P P离开直线垂直距离为离开直线垂直距离为a a，P P点与带

24、电线点与带电线两端之间的夹角分别为两端之间的夹角分别为 1 1、 2 2，求，求P P点的场强。点的场强。 ldl+12aPXYO已知：已知：dldqpE,21aLQ求：求：解：解：分割带电体分割带电体LQ204rdldEEdsindEdEycosdEdExryEdxEd统一统一变量：变量：+12ldlaPXYO解：解：204rdldEEdsindEdEycosdEdExyEdxEd90radadardldE02202204csc4csc4dadl2csc)90(tgal)90cos(arctgacsca2104cosaddEExx)sin(sin4120a2104sinaddEEyy)cos

25、(cos4210aiaE)sin(sin4120ja)cos(cos4210讨论讨论：若若,L, 0 xE,20aEya+EjaE20, 012iaE)sin(sin4120ja)cos(cos4210例例3 3：如图，电荷如图，电荷q q均匀地分布在半径为均匀地分布在半径为a a的圆的圆环上，求圆环中心轴线上任一点环上，求圆环中心轴线上任一点p p的场强。的场强。P P点点离环心的距离为离环心的距离为x x。+dEYZXOaprxEd/dE已知：已知：xqa,求：求：pE解：建立坐标系解：建立坐标系OXYZ分割带电体，取分割带电体，取dl，带电，带电dldqaq2202044rdlrdqdE

26、pcos/pdEdE sinpdEdE dl+dEYZXOaprxdlEd/dE204rdldEpcos/pdEdE sinpdEdE 垂直分量抵消了！垂直分量抵消了！LLrdldEE20/4cosardlrL24cos4cos202022/cosxax222xarixaqxE)(42/ 3220XEdPEdixaqxE)(42/ 3220讨论讨论：1）0, 0pEx2）ixqEaxP4,20Pa+Xx可视为点电荷！可视为点电荷！r2例例4 4：求面电荷密度为求面电荷密度为 的，半径为的，半径为R R的簿带的簿带电圆盘中心轴线电圆盘中心轴线X X处一点的电场强度。处一点的电场强度。已知：已知：

27、drxR ,求：求：pE解：解： 建立坐标系建立坐标系OXx分割成许多细圆环分割成许多细圆环带电带电rdrdsdq223222/3220)(42)(40 xrrdrxxrdqxdER+drrXOixaqxE)(42/ 3220细圆环的电场细圆环的电场pE2/3220)(2xrrxdrdEdEERxrxrdx02/322220)(2)(22/32200)(2xrrdrxRxR+drrXOpEixRxE12220讨论讨论： 当当R，02ExR+drrXOpE)0(x推论：两带等量异性电荷，面电荷密度为推论：两带等量异性电荷，面电荷密度为 的的 的的“ ”大平行板间的电场为一均匀场。大平行板间的电场

28、为一均匀场。E+ - Xd xd,0)0(,0 xdx 0,00211141rEdSESdEse R+rqRr qqi0224 qrE 220()4qErRrE222242rESdESdEse E204Rq21rrROORq解：解：r R电量电量 qqi高斯定理高斯定理024 qrE 场强场强20()4qErRr 24 rESdEe 电通量电通量均匀带电球体电场强度分布曲线均匀带电球体电场强度分布曲线ROEOrER204Rq30()4qrErRR20()4qErRr 0iq0()ErR高高斯斯面面lrE解：场具有轴对称解：场具有轴对称 高斯面：圆柱面高斯面：圆柱面例例3:均匀带电圆柱面的电场。

29、均匀带电圆柱面的电场。 沿轴线方向单位长度带沿轴线方向单位长度带电量为电量为 。 seSdESdESdESdE上底侧面下底 (1) r R Rlqi20 rRE 0()2ErRr高高斯斯面面lrE seSdESdESdESdE上底侧面下底 2Erl2 R 令令E2S 高高斯斯面面解解: E具有面对称具有面对称高斯面高斯面:柱面柱面SESES 02110SES 012 02 E例例4: 均匀带电无限大平面的电场，均匀带电无限大平面的电场，已知已知 ES1S侧侧S 12SSSeSdESdESdESdE侧 24 rESdES 均匀带电球壳（体）均匀带电球壳（体）EQopeESSESdES2 rlESdES2ElS e OrpiiSqSdE01cESdES iiqcE011 均匀带电无限大平板均匀带电无限大平板选取适当的高斯面，可以应用高斯定律求出场强。选取适当的高斯面，可以应用高斯定律求出场强。均匀带电园柱面（体）均匀带电园柱面（体）根据高斯定律：根据高斯定律：一、一、静电感应与静电平衡静电感应与静电平衡1、导体的静电平衡导体的静电平衡-在电场中，导体的内部和在电场中，导体的内部和 表面都没有电荷定向移动的状态。表面都没有电荷